2022-2023学年浙江省杭州学军中学高二上学期开学考试数学试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州学军中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据交集的定义即可得解.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：A.

2．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法可将复数表示为一般形式，利用共轭复数的定义可得出结果.

【详解】，因此，复数的共轭复数为.

故选：B.

【点睛】本题考查共轭复数的计算，解答的关键就是利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.

3．已知直线与平面，则能使的充分条件是（       ）

A．， B．，，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A错误；

对于B，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B错误；

对于C，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C错误；

对于D，，存在直线，满足，又，，

，，D正确.

故选：D.

4．已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面，圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求得圆锥的侧面积与圆台侧面积，即可得到二者之间的关系.

【详解】设圆台上底面半径为r，则圆台下底面半径为2r，圆锥的底面半径为r，

设圆台的高为h，则圆锥的的高为h

则圆台母线长为，圆锥的母线长为

则圆锥的侧面积为

圆台侧面积为，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的

故选：B

5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据投影向量的定义计算可得结果.

【详解】因为向量在向量上的投影为，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：A

6．已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（       ）

A．5h B．h C．h D．4h

【答案】B

【分析】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间

【详解】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动，

台风中心距离城市A的最短距离为

又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．

则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响

以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为

km

则城市A受台风影响的时间为

故选：B

7．由，可得与最接近的数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对于对数运算性质可求得，故而可得答案.

【详解】解：由，又，由①得与②得，即，故.

故选：B.

8．已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设球心为点，作中点，连接，，，由是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出，和棱锥的高，即可求出棱锥的体积．

【详解】设球心为点，作中点，连接、、．因为线段是球的直径，

所以它也是大圆的直径，则易得

所以在中，， 可得，，

又在中，， 可得， ，

所以，，

因为点是的中点所以在等腰三角形中，且，

在等腰三角形中，且，

又，平面，所以平面 ，

即棱锥的体积，

因为，，，

所以由余弦定理得，

所以，

由三角形面积公式得的面积

所以棱锥的体积

故选：C．

二、多选题

9．若，则下列不等式恒成立的有（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A，由基本不等式得，则，故A正确；

对于B，令时，，故不成立，故B错误；

对于C，由A选项得，所以，故C正确；

对于D，根据基本不等式的“1”的用法得，故D正确；

故选：ACD．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

10．已知且，函数与函数在同一个坐标系中的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】按和分类，确定的单调性，的最高点．

【详解】当时，是增函数，只有B、D满足，此时的最高点大于1，故B满足，D不满足；

当时，是减函数，只有A、C满足，此时的最高点大于0，小于1，故C满足，A不满足；

故选：BC．

11．函数满足，且在上单调，若在上存在最大值和最小值，则实数可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由条件可得，又利用余弦函数的性质可求，再结合条件及余弦函数的性质求出的范围，即可得出答案.

【详解】解：∵函数在上单调，

∴，

∴，

又函数满足，且，

所以为函数对称轴，

∴，即，

故当时，，

当时，，

∵在上存在最大值和最小值，

∴或，

∴或.

故选：AD.

12．如图，已知边长为1的正方形是线段上的动点（包括端点），分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则的最小值为

C．若，则的最小值为

D．若，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，设，结合向量的线性运算法则和向量的坐标运算法则，逐项运算，即可求解.

【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

设，

可得，

其中，则，

（1）由，所以正确；

（2）由，

当时，，所以正确；

（3）由（2）知时，

若则，

此时，所以不正确；

（4）由（2）知时，，

则，

上式里的“”可以取“”，条件是.

而时，有，

即，所以，

当的条件是的条件是，且时，

即，且时，即，，所以正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则_________．

【答案】2

【分析】直接使用棣莫佛定理，结合复数相等的定义进行求解即可.

【详解】由，

于是有，因为所以有，

于是有：，

当为偶数时，显然有，该方程无实根，

当当为奇数时，显然有，而，

故答案为：2

14．一水平放置的平面图形按“斜二测画法”得到直观图为斜边等于的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为______．

【答案】

【分析】根据题意画出原图形，由“斜二测画法”得出原图形长度即可求出.

【详解】如图，若直观图为，，则，所以在原图中，，所以面积为；

若直观图为，，则，所以在原图中，，所以面积为.

故答案为：.

15．如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于 ，则__________.

【答案】

【分析】由题意易得，，在中，分别求出，再利用正弦定理即可得解.

【详解】解：由题意可得，，

则，

所以，所以，

，

在中，由，

得.

故答案为：.

16．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有，则关于的不等式在区间上的解集为__________.

【答案】

【分析】由已知可得函数关于对称，继而由函数为奇函数，可得函数的周期，由函数的单调性的定义得函数在上是增函数，令，设，运用导函数分析函数的单调性，由此得，由对称性及周期性作函数的示意图和的图象，运用数形结合的思想可求得不等式的解集.

【详解】解：因为，所以函数关于对称，，

又函数为奇函数，所以，

所以，则，

函数是以4为周期的周期函数，

因为对任意的，当时，都有，

不妨设，所以，

所以函数在上是增函数，

所以当时，，

令，

设，则，

所以函数是单调递减函数，

所以当，，

所以当时，，即，

由对称性及周期性作函数的示意图和的图象如下图所示，

则不等式在区间上的解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数性质的综合应用，考查了利用导数研究函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力和数形结合思想，，有一定的难度.

四、解答题

17．已知.

(1)求的值;

(2)若，且，求角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；

（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.

【详解】(1)解：因为，

所以，解得；

(2)解：因为，，

则，

解得，

又，所以，

又因，所以，

则，

所以.

18．如图，在直三棱柱中，，点为 中点，连接交于点，点为中点.

(1)求证: 平面；

(2)求证: 平面平面.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）易得点为的中点，从而可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）易证得，证明平面，则有，再根据线面垂直的判定定理可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.

【详解】(1)证明：在直三棱柱中，

四边形为矩形，

则点为的中点，

因为点为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

(2)证明：在直三棱柱中，

因为，

所以四边形为正方形，

所以，

由平面，平面，

所以，

又，则，

又平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

又因平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

19．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.

问题：已知的内角及其对边，若，且满足___________.求的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】条件选择见解析；最大值为.

【分析】分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到，再由余弦定理得，进而求得，利用面积公式求得，即可求解.

【详解】选择条件①：因为，所以，

根据正弦定理可得，

由余弦定理得：，

又由，可得，

根据余弦定理得，

则，

所以，

所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.

选择条件②：因为，

由余弦定理得，

所以，

，

所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.

选择条件③：因为，

由余弦定理得：，

因为，可得，

又由余弦定理得：，

所以，

，

所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.

【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：

对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

20．如图，在中，已知D，E分别是的中点，，与交于点O.

（1）若，求的值；

（2）若，求的长.

【答案】（1）；（2）2.

【分析】（1）利用正弦定理求出，设，求出，，即得的值；

（2）求出，，，根据已知得到即得解.

【详解】解：（1）在中，，

由正弦定理可得，所以.

设.

因为D为中点，所以.

又因为，

所以.

（2）因为D，E分别是的中点，且与交于点O，

所以O为的重心，所以.

又因为，

.

所以

，

所以.

因为，，所以.

即，解得或（舍去），

所以.

21．如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.

（1）求证：；

（2）在翻折过程中，求二面角的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）在矩形中，可证明，则在翻折过程中，从而可证明平面，从而可证明.

（2）过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.因为平面平面，所以,从而是二面角的平面角，然后求解即可得出答案.

【详解】解：（1）如图1，连接交于F.

因为，且E为的中点，，

在矩形中，因为，

所以，所以，

所以，

所以，即.

由题意可知平面，

所以平面.

因为平面，所以.

（2）如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.

因为平面平面，所以.

又因为平面，所以平面.

因为平面，所以.

又因为平面，所以平面.

因为平面，所以.

所以是二面角的平面角.

在翻折过程中，设.

在矩形中，由，E为的中点，

得.

在直角三角形中，，所以，

因为，所以，所以，

所以.

在直角三角形中，.

设，所以.

所以，即.

解得，当时，等号成立，故，

因为，所以，

所以二面角的最大值为.

22．已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数

的实根都是 的实根；反之，方程的实根都是 的实根．

（Ⅰ）求d的值；

（Ⅱ）若，求c的取值范围；

（Ⅲ）若， ，求c的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【详解】试题分析：（Ⅰ）比较方便由题意若，则，即；（Ⅱ）关键是分析方程的解的情况，，，中只有一个为0时，两方程解相同，当时，由题意，无解，由此可得；（Ⅲ）由题意，符合题意，时，方程无实根，在时，方程无实根，符合题意，当时，方程有实根，此时要求无实根，综合以上分析可得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）设r是方程的一个根，即，由题设得，

于是，即，即；

（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，．

由得b，c是不全为零的实数，且，

则，

方程就是 ①

方程就是 ②

（1）当时，方程①②的根都为，符合题意；

（2）当时，方程①②的根都为，符合题意；

（3）当时，方程①的根都为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程

的实根，由题意，方程无实根，

故，得．

综上所述，c的取值范围是．

（Ⅲ）由，，得，，

③

由可以推断出，知方程的根一定是方程的根．

当时，符合题意；

当时，，方程的根不是方程 ④的根，

因此，根据题意，方程④应无实根，那么

当，即时，，符合题意；

当，即或时，方程④得，

即 ⑤，则方程⑤应无实根，所以有

且．

当时，只需，解得：，矛盾，舍去；

当时，，解得：，因此．

综上所述，c的取值范围是．

【解析】一元二次方程根的判别式．