2023届陕西省宝鸡市金台区高三上学期10月教学质量检测数学（文）试题含解析

宝鸡市金台区2022-2023学年高三上学期10月教学质量检测

文科数学

                  2022.10

注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。

          2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（ ）

A．                    B．   

C．                              D．

2．已知，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）

A．      B． 

C．      D．

3．已知向量的夹角为，若，，则（ ）

A． B． C． D．

4．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（ ）

A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多

B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大

C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等

D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多

5.在约束条件下，则目标函数的最大值为（ ）

A． B． C．5      D．7

6．已知抛物线的焦点为.

若直线与交于两点，且，

则（ ）

A．3 B．4       C．5 D．6

7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里

有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，

大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和

尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对

此题的一个求解算法，则输出的（ ）

A．25 B．45 C．55 D．75

8．函数的部分图象如图所示，则的解

析式可能为（ ）

A．     B．        

C．    D．

9. 在正方体中，则下列判断错误的是（ ）

A．平面 B．平面平面

C．直线过的垂心 D．平面与平面夹角为

10．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则 （ ）

A．2 B．3 C．6 D．10

11．记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（ ）

A． B． C． D．

12．半径为的球面上有四点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球体积的最小值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 记为等差数列的前项和．若，则公差           ．

14. 有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为           ．

15. 经过四个点，，，中三个点的圆的方程为              .

16. 若是偶函数，则           ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，

（1）若,求；

（2）求证：．

18. （12分）如图，在三棱锥中，，

，，为棱上一点，

，棱的中点在平面上的射影

在线段上.

证明：平面；

求三棱锥的体积．

19.（12分）应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”。近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表：

（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.）

（2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数）

参考数据：，，，

参考公式：相关系数，

线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.

20.（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，,, 中恰有两点在上.

（1）求的方程；

（2）两点在上，且直线,的斜率互为相反数，直线,分别与直线交于,两点，证明：.

21.（12分）设.

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐

标系，直线的方程为．

（1）求曲线的普通方程；

（2）若曲线与直线交于两点，且，求直线的斜率．

23.（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知，，，且.

（1）求证：；

（2）若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.

2023届高三教学质量检测文科数学答案

                   2022.10

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B  考察集合运算及数集的认知

解：由，

所以，

由，

所以；

2．B考察复数的认知

解:由题意得，

所以，得，.

3．C考察向量数量级的运算

解:，

4．B考察统计的基本知识

解:设样本中女生有人，则男生有人，

设女生身高频率分布直方图中的组距为

由频率分布直方图的性质可得，

所以，

所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%

所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A错误；

层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，

层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，

由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C错误；

样本中层次的学生数为，

样本中层次的学生数为，

由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D错，

女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确；

5．C考察线性规划可行域及对目标函数斜率公式的认知

解:做出可行域，设直线与的交点为点，直线与的交点为点，直线与的交点为点.可知，随着直线向上平移而减小，随着直线向下平移而增大，所以在顶点取得最大值.

直线与的交点为点，

由，得，即，

代入目标函数，即可得最大值.

6．C 考察抛物线的定义及运算

解:将代入，解得，

则、，

所以，解得，

则.

7．A 考察循环结构的特征

解:；；；；；．

所以

8．D考察通过函数性质识图的能力

解:由图可知，在上的图象关于轴对称，所以在上为偶函数，故应先判断各选项中函数的奇偶性.

对A，，为偶函数，故A选项的函数为其定义域内的偶函数.

同理：

对C、D选项的均为其定义域内的偶函数，只有选项的为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.

又，对A选项：，所以排除A.

而由图可知，对C选项：，，故排除C.

9．D正方体中的平行与垂直判断

解：由，得平面,所以，

同理可得，所以平面，故A正确；

由∥∥，得平面∥平面，故B正确；

因为三棱锥为正三棱锥（或由两两垂直）得直线过的垂心，故C正确；

连接交于O点，连接，由，

得为平面与平面的夹角，

因为，故D错误．

10．B考察等比数列的基本运算

解:设等比数列的首项为，公比为q，

由题意可得，即，

整理得，解得或（舍去），，

所以.

11．C考察相关三角函数的极值特征

解:因为，其中，则，

令可得，且不是函数的极值点，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数的极小值点为，极大值点为，

所以，函数的极大值为，

因为函数单调递减，故，，

因此，.

12．D考察长方体与外接球组合体基本特征及与均值不等式的结合

解：设，，，

因为直线两两垂直，若，，的面积之和为72，

所以，有，

以、、为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，

所以，．

因为

所以，

所以，即，当且仅当时等号成立，

所以，此球体积的最小值为．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 本题考查了等差数列的定义，改编自2022年乙卷13题，属于基础题。

【答案】-2

【分析】转化条件为，即可得解.

【详解】由可得，化简得，

即，解得.

故答案为：-2.

14. 本题考查了互斥事件和古典概型的概率计算公式，属于基础题．从5件产品任取3件的取法共有10种，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法为7种，利用古典概型的概率计算公式即可得出。

【答案】 

15. 本题考查利用待定系数法求圆的方程，属于基础题.

【答案】，，

方法一：设圆的一般方程为，分别将三点的坐标代入圆的方程，求出即可；或者设圆的标准方程为，分别将三点的坐标代入圆的方程，求出即可.

推荐方法二：数形结合根据题目中点的特殊性直接写出圆方程

【解答】

解：设过，三点的圆的方程

为，

则解得，即圆的方程为

故答案为（其余略）

16. 本题考查了函数的奇偶性，指数，对数的基本运算，属于中档题。

【答案】

【解析】

（解法一）函数为偶函数，故，即

，化简得，即，整理得，所以，即． 

（解法一）函数为偶函数，故，即

，化简得，即，整理得，所以，即． 

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（12分）

本题考查了正弦定理，余弦定理公式的基本应用，属于简单题。

【答案】解：若,

------------------------------------4分

----------------------------------------------------6分

证明：因为，，所以，

根据正弦定理得，，---------------------------8分

又，

所以，即-------------------------------------12分

18. （12分）

本题主要考查棱锥的体积和线面垂直的判定，属于中档题.根据空间中直线与平面垂直的判定定理求证即可；利用三棱锥的体积公式求解即可.

证明：取AB的中点H，连接CH，

，为AH的中点，又E为AC的中点，

，

，

又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上，

平面PAB，-----------------------------------------------2分

又平面PAB

平面PDE，

平面PDE---------------------------------------------------------------------4分

平面PDE，

又平面PDE

因为点E为棱AC的中点，，

-------------------------------------------------------------6分

又平面ABC，

平面ABC，又

在中，由得，----------------------8分

 -------------------------------12分

19. （12分）

（1）根据所给数据算出相关系数即可；（2）根据所给数据和公式算出答案即可.

解：（1）由表中数据可得 ，

所以 ,又， ，---------3分

所以.     ---------5分

所以月份代码与销售量（单位: 辆）具有较高的线性相关程度，可用线性回归模型拟合销售量与月份代码之间的关系.                       ---------6分

（2）由表中数据可得 ，

则，所以 ，    ---------9分

令，可得(辆)，

故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为辆.  ---------12分

20. （12分）

（1）分类讨论并利用待定系数法可求出结果；

（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，然后利用两点间的距离公式可证等式成立.联立方程组求出的坐标，再根据两点间的距离公式证明是解题关键.

解：(1)因为圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，所以椭圆方程为标准方程，设为，

若两点在上，则有，不合题意；---------1分

若两点在椭圆上，则无解；---------3分

若两点在椭圆上，则，解得，---------5分

所以椭圆的方程为.---------6分

 (2)直线，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

所以直线的方程为，即，

直线的方程为，即，---------8分

设，，

联立消去并整理得，---------10分

则，即，

同理可得，---------12分

所以，

，

所以，，

联立，得，则，

联立，得，则，

所以，

，

，

，

所以，

所以，

所以.---------12分

21. （12分）

（1）设，，根据函数的单调性证明结论成立；

（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可．

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

解：（1）由题意可设，有，------1分

所以在（0，1）单减，

所以，即，-------3分

设，，-------4分

，则有，单调递增，

得，所以得证；--------6分

（2）由（1）可知时，成立，

则当时，设，-------8分

则，，单调递增，

则，-------10分

①若，，单调递减，则有，此时不符合题意；

②若，，，所以有唯一零点，可记为，

则，，此时单调递减，有，则不符合题意；

综上可知，即的取值范围为.-------12分

22. （10分）

（1）消元，得到普通方程；（2）先求出直线l的参数方程，再联立曲线方程，利用韦达定理及直线参数方程中的几何意义求解.

(1)    由得：，---------3分

得：，

则曲线C的普通方程为.---------5分

(2)    由可得，

直线l的参数方程为，

将其代入中得：，---------7分

由韦达定理得：，，

由可得：，---------9分

所以，则，，

直线l的斜率为.---------10分

23. （10分）

（1）对应用基本不等式可证；

（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．

解：（1），---------3分

所以，当且仅当时等号成立---------5分

（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，

等价于，---------6分

令，---------8分

当时，，

当时，，舍去，

当时，，即或.

综上所述，取值范围为.---------10分