2022年人教版湖北省随州市中考数学试卷

2022年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）2022的倒数是　　
A．2022 B． C． D．
2．（3分）如图，直线，直线与，相交，若图中，则为　　

A． B． C． D．
3．（3分）小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为　　
A．97和99 B．97和100 C．99和100 D．97和101
4．（3分）如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是　　

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
5．（3分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
6．（3分）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程用科学记数法可表示为　　
A． B． C． D．
7．（3分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是　　

A．张强从家到体育场用了
B．体育场离文具店
C．张强在文具店停留了
D．张强从文具店回家用了
8．（3分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有　　
①图中的三角形都是等腰直角三角形；
②四边形是菱形；
③四边形的面积占正方形面积的．

A．只有① B．①② C．①③ D．②③
9．（3分）如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为　　

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有　　
①；
②；
③函数的最大值为；
④若关于的方程无实数根，则．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算：　　．
12．（3分）如图，点，，在上，若，则的度数为 　　．

13．（3分）已知二元一次方程组，则的值为 　　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 　　．

15．（3分）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 　　，最大值为 　　．
16．（3分）如图1，在矩形中，，，，分别为，的中点，连接．如图2，将绕点逆时针旋转角，使，连接并延长交于点．则的度数为 　　，的长为 　　．


三、解答题（本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）解分式方程：．
18．（7分）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
19．（8分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
（1）求证：；
（2）已知平行四边形的面积为20，，求的长．

20．（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 　　人；
（2）条形统计图中的值为 　　，扇形统计图中的度数为 　　；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 　　人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

21．（9分）如图，已知为上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求的半径；
②求的长．

22．（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第天，且为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第天
1
2

6

11

15
供应量（个
150







需求量（个
220
229

245

220

164
（1）直接写出与和与的函数关系式；（不要求写出的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
23．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式 　　，图2对应公式 　　，图3对应公式 　　，图4对应公式 　　．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为．
①若为边的中点，则的值为 　　；
②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且，为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，当点在直线上方时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）设为抛物线对称轴上一动点，当，运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点及其对应点的坐标；若不存在，请说明理由．



2022年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）2022的倒数是　　
A．2022 B． C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是．
故选：．
2．（3分）如图，直线，直线与，相交，若图中，则为　　

A． B． C． D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，便可求得结果．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
3．（3分）小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为　　
A．97和99 B．97和100 C．99和100 D．97和101
【分析】观察这组数据发现97出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为97，将五个数据相加求出之和，再除以5即可求出这组数据的平均数．
【解答】解：这组数据中，97出现了2次，次数最多，
这组数据的众数为97，
这组数据的平均数．
故选：．
4．（3分）如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是　　

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个圆．
故选：．
5．（3分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马天可以追上慢马，
依题意，得：．
故选：．
6．（3分）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程用科学记数法可表示为　　
A． B． C． D．
【分析】根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可．
【解答】解：


（米，
故选：．
7．（3分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是　　

A．张强从家到体育场用了
B．体育场离文具店
C．张强在文具店停留了
D．张强从文具店回家用了
【分析】由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可．
【解答】解：由图象知，
、张强从家到体育场用了，故选项不符合题意；
、体育场离文具店，故选项符合题意；
、张强在文具店停留了，故选项不符合题意；
、张强从文具店回家用了，故选项不符合题意；
故选：．
8．（3分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有　　
①图中的三角形都是等腰直角三角形；
②四边形是菱形；
③四边形的面积占正方形面积的．

A．只有① B．①② C．①③ D．②③
【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；
②利用①的结论可以证明解决问题；
③如图，过作于，设，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出和即可判定是否正确．
【解答】解：①如图，，分别为，的中点，
为的中位线，
，
，
，
四边形为正方形，
、、、在同一条直线上，
、、、、、、、、都是等腰直角三角形，
，分别为，的中点，
，，
、也是等腰直角三角形．
故①正确；
②根据①得，
四边形不可能是菱形．故②错误；
③，分别为，的中点，
，，
四边形是正方形，且设，
，
，
，
，
点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
过作于，
，
四边形的面积，
四边形的面积占正方形面积的．
、是，的中点，
，
四边形的面积占正方形面积的．
故③正确．
故选：．

9．（3分）如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为　　

A． B．
C． D．
【分析】设，在中，，可得，则，在中，，求解即可．
【解答】解：设，
在中，，
，
，
在中，，
解得．
故选：．
10．（3分）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有　　
①；
②；
③函数的最大值为；
④若关于的方程无实数根，则．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
②正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
③正确．设抛物线的解析式为，当时，的值最大，最大值为；
④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式，解不等式即可．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①错误．
抛物线的对称轴是直线，
，
，故②正确．
抛物线交轴于点，，
可以假设抛物线的解析式为，
当时，的值最大，最大值为，故③正确．
无实数根，
无实数根，
，△，
，
，
，故④正确，
故选：．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算：　0　．
【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可．
【解答】解：．
故答案为：0．
12．（3分）如图，点，，在上，若，则的度数为 　　．

【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：由圆周角定理得：，
，
，
故答案为：．
13．（3分）已知二元一次方程组，则的值为 　1　．
【分析】将第一个方程化为，并代入第二个方程中，可得，解得，将代入第一个方程中，可得，即可求解．
【解答】解：解法一：由可得：
，
代入第二个方程中，可得：
，
解得：，
将代入第一个方程中，可得
，
解得：，
，
故答案为：1；
解法二：，
由②①可得：
，
故答案为：1．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 　2　．

【分析】过点作轴于点．求出点的坐标，可得结论．
【解答】解：过点作轴于点．

直线与轴，轴分别交于点，，
，，
，
，
，
，
，
，
点在上，
，
故答案为：2．
15．（3分）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 　3　，最大值为 　　．
【分析】先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．
【解答】解：，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故答案为：3；75．
16．（3分）如图1，在矩形中，，，，分别为，的中点，连接．如图2，将绕点逆时针旋转角，使，连接并延长交于点．则的度数为 　　，的长为 　　．


【分析】如图，设交于点，交于点，过点作于点．证明，推出，可得，解直角三角形求出，，，再利用平行线分线段成比例定理求出，再根据，可得，求出．
【解答】解：如图，设交于点，交于点，过点作于点．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：，．
三、解答题（本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）解分式方程：．
【分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程即可．
【解答】解：左右两边同时乘以得
，
，
．
检验：把代入原方程得，等式成立，
所以是原方程的解．
18．（7分）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得；
（2）根据题意得，
，
，
解得，，
，
．
19．（8分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
（1）求证：；
（2）已知平行四边形的面积为20，，求的长．

【分析】（1）根据正方形的性质可以得到，根据平行四边形的性质可以得到，然后即可得到结论成立；
（2）根据平行四边形的面积，可以得到的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，从而可以求得的长，再根据（1）中的结论，即可得到的长．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即；
（2）解：平行四边形的面积为20，，四边形为正方形，
，，
，
，
由（1）知：，
．
20．（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 　60　人；
（2）条形统计图中的值为 　　，扇形统计图中的度数为 　　；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 　　人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

【分析】（1）利用即可求出参加问卷调查的学生人数．
（2）根据，即可得出答案．
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可．
（4）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）（人，
参加问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60．
（2），
，
故答案为：11；．
（3）（人，
估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人．
故答案为：100．
（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
21．（9分）如图，已知为上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求的半径；
②求的长．

【分析】（1）结论：是的切线；只要证明即可；
（2）①根据，构建方程求解即可；
②证明，推出，设，，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）结论：是的切线；
理由：如图，连接．
，，
，，
是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

（2）①设，
，
，
，
，
的半径为2；

②在中，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
（负根已经舍去），
．

22．（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第天，且为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第天
1
2

6

11

15
供应量（个
150







需求量（个
220
229

245

220

164
（1）直接写出与和与的函数关系式；（不要求写出的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得，设，用待定系数法可得；
（2）求出前9天的总供应量为个，前10天的供应量为个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为（个，可得，而为正整数，即可解得的值为20或21；
（3）最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为，销售额为20900元．
【解答】解：（1）根据题意得：，
设，将，，代入得：
，
解得，
；
（2）前9天的总供应量为个，
前10天的供应量为个，
在中，令得，
前9天的总需求量为2136个，
前10天的总需求量为（个，
前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
，
解得，
为正整数，
的值为20或21；
（3）由（2）知，最小值为20，
第4天的销售量即供应量为，
第4天的销售额为（元，
而第12天的销售量即需求量为，
第12天的销售额为（元，
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
23．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式 　①　，图2对应公式 　　，图3对应公式 　　，图4对应公式 　　．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为．
①若为边的中点，则的值为 　　；
②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
（2）由图可得，即可得，从而有，故；
（3）①设，可得，由是中点，即得，，，即得；
②设，，可得，，，，，，从而．
【解答】（1）解：观察图象可得：
图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）证明：
如图：

由图可知，矩形和矩形都是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①设，
由已知可得、、、是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，
是中点，
，
，，
，
，
；
故答案为：2；
②不为边的中点时①中的结论仍成立，证明如下：
设，，
由已知可得、、、是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，，，
，
，
．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且，为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，当点在直线上方时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）设为抛物线对称轴上一动点，当，运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点及其对应点的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）判断出，两点坐标，可以假设抛物线的解析式为，把代入抛物线的解析式，得，可得结论；
（2）如图（2）中，连接．设，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情形，点在轴上，点在轴上，分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线，抛物线交轴于点，，
，
，
，
可以假设抛物线的解析式为，
把代入抛物线的解析式，得，
抛物线的解析式为；

（2）如图（2）中，连接．设，

，


，
，
当时，的值最大，最大值为，此时，；

（3）存在，理由如下：
如图中，当点在轴上时，四边形是矩形，此时，；

如图中，当四边形是矩形时，设，，则，

由题意，，
解得，消去得，，
解得，
，，，或，，，．
综上所述，满足条件的点，或，，，或，，，．
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