2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是(    )

A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断

2. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 掷一枚硬币，正面朝下 B. 三角形两边之和大于第三边
C. 一个三角形三个内角的和小于 D. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球

3. 由二次函数，可知(    )

A. 其图象的对称轴为直线 B. 其最大值为
C. 当时，随的增大而增大 D. 其图象与轴的交点为

4. 已知二次函数，用配方法化为的形式，结果是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知是的直径，弦于点，是的中点，连结，，，则下列结论不一定成立的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

6. 下列说法正确的是(    )

A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 三点确定一个圆
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦

7. 如图，的半径为，若，则经过点的弦长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 、、是抛物线上三点，，，的大小关系为(    )

A. 1 B.  C.  D.

9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
   ；
   方程的两个根是，；
   ；
   当时，的取值范围是；
   当时，随增大而增大．
   其中结论正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
    ；
    若点为的中点，则．
    若，则；
    ；
    其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 从这个自然数中任取一个，是的倍数的概率是______ ．
12. 如图所示，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则__________．
     
13. 五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则______．

14. 把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为______．
15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行 ________才能停下来．
16. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    一个不透明的袋中装有分别标着汉字“温”“外”“数”“学”的个小球，除汉字不同之外，小球材质、大小、形状全部相同，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
    求从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“温”的概率是______；
    从袋中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“数学”的概率．
18. 本小题分
    如图，在的正方形网格中每个小正方形的边长都为个单位，的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系，
    请在图中标出的外接圆的圆心的位置；并填写：圆心的坐标：______，______
    将绕点逆时针旋转得到，请画出，并保留作图痕迹．

19. 本小题分
    已知某二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．
    求这个二次函数的表达式；
    求图象与轴交点、两点的坐标在点的左边及的面积．
20. 本小题分
    已知中，，以为直径的交于点，交于点 ．
    当为锐角时，如图，求证：；
    当为钝角时，如图，的延长线与相交于点，中的结论是否仍然成立？并说明理由．
     
21. 本小题分
    台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市的正南方向的处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响．结果精确到
    该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
    若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

22. 本小题分
    某超市经销一种销售成本为每件元的商品，据市场调查发现，如果按每件元销售，一周能售出件，若销售单价每涨元，每周销售就减少件，设销售价为每件元，一周的销售量为件．
    当销售价为每件元时，一周能销售多少件；答：______件；
    写出与的函数关系式；
    设一周的销售利润为，当销售价定为多少元时，周销售利润达到了最大值，最大值是多少元？
    在超市对该种商品投入不超过元的情况下，使得一周销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
23. 本小题分
    若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”如图，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
    矩形______“奇妙四边形”填“是”或“不是”；
    如图，已知的内接四边形是“奇妙四边形”，若的半径为，求“奇妙四边形”的面积；
    如图，已知的内接四边形是“奇妙四边形”作于请猜测与的数量关系，并证明你的结论．
     
24. 本小题分
    一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米．要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
    
    如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
    求抛物线的解析式；  要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
    如图，若把桥看做是圆的一部分．
    求圆的半径；要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了点与圆的位置关系的应用．
已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外．
【解答】
解：的半径为，若，
，
点与的位置关系是点在内，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：掷一枚硬币，正面朝下是随机事件；
三角形两边之和大于第三边是必然事件；
一个三角形三个内角的和小于是不可能事件；
在一个没有红球的盒子里，摸到红球是不可能事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
时，随增大而增大，
将代入，得，
抛物线与轴交点坐标为，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：
运用配方法求解即可．
【解答】
解：，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，弦，
，成立；
是的中点，
，
，成立；
是的直径，弦，
，
，成立；
不成立，不成立，
故选：．
根据圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，掌握相关的性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，
故选：．
利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难道不大．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．过点作弦，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，判断即可．
【解答】

解：过点作弦，连接，
由勾股定理得，，
则，
过点的最短的弦长为，
的半径为，
的直径为，即过点的最长的弦长为，
点的弦长，
故选C．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出纵坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有个交点，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，所以正确；
，
即，
而时，，
即，
，
，
所以错误；
抛物线与轴的两点坐标为，，
当时，，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，所以正确．
故选：．
利用抛物线与轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时为可得到，则可对进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：
当时，抛物线开口向上；
当时，抛物线开口向下；
一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：
当与同号时即，对称轴在轴左；
当与异号时即，对称轴在轴右；
常数项决定抛物线与轴交点位置：
抛物线与轴交于；
抛物线与轴交点个数由决定：
时，抛物线与轴有个交点；
时，抛物线与轴有个交点；
时，抛物线与轴没有交点．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是的直径，
，
，

故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
≌，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，

，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故选：．
由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，可以解决问题．
本题考查垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
 

11.【答案】 

【解析】解：从这个自然数中，的倍数有：，，，，共个，
任取一个是的倍数的概率是：．
让从中的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率．
明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
故答案为．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：作于，交于，连接，如图所示：
则，，，，
，
，
；
故答案为：．
作于，交于，由垂径定理得出，，，，求出，由勾股定理求出，即可得出．
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，
平移后的抛物线顶点坐标为，
平移后抛物线的表达式．
故答案为：
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
【解答】
解：，
函数有最大值．
，
即飞机着陆后滑行米才能停止．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：连接，取的中点，连接，过点作于，如图所示：
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，
设交于，
直线与轴、轴分别交于点、，
，，
，，
，，
，，
∽，
，
即，
，
当点与重合时，的面积最小，的面积最小值，
故答案为．
连接，取的中点，连接，过点作于首先证明点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，设交于求出的长，当点与重合时，的面积最小．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“温”的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“数学”的结果有种，
取出的两个球上的汉字恰能组成“数学”的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“数学”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图所示，点即为所求，，
故答案为：；

如图所示，即为所求．
分别作与的垂直平分线相交于点，则点即为所求，根据图形得出点的坐标；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了旋转变换的性质，三角形外接圆与外心，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把点代入得，
解得，
所以函数解析式；
当时，，
解得，，
所以，，
，
，
，
的面积． 

【解析】设顶点式，然后把点代入求出即可得到抛物线解析式；
通过解方程可得到点和点坐标，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】解：连接，
是直径，
，
即．
又，
．
又，
；

结论成立．
理由如下：连接．
为直径，
，
又，
，
，，
，
 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，又由，根据等腰三角形的三线合一，得平分，结合圆周角定理，即可得；
连接根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明．
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在中，
，，
，
，
该城市会受到这次台风的影响；

如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
台风影响该市持续的路程为：．
台风影响该市的持续时间小时，
台风影响该城市的持续时间有小时． 

【解析】求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于，就是所求的线段．直角三角形中，有的度数，有的长，就不难求出了．
受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．
 

22.【答案】 

【解析】解：件；
故答案为：；
；



，
，
当时，有最大值，最大值为元；
答：当销售价定为元时，周销售利润达到了最大值，最大值是元；
，
解得，
的取值范围为，
当时，，
解得，舍去，
答：销售单价应定为元．
每件元时，则涨了元，所以每周销售就减少件，然后用件减去件即可；
用销售价为每件元，则每周销售就减少件，然后用减去减少的件数得到与的函数关系式；
用每件得的利润乘以销售量得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
先根据总成本确定的范围，然后解方程即可．
本题考查了二次函数的应用：根据每周的利润每件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数的性质解决实际问题．
 

23.【答案】不是 

【解析】解：矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
连结、，作于，如图，则，
，
，
在中，，
，
，
，
，
“奇妙四边形”的面积；
理由如下：
连结、、、，作于，如图，
，
，
，
而，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
．
根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
连结、，作于，如图，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得，在中可计算出，，则，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
连结、、、，作于，如图，根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，，再利用等角的余角相等得到，则可证明≌得到，于是有．
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
 

24.【答案】解：设抛物线解析式为：，
桥下水面宽度是米，高是米，
，，，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
要使高为米的船通过，
，则，
解得：，
米；
设圆半径米，圆心为，
，
，
解得：；
在中，
由题可知，，，
根据勾股定理知：，
即，
所以，
此时宽度米． 

【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，以及垂径定理，勾股定理，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键．
利用待定系数法求函数解析式即可；
根据题意得出时，求出的值即可；
构造直角三角形利用，求出即可；
在中，由题可知，，，根据勾股定理知：，求出即可．