23版新高考一轮分层练案(十五)　变化率与导数、导数的计算

这是一份23版新高考一轮分层练案(十五)　变化率与导数、导数的计算，共5页。试卷主要包含了已知过点A作曲线C等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(十五)　变化率与导数、导数的计算 A级——基础达标1．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f′＝1，则a＝(　　)A．0    B．1C．2    D．4【答案】A　因为f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f′＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0.2．曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率是(　　)A．2    B．－2C．    D．－【答案】D　y′＝＝－，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k＝y′x＝3＝－＝－，故选D.3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(　　)A．3    B．2C．1    D．【答案】A　设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，因为y＝－3ln x，所以y′＝x－，再由题意可得x0－＝2，所以x0＝3.4.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)A．f′(1)<f′(2)<aB．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<aD．a<f′(1)<f′(2)【答案】B　由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)单调递增，且曲线切线的斜率越来越大，∵＝a，∴易知f′(1)<a<f′(2).5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A．    B．C．    D．【答案】A　求导可得y′＝，∵ex＋e－x＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立，∴y′∈[－1，0)，得tan α∈[－1，0)，又α∈[0，π)，∴≤α<π.6．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　)A．0秒    B．2秒C．4秒    D．8秒【答案】ACD　s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，解得t＝0，4，8.故选A、C、D.7．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)A．f(x)＝3cos x    B．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋    D．f(x)＝ex＋x【答案】BC　对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．8．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)A．y＝cos x    B．y＝ln xC．y＝ex    D．y＝x2【答案】AD　由题意函数y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，y＝cos x的导数为y′＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于B，y＝ln x的导数为y′＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于C，y＝ex的导数y′＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于D，y＝x2的导数为y′＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.综上，具有T性质的函数为A、D.故选A、D.9．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋，则x>0时，f(x)＝________，f(1)＋f′(1)＝________．解析：∵函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋，∴令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝ex－＝－f(x)，∴f(x)＝－ex＋，x>0.∴f′(x)＝－ex－，x>0，∴f′(1)＝－e－1，f(1)＝－e＋1，∴f(1)＋f′(1)＝－e－1－e＋1＝－2e.【答案】－ex＋　－2e10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4).(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.B级——综合应用11．已知a－ln b＝0，c－d＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是(　　)A．1    B．C．2    D．2【答案】C　设(b，a)是曲线C：y＝ln x上的点，(d，c)是直线l：y＝x＋1上的点，则(a－c)2＋(b－d)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．对函数y＝ln x求导得y′＝，令y′＝1，得x＝1，则y＝0，所以曲线C上到直线y＝x＋1的距离最小的点为(1，0)，该点到直线y＝x＋1的距离为＝.因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值为()2＝2.故选C.12．过点P(1，1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为(　　)A．0    B．1C．2    D．3【答案】C　当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，则k＝＝＝x＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3x，∴2x－x0－1＝0，∴x0＝1或x0＝－，∴过点P(1，1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－y－2＝0和3x－4y＋1＝0.综上，过点P的切线有2条，故选C.13．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　)A．f(x)＝x2    B．f(x)＝e－xC．f(x)＝ln x    D．f(x)＝tan x【答案】AC　若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C.14．已知过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．解析：设切点为(x0，x0e，对y＝xex求导得y′＝(x＋1)·ex，∴y′x＝x0＝(x0＋1)·e，则切线方程为y－x0e＝(x0＋1)e·(x－x0).∵切线过点A(a，0)，∴－x0e＝(x0＋1)e·(a－x0)，由题意知方程x－ax0－a＝0有两个解，则由Δ＝a2＋4a>0⇒a>0或a<－4.【答案】(－∞，－4)∪(0，＋∞)15．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).(1)由题意，得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪.C级——迁移创新 16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12).因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.