河南省驻马店市环际大联考圆梦计划2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试题（含答案）

环际大联考

“圆梦计划”2022~2023学年度第一学期期中考试

高三数学（理科）试题

（试卷总分：150分  考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，若，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.2.

2.设，，则“”是“且”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分又不必要条件

3.已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

4.已知函数，若，则（    ）

A. B. C.3 D.2

5.已知为定义在上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则（    ）

A.2 B. C. D.4

6.将函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象，则（    ）

A.0 B. C.2 D.

7.函数在上的所有零点之和等于（    ）

A. B. C. D.

8.已知中，，且，则的面积的最大值为（    ）

A.1 B.2 C. D.

9.在中，已知，，则的最小值为（    ）

A.-1 B. C. D.

10.已知向量，满足，，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

11.已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（    ）

A. B. C. D.

12.已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知的定义域为，则的定义域为________.

14.已知，，若向量满足，则的取值范围__________.

15.已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且.若，则实数的取值范围是____________.

16.定义函数在上单调递减，且，对于任意的，均有恒成立，则的最大值为____________.

16.定义函数f（x）在R上单调递减，且f（2+x）+f（2-x）=0，对于任意的a，均有f（acosa）+f（bsina）≥0恒成立，则a+b的最大值为.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知集合，，且.

（1）若，求的取值范围；

（2）若，且，使得，求的取值范围.

18.（12分）已知函数（其中，），其图象经过，且函数图象的相邻两条对称轴之间的的距离为.

（1）求解析式；

（2）是否存在正实数，使图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

19.（12分）已知的三个内角，，对的三边为，，，且

（1）若，，求；

（2）已知，当取得最大值时，求的周长.

20.（12分）已知向量，，且，且，

（1）若与夹角，求；

（2）记，是否存在实数，使，对任意恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.（12分）已知函数，

（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；

（2）若和的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围.

22.（12分）已知函数

（1）求的最大值；

（2）求证：

环际大联考

“圆梦计划”20222023学年度第一学期期中考试

高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.答案：C

解析：∵，，

∴，知.

2.答案：B

解析：∵且；且，

（如，），∴“”是“且”的必要不充分条件.

3.答案：A

解析：由函数单调性知：；；

所以

4.答案：B

解析：∵，故.

因为，所以.

5.答案：C

解析：∵是定义在上的奇函数，∴，

∵关于对称，∴，

∴，即，，

∴

∴.

∴.

6.答案：D

解析：将函数图象

左平移个单位，得的图象，

又因为得到的函数

所以，

所以.

7.答案：B

解析：令，得或.

因为，所以，则或，或.

故在上的所有零点之和为.

8.答案：A

解析：由正弦定理得：，

由三角形面积公式得：

9.答案：D

解析：由题意知的外接圆半径为1，为针角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；

由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值；

，

当时，，所以的最小值为.

10.答案：D

解析：设向量，的夹角为，则

∵

∴

令，则，

∴又，∴

11.答案：C

解析：∵在定义域上是单调减函数，

当时，，

又因为，，

所以，当，，都为负值，则，，都大于，

当，，，则，都小于，大于.

综合可得，不可能成立.

12.答案：A

解析：设

则

即

令

则

∴在单调递增

对恒成立

而恒成立

令，

则在单调递减

∴

∴

的取值范围是

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案：

解析：∵，∴，

∴，∴.

14.答案：

解析：，设，，且，得

，即动点到原点的距离

且在以为圆心，半径为3的圆上，圆心到原点距离为

故，.

15.答案：

详解：由于的图象关于对称，由，所以可得

，又，所以，

因此，故

且，

解得：

16.答案：

详解：根据题意，函数在单调递减，且关于中心对称，

当时，

知，即，

（其中）

所以，所以，当且仅当时取等号.

故答案为：.

三、解答题：本题共6小题，共70分.

17.答案：（1）；（2）

解析：（1）∵∴

∴

∴则.

∴………………………………5分

（2）∵，且，使得

∴

∴

得.……………………………………10分

18.答案：（1）；（2）.

解析：（1）∵图像经过∴，∴……………………3分

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的的距离为

∴∴

则………………………………6分

（2）∵

∴…………………………9分

∴

∴………………………………12分

19.答案：（1）；（2）

解析：（1）∵  ∴  ∴  ∵  ∴

由正弦定理可知：  ∴…………………………4分

（2）∵当取最大值时，即取最大值

∵  ∴  ∴

当且仅当时，即，时等号成立……………………8分

由余弦定理可知：

∴  ∴

∴………………………………12分

20.答案：（1）1；（2）

解析（1）∵  ∴

∴  即

得……………………………………5分

（2）由（1）中

且对恒成立，则有：……………………8分

令，由函数的单调性可知：

解得即.………………………………12分

21.答案：（1）定义域为，证明见解析；（2）.

解析：（1）由题设可得，故，故的定义域为，

而

∴的图象关于点对称.…………………………4分

（2）∵和的图象有两个不同的交点

故在上有两个不同的实数解，

整理得到：在上有两个不同的实数解.

设，则，……………………10分

解得.

∴………………………………12分

22.答案：（1）0；（2）见解析.

解析：（1）

当时，

当时，

∴在上单调递增，在上单调递减

∴在时，取得最大值0.…………………………4分

（2）当，时，

不等式左边

不等式右边

因此只需证明：

……………………8分

由（1）知，在时，取得最大值0

∴在恒成立，∴

∴，，，……………………10分

∴以上各式相加得：

∴得证.…………………………12分