四川省成都市锦江区盐道街中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份四川省成都市锦江区盐道街中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共32分）   下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D.    已知，则的值为(    )A.  B.  C.  D.    已知点是线段的黄金分割点，，若，则的长为(    )A.  B.  C.  D.    在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的个小球，其中红球个，白球个．搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为(    )A.  B.  C.  D.    下列说法正确的是(    )A. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 B. 矩形都是相似图形
C. 等边三角形都是相似三角形 D. 菱形都是相似图形   如图，，且，则错误的是(    )A.
B.
C.
D.
    如图，在中，，点、、分别是三边的中点，且，则的长度是(    )
 A.  B.  C.  D.    某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，已知月份和月份利润的月增长率相同．设，月份利润的月增长率为，那么满足的方程为(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共10小题，共40分）   若是方程的一个根，则实数______．如图，在平行四边形中，点在上，：：，连接交于点，则：______．
 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是______ ．
 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为______．
如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于______米．
 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．15. 若，且，则的值为______．16     .已知是方程式的根，则式子的值为______．17. 如图，在四边形中，，，，，则的最小值为______．
 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，有以下五个结论：
；∽；；；若：：，则：：，你认为其中正确的是______填写序号．
三、解答题（本大题共7小题，共60分）请用适当的方法解下列方程：
；
；
．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为、．

画出绕点顺时针旋转后得到的图形．
在轴的左侧以为位似中心作的位似三角形，使新图与原图的相似比为：，并分别写出、的对应点、的坐标．成都某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形图．
“等级”在扇形图中的圆心角度数为______．
若该中学九年级共有名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？
若从体能为等级的名男生名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，．
求的长；
求菱形的高．
如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点．
求证：∽．
当，，求的长．
在的条件下，求的长．
在平面直角坐标系中，已知点，点在线段上，且，若点在轴的负半轴上，连接，过点作．
如图，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点．
求点的坐标；求证：∽．
在的条件下，如图，若点坐标为过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上，连接，求点的坐标．
如图，若，点在直线上，轴，垂足为点，若以点，，为顶点的三角形和相似，请直接写出点的坐标．
 如图，平行四边形中，为对角线，平分，交于点，交延长线于点．

如图，求证：；
如图，点为上一点，连接并延长交延长线于点，若，，求证：；
在的条件下，若，，求线段的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：由，得．
故选：．
利用合比性质解答．
考查了比例的性质，此题比较简单，熟记合比性质即可解题．
 3.【答案】 【解析】解：为线段的黄金分割点，且，为较长线段，
，
故选：．
根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，代入数据即可得出的值．
本题主要考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算，难度适中．
 4.【答案】 【解析】解：共有个球，其中红球有个，
，
故选：．
用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．
此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 5.【答案】 【解析】解：、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等如菱形，所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
B、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；
C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；
D、菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误．
故选：．
根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．
 6.【答案】 【解析】解：、，
，本选项说法正确，不符合题意；
B、，
，本选项说法正确，不符合题意；
C、的值无法确定，本选项说法错误，符合题意；
D、，
，本选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据比例的性质、平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
在中，点是斜边的中点，
则，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程熟练掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
等量关系为：一月份利润一月份的利润增长率一月份的利润增长率，把相关数值代入计算即可．
【解答】
解：设二、三月份的月增长率是，依题意有
，
故选：．  9.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
．
故答案为：．
把代入方程得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
 10.【答案】 【解析】解：四边形为平行四边形，
，
∽．
：：，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得出，进而可得出∽，根据相似三角形的性质结合：：，即可得出与的面积之比，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：把开关，，分别记为、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 12.【答案】 【解析】解：过点作，则，
由题目作图知，是的平分线，

则，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
由题目作图知，是的平分线，过点作，则，进而求解．
本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
过作于，如图，易得四边形为矩形，则米，米，利用平行投影得到，则可判断为等腰直角三角形，所以米，然后计算即可．
【解答】
解：过作于，如图，易得四边形为矩形，
则米，米，
根据题意得：，
所以为等腰直角三角形，
所以米，
所以米．
故答案为：．  14.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 【解析】利用十字相乘法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可；
利用十字相乘法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可；
利用提取公因式法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 15.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示即为所求，，． 【解析】根据中心对称的性质即可得到结论；
利用位似图形的性质得出，两点坐标在，坐标的基础上，同乘以，进而得出坐标画出图形即可；利用位似图形的性质得出，点坐标．
此题主要考查了作图位似变换，作图旋转变换，得出对应点坐标是解题关键．
 16.【答案】   【解析】解：，
所以本次抽样调查共抽取了名学生；
测试结果为等级的学生数为人；
，
名，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为等级的学生有名；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率．
用等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
求出等级的人数，进而求出等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；
用乘以等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为等级的学生数；
用列表法表示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 17.【答案】解：四边形是菱形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；

过作于，

四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即菱形的高是． 【解析】根据菱形的性质得出，根据矩形的判定得出四边形是矩形，再根据矩形的性质得出即可；
过作于，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，求出，求出，再代入求出即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和矩形的判定是解此题的关键．
 18.【答案】证明：和是两个等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
∽，
解：∽，
，且，，
，

，
，
，
，，
；
过点作于，

，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 【解析】由和是两个等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得∽；
由相似三角形的性质可求，可求，，即可求的长；
首先解，求出的长，再证明∽，进而解决问题．
本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 19.【答案】且 【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程概念和根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 20.【答案】 【解析】解：设，
，，，
，
，
，
，
，，，



，
故答案为：．
利用设法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
 21.【答案】 【解析】解：是方程的根，
，





．
故答案为：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解．
此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 22.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，于点，作于，于，与交于点，
取的中点，连接，，

在中，
，，
，
，
，

，
，
∽，
，
设，则，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，于点，作于，于，与交于点，取的中点，连接，，证明∽，可得，设，则，所以，根据勾股定理可得，进而可得的最小值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，解决本题的关键是得到∽．
 23.【答案】 【解析】解：正方形和正方形，
，
，
，
，
，
正确，符合题意；
和都是等腰直角三角形，
，
又，
∽，
正确，符合题意；
∽，
，
；
正确，符合题意；
，
，
∽，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
正确，符合题意；
：：，
设，，
，
在中，
由勾股定理知：，
，
，
，
，
：：，
错误，不符合题意；
综上所述，符合题意的结论有．
故答案为：．
由正方形的性质和余角的性质可知；
根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到∽；
由相似知：，可得；
由，可证∽，根据对应边成比例即可；
若：：，设，，则，由勾股定理知，借助的证明即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
 24.【答案】解：，
，
，
，，
．
，，
，
，，
，
∽．
如图，过点作轴于点，延长，交的延长线于点，则四边形是矩形，
，，
轴，
，
∽，，
，
，
设，则，，
由对称得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：或，
或．
，，，
，，
∽，
，
设，则，，
如图，当∽，点在点左上方时，有
，即，
解得：，
，，
，
；
同理可得，当∽，点在点右下方时，有
，，
，
；
当∽，点在点左上方时，有
，即，
解得：，
，，
，
；
同理可得，当∽，点在点右下方时，有
，，
，
；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或 【解析】先由点得到的长度，然后结合得到的长度，最后得到点的坐标；
先由得到，然后结合得到，进而得证∽；
过点作轴于点，延长，交的延长线于点，设，由相似得到，然后得到的长，再结合对称的性质求得，进而得到，，也就得到，，最后结合勾股定理列出方程求得的值，也就可以得到点的坐标；
先设，然后得到和的长，分情况讨论，∽，∽，然后利用相似三角形的性质列出方程求得的值，进而得到点的坐标．
本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活应用分类讨论的思想结合数形结合方法进行解题．
 25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
∽，
，
，
平分，
，
，
，
；
，
设，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作于，

，
，
，
，
，
，，
，
，
设，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】通过证明∽，可得，由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，可得结论；
由角的数量关系可得，可得；
先求出，，由相似三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．