浙江省舟山市2022-2023学年金衢山五校联盟九年级第一学期期中联考数学试题卷(含答案)

浙江省舟山市2022-2023学年金衢山五校联盟九年级第一学期期中联考数学试题卷

亲爱的考生:

欢迎参加考试！请你认真审题,仔细答题,发挥最佳水平,答题时,请注意以下几点：

1.全卷共8页,满分120分,考试时间120分钟。

2.答案必写在答题纸相应的位置上,写在试题卷、草稿纸上无效。

第I卷（选择题）

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，每小题只有一个正确选项，共30分）

1．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

2．下列事件是必然事件的是（   ）

A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒   B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上

C．打开的电视机正在播放新闻         D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日

3．由二次函数，可知（　　）

A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3

C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大

4．如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（    ）

A． B．2 C．1 D．

5．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（    ）

A．1m B．0.8m C．0.6m D．0.4m

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(   )

①  ； ②  ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．如图， 点的坐标为， 点的坐标为的坐标为， 将沿轴向下平移， 使点平移至坐标原点， 再将绕点逆时针旋转， 此时的对应点为 ， 点的对应点为， 则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

9．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

10．在研究函数图形的性质时，若将自变量x变为，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图像变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x＋3的图象，则对于，当y＞0时，x的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．已知线段，线段，则线段，的比例中项线段长为____________．

12．如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．

13．为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校两名互不相识的同学王明和李强，随机进入学校，二人恰好均从A通道入校的概率是________．

14．如图，扇形OAB中，，以AO为直径作半圆．若，则阴影部分图形的周长为_______．

15．关于x的二次函数中，当时，．则的值为______．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．则CG＝_____．

三．简答题（第17,18,19题各6分，第20、21题8分，第22,23题各10分，第24题12分，共66分）

17．已知实数x、y、z满足，试求的值．

18．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．

(1)请在图中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，并写出各顶点的坐标；

(2)请在图中画出绕点顺时针旋转180°后的图形．

19．如图，是的直径，是的一条弦，且于点．

(1)求证：；

(2)若，，求的半径．

20．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．

（1）求证：AB2＝AE•AC；

（2）若D为BC中点，AE＝4，EC＝6，且tanB＝3，求△ABC的面积．

21．2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为，，，，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好

(1)小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是　 　

(2)小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．

22．为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：．

(1)赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

(2)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于28元．如果赵某想要每月都不亏损，那么政府每月为他承担的总差价最少为多少元？

(3)设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

23．已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．

(1)若，求a的值；

(2)若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；

(3)直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．

24．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．

阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：

证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，∴MA＝MC，…

(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；

(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；

(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）

二、填空题（本题有6小题，共24分)

11．    12．12   13．或   14．  15．或   16．12.5

17．4．

【详解】解：设，则，

，

．

18．(1)作图见解析，，，

(2)作图见解析

【详解】（1）

如图所示．

点的坐标，点的坐标是，点的坐标是；

（2）

如图所示．

19．(1)证明见解析    (2)

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴

∴，

∴；

（2）解：设的半径为，

∵，

∴，，

∵直径，，

∴，

∵在中，，

∴

解得：.

∴的半径为．

20．（1）见解析；（2）S△ABC＝24

【详解】（1）∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAC，

∴△ADE∽△ACD

∴

∵AB＝AD

∴AB2＝AE•AC

（2）过点A作AH⊥BC，垂足为H，

∵AB2＝AE•AC

∴AB＝2

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，tanB＝3

∴AH＝6，BH＝2

∴BH＝DH＝2

∴BD＝4

∵D是中点

∴BC＝8

∴S△ABC＝×BC×AH＝24

21．(1)    (2)

【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，

∴小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是，

故答案为：；

（2）根据题意画树状图，如图所示，

从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种．

∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为：．

22．(1)600元   (2)440元    (3)30元

【详解】（1）解：当时，，

元，

答：政府这个月为他承担的总差价为600元；

（2）解：∵赵某想要每月都不亏损，

∴，

又∵，

∴当时，

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴，

∵．

∴p随x的增大而减小，

∴当时，p有最小值440元．

答：当销售单价定为28元时，政府每个月为他承担的总差价最少，最少为440元；

（3）解：由题意得，  

∵，

当时，W有最大值4000元．

答：当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．

23．(1)   (2)4，    (3)5

【详解】（1）解：令，得，解得：，．

∵与x轴交于两点（A左B右），与y轴交于点C，

∴，，，，

∵，，

解得：；

（2）解：当时，抛物线为，

将点、的坐标代入一次函数表达式可求得：

直线的表达式为：，

设点，则点，

∴，

∴当时，有最大值4，此时点；

（3）解：由（1）知：、、，

设点，

将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：，

故，

同理，直线为，，

∴，

∵，

∴，

∴．

24．(1)见解析   (2)3     (3)8+8

【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA=MC．

又∵BA=GC，∠A=∠C，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，

∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，

∴△DCF≌△DBA（SAS），

∴DF=AD，

又∵DE⊥AC，

∴AE=EF，

∵CF=AB=4，AC=10，

∴AE=3；

（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，

由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF=AD，

∵AE⊥BD，

∴FE=DE，则CD+DE=BE，

∵∠ABD=45°，

∴BE=AB=4，

则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．

故答案为：8+8．