广西专用高考数学一轮复习考点规范练30数列的概念与表示含解析新人教A版理

考点规范练30　数列的概念与表示

基础巩固

1.数列1,,…的一个通项公式an=(　　)

A B C D

答案:B

2.(2020安徽芜湖期末)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则a8=(　　)

A.13 B.15 C.17 D.19

答案:A

解析:a8=S8-S7=82-2×8+2-(72-2×7+2)=13,故选A.

3.(2020河北石家庄模拟)若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 020的值为(　　)

A.2 B.-3 C.- D

答案:D

解析:因为a1=2,an+1=,

所以a2==-3,a3==-,a4=,a5==2,…,故数列{an}是以4为周期的周期数列,从而a2020=a505×4=a4=

4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为(　　)

A.49 B.50 C.99 D.100

答案:A

解析:由题意得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=S1=3,所以数列{bn}的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A.

5.记Sn为数列{an}的前n项和.“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”,

∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件.

如数列{an}为-1,1,3,5,7,9,…,显然数列{Sn}是递增数列,但是an不一定大于零,还有可能小于零,

∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”,

∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件.

∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件.

6.设数列,2,…,则是这个数列的第　　　　　项. 

答案:14

解析:由已知得数列的通项公式为an=

令,解得n=14,即为第14项.

7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=2Sn(n∈N*),则a10=　　　　　. 

答案:256

解析:因为a1=S1=1,Sn+1=2Sn,所以数列{Sn}是公比为2的等比数列,所以Sn=2n-1,所以a10=S10-S9=29-28=28=256.

8.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=　　　　　　　　. 

答案:

解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,a1=2不满足上式.

故数列{an}的通项公式为an=

9.设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0,则它的通项公式an=　　　　　. 

答案:

解析:∵(n+1)-n+an+1·an=0,

=0.

∵{an}是首项为1的正项数列,∴(n+1)an+1=nan,

即,故an=…a1=…1=

10.已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及数列{an}的通项公式;

(2)若Sn=3n+2n+1,求数列{an}的通项公式.

解:(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.

当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).

又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).

(2)当n=1时,a1=S1=6;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①

因为a1不适合①式,所以an=

能力提升

11.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(　　)

A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n

答案:C

解析:∵an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,

∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,

∴an+6=an.

则S2017=S336×6+1=336×(a1+a2+…+a6)+a1=336×0+m=m.

12.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于(　　)

A.2n-1 B.n C.2n-1 D

答案:D

解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),

∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),

两式相减,得2an=3an-1(n≥2).

又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.

∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.

∴an=

13.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　　. 

答案:3n

解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,当n≥2时,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n,当n=1时,a1=3,符合,所以an=3n.

14.(2020上海青浦区二模)定义函数f(x)={x{x}},其中{x}表示不小于x的最小整数,如{1.4}=2,{-2.3}=-2.当x∈(0,n](n∈N*)时,函数f(x)的值域为An,记集合An中元素的个数为an,则an=　　　　　. 

答案:

解析:由题意得,当x∈(n-1,n]时,{x}=n,所以x{x}所在的区间为(n(n-1),n2],区间长度为n,{x{x}}取到的整数为n2-n+1,n2-n+2,…,n2-n+n=n2,共n个,

所以,当x∈(0,1]时,{x{x}}有1个;当x∈(1,2]时,{x{x}}有2个;当x∈(2,3]时,{x{x}}有3个;……当x∈(n-1,n]时,{x{x}}有n个.

所以x∈(0,n]时,{x{x}}共有1+2+3+…+n=个数.故an=

15.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*,bn=Sn-3n.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若an+1≥an,求a的取值范围.

解:(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即Sn+1=2Sn+3n,

由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.

又b1=S1-3=a-3,故{bn}的通项公式为bn=(a-3)·2n-1.

(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.

由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.

于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,

故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2

当n≥2时,由an+1≥an,可知12+a-3≥0,即a≥-9.

又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).

高考预测

16.已知数列{an}的通项公式an=

若对任意n∈N*,an<an+1恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

答案:(3,5)

解析:∵对任意n∈N*,an<an+1恒成立,

∴当n=1时,由a1<a2,可得a<8+(8-2a),解得a<;

当n≥2时,4n+(-1)n(8-2a)<4(n+1)+(-1)n+1(8-2a),整理得(4-a)(-1)n+1+1>0,

当n=2k时,可化为-(4-a)+1>0,解得a>3;

当n=2k+1时,可化为4-a+1>0,解得a<5.

综上可得3<a<5.

∴a的取值范围是(3,5).