2024浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题含解析

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题

高二年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，，，则（    ）

A  B.

C.  D.

2. 已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

3. 已知异面直线a，b分别为平面，的垂线，直线m满足，，，，则（    ）

A 与相交，且交线与m平行 B. 与相交，且交线与m垂直

C. 与平行，m与平行 D. 与平行，m与垂直

4. 在中， “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在时的值域为（    ）

A  B.

C.  D.

6. 二战期间，盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数为N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为，，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的.因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间.

由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的，由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计.若缴获坦克的编号为14，28，57，92，141，173，224，288，则利用上述方法估计的总数为（    ）

A. 306 B. 315 C. 324 D. 333

7. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.

9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 下列命题中正确的是（    ）

A. 某校按的比例对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层随机抽样，如果抽取的样本容量为900，则样本中高一年级的学生人数为300

B. 一组数据12，13，14，14，15，16的平均数与众数相同

C. 一组数据从小到大依次为1，2，3，5，m，若这组数据的极差为中位数的2倍，则

D. 若甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，10，则甲组数据标准差大于乙组数据的标准差

11. 函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（    ）

A. 一定是周期函数 B. 在单调递增

C.  D.

12. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的一个动点，则（    ）

A. 对任意点P，都有

B. 存在点P，使得周长为3

C. 存在点P，使得PC与所成的角为

D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.

13. 已知圆锥的高为2，体积为，则该圆锥的侧面积为______.

14. 已知锐角终边上一点P的坐标为，则______.

15. 已知函数，若函数有两个零点，且，则的取值范围为______.

16. 定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数，都有成立，则x的最小值是______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某校为了调查学生的数学学习情况，在某次数学测试后，抽取了100位同学的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知这100名同学的成绩范围是，数据分组为，，，，.

（1）求x的值；

（2）估计这100名同学成绩的上四分位数（第75百分位数）.

18. 已知复数z满足（i是虚数单位）

（1）求z的值；

（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

19. 如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.

（1）设，，请用，表示；

（2）设，求的值.

20. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若的外接圆半径为1，且，，求BC边上的中线长.

21. 如图所示，在四棱台中，四边形ABCD为菱形，，，.

（1）求证：；

（2）若直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

22. 已知函数，，且满足.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证函数存在唯一零点；

（3）设，证明.