浙江省杭州市萧山区2022-2023学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高一年级数学期中考试

一、单选题

1.     已知集合，，，则

A.  B.  C.  D.

2.     命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.     下列函数与是同一个函数的是

A.  B.
C.  D.

4.     若a，，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.     我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
    

A.  B.  C.  D.

6.     已知函数对任意两个不相等的实数，，都有不等式

成立，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7.    设函数，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

8.    已知奇函数在R上单调递增，对，关于x的不等式在

上有解，则实数b的取值范围为

A. 或 B. 或 C.  D. 或

二、多选题

9.    若幂函数的图象过，下列说法正确的有

A. 且 B. 是偶函数
C. 在定义域上是减函数 D. 的值域为

10. 已知，，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

11. 设，且，则下列结论正确的是(    )

A. 的最小值为 B. 的最大值为1
C. 的最小值为 D. 的最大值为6

12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是

A. 若为的“完美区间”，则
B. 函数存在“完美区间”
C. 二次函数存在“2倍美好区间”
D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为

三、填空题

13. 计算：__________.
14. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒。如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比药物释放完毕后，y与t的函数关系式为为常数，，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.
    
     
15. 已知定义在R上的函数满足，若与的交点为，，则___________.
16. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________.

四、解答题

17. 已知

当时，求不等式的解集;

若命题，使得为假命题。求实数a的取值范围.

18. 已知全集U为全体实数，集合，

在①，②，③这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和

若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

19. 已知定义在R的奇函数，当时，

求的值;

求在R上的解析式;

若方程有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.

20. 截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条。杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力。已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为

求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量;

若该线路每分钟净收益为单位：元，则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

21. 已知函数，

若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性;

在的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数m的值;

若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围.

22. 已知，

若在区间上不单调，求实数a的取值范围;

若在区间上的最大值为M，最小值为N，且的最小值为1，求实数a的值;

若对恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：因为，所以  

2.【答案】A 

【解析】

解：由题意：命题，，否定为：，  

3.【答案】B 

【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数；对于B，两个函数定义域相同，对应关系，值域也相同，是同一函数；
对于C，函数的定义域为，与不是同一函数;
对于D，函数的值域为，与的值域不同，不是同一函数.

4.【答案】A 

【解析】解：因为，所以，
所以，即，由于，所以；
当，时，，所以推不出，
所以是的充分不必要条件.  

5.【答案】D 

【解析】解：由图像可知，函数为偶函数，所以排除B，
又因为函数定义域为，排除A ，
观察图象，恒大于0，所以排除C ，故选  

6.【答案】C 

【解析】解：对任意两个不相等的实数都有不等式成立，
说明函数在上为单调增函数，结合函数的定义域，必须开口向上，
即，若满足题意，只需的对称轴位于左侧即可，
即，解得
由定义域可知当时，，即
综上所述，  

7.【答案】B 

【解析】

解：由题意，则，所以  

8.【答案】A 

【解析】解：当时，可以转换为，因为奇函数在R上单调递增，，即在成立，
成立，即，变换主元可知
当时，由单调性和奇偶性可转换为：，即
即：，当时，取，所以  

9.【答案】AB 

【解析】由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确;
函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；在上单调递增，在上单调递减，C错误；的值域不可能取到0，D项错误.  

10.【答案】ACD 

【解析】解：因为，，
又，是减函数，所以，即，故A正确；
因为，又是增函数，所以，即，故B不正确；
由于，所以，故C正确；
由前面的分析知，所以，由于，所以，故D正确.

  11.【答案】AC 

【解析】解：对于A选项：，当成立，故A正确；
对于B选项：，无最大值.故B错误；
对于C选项，，当时取等号，故C正确；
对于D选项，，当成立，故最小值为错误.

12.【答案】BCD 

【解析】解：对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，所以其值域为，
又因为为的完美区间，所以，解得或，因为，所以，即A错误；

对于B，函数在都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，故B正确；
对于C，若存在“2倍美好区间”，则可设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递增，
此时易得a，b为方程两根，
使得二次函数存在“2倍美好区间”，故C正确.
对于D，函数的定义域为，若函数存在“完美区间”，若，由于函数在内单调递减，则，，解得若，由于函数在内单调递增，则，，即有两解a，b，且，解得，故实数m的取值范围为，故D正确.  

13.【答案】 

【解析】解：
  

14.【答案】1 

【解析】解：由于图中一次函数图象可得，所以图象中线段所在直线的方程为，
又点在曲线上，所以，
解得，因此含药量毫克与时间小时之间的函数关系式为，当时，由题意令，即，即，解得

  15.【答案】10 

【解析】解：由，得图象的对称轴为直线，
又，即，
所以函数的图象也关于直线对称，
如图函数和函数的图象的5个交点的横坐标关于直线对称，
根据对称性可得  

16.【答案】 

【解析】解：①当时，由得到在上恒成立，显然a不存在；

②当时，由，可设，
由的大致图象，可得的大致图象，如图所示，

由题意可知则，所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为  

17.【答案】解：当时，原不等式的解集为或

命题，使得为假命题，

，恒成立为真命题

即：对恒成立

①当即时，恒成立，符合题意;

②当即时综上所述：

18.【答案】解：由题知：集合，，

，需选条件③，

此时，或，

，

“”是“”的必要不充分条件是B的真子集

19.【答案】解：
 

画出的图象如图所示.


由图知：，解得或，
即实数m的取值范围是

20.【答案】解：当时，

当时，设而，

，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.

当时

当且仅当，即时等号成立.

当时，单调递减，当时，取到最大为

当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元

21.【答案】解：为偶函数，代入计算得：，

对，，当时，

，

，，，

函数在上单调递增;

令

，

①当时，，解得：无解;

②当时，，解得：，
，综上所述：

为奇函数，，，

又不等式在上有解，

，

由平方差和立方差公式得：，

令，

而在上单调递增，所以，

22.【答案】解：在区间上不单调，，

的对称轴为，要使达到最小，t与必关于对称轴对称，

，①

，代入化简得：，②

由①②解得：

法，，

令，，

而为偶函数，且在单调递增，

对恒成立，

参变量分离得：，

令，，，

当时，的最小值为
同理：，

的最大值为，
综上所述：

法，，

令，，

而为偶函数，且在单调递增，

对恒成立，

，

，
且对恒成立，

令，，解得：；

令，

当时，，；

当时，，无解；

当时，，，

，

综上所述：