高考数学一轮复习考点规范练25数列的概念含解析人教版

考点规范练25　数列的概念

一、基础巩固

1.已知数列,…,则5是它的(　　)

A.第19项 B.第20项 

C.第21项 D.第22项

答案:C

解析:数列,…中的各项可变形为,…,即该数列的通项公式an=,

令=5,得n=21.

2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于(　　)

A B C D.30

答案:D

解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,

则=5×(5+1)=30.

3.已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2等于(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

答案:D

解析:由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.

4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,若bn=(n-10)an,则数列{bn}的最小项为(　　)

A.第10项 B.第11项 

C.第6项 D.第5项

答案:D

解析:由Sn=n2,得当n=1时,a1=1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,

当n=1时显然适合上式,所以an=2n-1,

所以bn=(n-10)an=(n-10)(2n-1).

令f(x)=(x-10)(2x-1),易知其图象的对称轴为直线x=,

所以数列{bn}的最小项为第5项.

5.(多选)已知数列{an}满足a1=-,an+1=,则下列各数是数列{an}的项的有(　　)

A.-2 B C D.3

答案:BD

解析:因为数列{an}满足a1=-,an+1=,

所以a2=,a3==3,a4==-=a1.

故数列{an}是周期为3的数列,且前3项依次为-,3.

6.已知数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=,则a5等于(　　)

A B C D

答案:A

解析:∵数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=,

∴a2=a1·a1=,a3=a1·a2=,

∴a5=a3·a2=

7.已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,则数列{an}的通项公式an=　　　　　. 

答案:3n

解析:当n=1时a1=3.当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.又a1=3符合上式,故an=3n.

8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n=　　　　　. 

答案:5或6

解析:由题意令

得

解得故n=5或n=6.

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. 

答案:2n-1

解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,

∴an+1=2(an-1+1).

又S1=2a1-1,∴a1=1.

∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,

∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.

10.已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;

(2)若Sn=3n+2n+1,求an.

解:(1)因为Sn=(-1)n+1·n,

所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.

当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).

又a1=1也适合此式,

所以an=(-1)n+1·(2n-1).

(2)当n=1时,a1=S1=6;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①

因为a1=6不适合①式,

所以an=

二、综合应用

11.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 023的值为(　　)

A.2 023n-m B.n-2 023m

C.m D.n

答案:C

解析:∵an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,

∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,∴an+6=an.

则S2023=S337×6+1=337×(a1+a2+…+a6)+a1=337×0+m=m.

12.(2021山西太原高三期末)意大利数学家莱昂纳多·斐波那契提出的“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,在现代生物及化学等领域有着广泛的应用,它可以表述为数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn},则{bn}的前2 021项和为(　　)

A.2 014 B.2 022 

C.2 265 D.2 274

答案:D

解析:∵数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,

被3除后的余数构成一个新数列{bn},

∴数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,

观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列,

∵2021=252×8+5,且b1+b2+…+b8=9,

∴{bn}的前2021项和为252×9+1+1+2+0+2=2274.

13.设数列{an}的首项为1且各项均为正数,若(n+1)-n+an+1·an=0,则它的通项公式an=　　　　　. 

答案:

解析:∵(n+1)-n+an+1·an=0,

=0.

∵数列{an}的首项为1,且各项均为正数,

∴(n+1)an+1=nan,

即,则an=…a1=…1=

14.已知数列{an}满足an+1=an+2n,且a1=32,则的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:∵an+1=an+2n,即an+1-an=2n,

∴an=+(an-1-an-2)+…++a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+32=2+32=n2-n+32.

=n+-1.

令f(x)=x+-1(x≥1),则f'(x)=1-

∴f(x)在区间[1,4)内单调递减,在区间(4,+∞)内单调递增.

又f(5)=5+-1=,f(6)=6+-1=<f(5),

∴当n=6时,取最小值为

15.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,bn=Sn-3n.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若an+1≥an,求a的取值范围.

解:(1)因为an+1=Sn+3n,

所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即Sn+1=2Sn+3n,

由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),

即bn+1=2bn.

又b1=S1-3=a-3,即数列{bn}是首项为a-3,公比为2的等比数列.故数列{bn}的通项公式为bn=(a-3)·2n-1.

(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.

由(1)知Sn=3n+(a-3)·2n-1.

于是,当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)·2n-1-3n-1-(a-3)·2n-2=2×3n-1+(a-3)·2n-2,

故an+1-an=4×3n-1+(a-3)·2n-2=2n-2[12+a-3].

当n≥2时,由an+1≥an,可知12+a-3≥0,

即a≥-9.

又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).

三、探究创新

16.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于(　　)

A.2n-1 B.n 

C.2n-1 D

答案:D

解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),

则Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),

两式相减,得2an=3an-1(n≥2),

又an>0,所以(n≥2).

又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,

所以a1=1.

即数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.故an=