2023届广东省揭阳市揭东区第二中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届广东省揭阳市揭东区第二中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，则的元素个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据题意解出集合B，再求其补集，求出即可得解.

【详解】由题：，，

，

所以，元素个数为2.

故选：B

【点睛】此题考查集合的运算，根据不等式的解集，求补集和交集，并确定集合中元素的个数.

2．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故选C．

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据命题的充分必要性直接判断.

【详解】对于不等式，可解得或，

所以可以推出，而不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

4．长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，年月日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，进而可解得的值.

【详解】由，可得，.

故选：C.

5．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将不等式转化为，计算函数的最大值得到答案.

【详解】不等式在区间内有解，即，

设，，故.

故选：A

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由题意，，

①当，得，

所以时，，在单调递减，

时，，在单调递增，排除A和D

②当，得，

所以在单调递减，排除B

选项C满足上述单调性

故选：C

7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】试题分析：是偶函数，则 的图象关于直线对称，又 是奇函数，则，且 是周期函数，且周期为8，所以．故选D．

【解析】函数的奇偶性，周期性．

【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心 和，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；

8．若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由导函数的连续性，问题转化为在上有两个不等实根，其中一根为，由在上有不为1的另一根，采取分离参数法可得参数范围．

【详解】由题意可知有两个不等根．方程

，，有一根．中，另一根满足方程（），

令，，，

所以在上单调递增．所以，

即．所以．

故选：C．

【点睛】本题考查由函数极值点个数求参数范围，问题首先转化为方程在有两个不等式实根，再转化为方程（）有一个实根，从而转化为求函数的值域，考查了等价转化思想．

二、多选题

9．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的解集为或

【答案】ABC

【分析】根据题意可得且的根为，利用韦达定理可得，分别代入计算判断正误．

【详解】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确；

的根为，则，即

∴，B正确；

，C正确；

，即，则，解得

∴的解集为，D错误；

故选：ABC．

10．设正实数a，b满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；

选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；

选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；

选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD.

11．函数的定义域为I，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点，也叫稳定点.下列函数中存在唯一稳定点的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据定义依次计算每个选项得到A选项有一个解，B选项有无数个解，根据函数和函数图像无交点得到C不满足，再判断D选项有唯一解得到答案.

【详解】，定义域为，，解得，A满足；

，定义域为，，恒成立，B不满足；

，定义域为，，即，根据函数和函数图像无交点，知方程无解，C不满足；

，定义域为，，易知，且是方程的解，当时，，方程无解；当时，，方程无解，D满足.

故选：AD

12．已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（    ）

A．是周期为的周期函数

B．当时，

C．若在上单调递减，则

D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是

【答案】ACD

【分析】根据周期性定义可知A正确；由，可知B错误；

由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确；

分别在和两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得的范围，知D正确.

【详解】对于A，，是周期为的周期函数，A正确；

对于B，当时，，，

又是周期为的周期函数，当时，，B错误；

对于C，若在上单调递减，则，，C正确；

对于D，当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，

，解得：；

当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，

，解得：；

综上所述：的取值范围为，D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题

13．已知为定义在上的奇函数，当时，，则 ________.

【答案】-3

【分析】根据奇函数的性质，可得的值，进而求出函数的解析式，再由得到答案．

【详解】因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，

解得m＝－1，

则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.

答故案为－3.

【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊方法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

14．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

【详解】，，又，

在处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．

【答案】

【分析】不等式等价于，利用函数的奇偶性和单调性可得答案.

【详解】因为是偶函数，所以等价于，

又在上单调递减，所以在上单调递增．

由得，或，

又，所以，

由得，由得，

故解集为.

故答案为：.

16．若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】→→，，研究两个函数图像并得到点，→数形结合→

【详解】依题意不等式可化为．

令，，．

函数的图像恒过定点．函数，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

所以当x＝1时，．又，记点，，且，

当时，．作出函数大致图像，如图．

若满足不等式有且仅有一个正整数解，则结合函数图像必有．

又因为，，所以．

【点睛】根据不等式的零点个数，求解参数的取值范围问题，通常会转化为两函数交点问题，要画出函数图象，数形结合进行求解.

四、解答题

17．已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，，成等差数列，可得，利用等比数列通项公式和求和公式，求解可得，结合，即得解

（2）代入可得，分组求和即得解

【详解】（1）由，，成等差数列，且公比，

所以，

即，

整理得，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）.

所以为等比数列，令，故为等差数列

因此分组求和可得：

18．已知中，内角所对边分别为，若.

(1)求角B的大小；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）根据正弦定理，边角互化，再利用三角恒等变换化简求值即可.

（2）利用余弦定理得出，配方得，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】（1）因为，是三角形内角，

根据正弦定理，

，

又因为，所以，

所以，.

（2）因为，

所以，配方可得

又因为，所以，当且仅当时等号成立.

所以，解得.

故的最大值为4.

19．如图所示的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）在中，由余弦定理可得，由勾股定理，可证明，再由平面，可得，由线线垂直证明线面垂直，即得证；

（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用线面角的向量公式，即得解

【详解】（1）证明：在中，因为，，

所以由余弦定理得，，

所以，

所以，即，

在直四棱柱中，平面，平面，

所以，

因为平面，平面，，

所以平面.

（2）因为，，两两相互垂直，

所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由，得，，

所以有，，，，

，，，

设为平面的一个法向量，

则，即，

令，解得，

因为，，

设直线与平面所成角为，且，

所以

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（1）若甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，记“甲､乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件，试估计事件发生的概率；

（2）由于甲､乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同，甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为，日产蛋量不小于900个的利润率为；乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为，日产蛋量不小于900个的利润率为.若在甲､乙两个品种上各投资10万元，（单位：万元）和（单位：万元）分别表示投资甲､乙两个品种所获得的利润，求和的数学期望，并对甲､乙两个品种的投资进行分析比较.

【答案】（1）；（2）万元，万，分析答案见解析.

【分析】（1）由频率分布直方图分别计算出甲､乙两种鸡的日产蛋量不低于850个的概率，然后相乘可得；

（2）求出的可能值，再计算出概率，得概率分布列，由分布列计算出期望，同时计算出方差，通过比较期望，方差，投资获得收益最大和最小概率，以及为了获得更大利润需要控制的产量等比较．

【详解】（1）甲种鸡的日产蛋量不低于850个的频率为：

，

乙种鸡的日产蛋量不低于850个的频率为：

，

因为甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，

所以事件发生概率的估计值.

（2）根据题意，可知随机变量的可能取值为1，1.5，2.

则有，，，

所以随机变量的分布列为

所以万元.

随机变量的可能取值为1.5，2，1，

则有，，，

所以随机变量的分布列为

所以万.

可从如下四方面分析比较：

①，

②，

，

，

③

，，

说明两种投资获最低收益的概率相同，

养殖乙品种获得最大收益的概率远大于养殖甲品种.

④从频率分布直方图中可知，甲品种需要多产才能获得更大利润，

乙品种只需控制产量在之间，即可获得更大利润.

21．已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点.当直线垂直轴时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求内切圆半径的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为1.

【分析】（1）由题意，将，代入椭圆方程与联立，即得解；

（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由，利用韦达定理可得，结合均值不等式可求得，利用即得解

【详解】（1）由已知条件可设，，

由，

解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，，

由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

联立，消去并化简得，

由韦达定理得，，

那么，

所以，

而

，

当且仅当，即时等号成立.

又因为，

所以内切圆半径的最大值为1.

22．已知，函数.

（1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

（2）若函数有两个极值点，，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）代入计算得到切点，求导得到，计算切线斜率，得到切线方程，再计算与坐标轴的交点得到答案.

（2）题目转化为一元二次方程有两个不相等的正实数根，，根据韦达定理转化为对恒成立，，求导得到函数单调区间，根据隐零点的方法计算最值得到证明.

【详解】（1）当时，，由，得切点，

由，得切线的斜率，

所以切线的方程为，即，

令，得；令，得.

所以切线与两坐标轴围成的三角形面积.

（2）因为函数有两个极值点，，

所以在有两个零点.

即一元二次方程有两个不相等的正实数根，，

所以有，解得，

因为

，

要证，即证，

即证对恒成立，

令，，

，

则，即在单调递增，

因为，，

所以存在唯一实数，使得，

当时，，当时，，

所以函数在单调递减，在单调递增，

所以函数的最小值为，

因为，即，

所以，

由，得，

所以，

所以，即对恒成立，

所以得证.

【点睛】本题考查了曲线的切线问题和利用导数证明不等式，其中利用二次方程韦达定理将不等式进行转化可以简化题目，在求函数最值过程中利用隐零点代换是解题的关键.