2021秋·长沙四大名校八上第三次月考数学压轴汇编及解析

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2021秋·名校八上第三次月考压轴汇编-解析册
一、2021秋青一八上第三次月考压轴题

10.如果关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C；
【解析】解得，，又且为正整数，∴，，，；

解得，，且不等式组至少有2个偶数解，∴，∴，
∴，。






16.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为__________.
【答案】；
【解析】如图，作PF∥BC交AC于F，则易得△APF为等边三角形，又PE⊥AF，由三线合一知AE=EF，证△PFD≌△QCD（AAS），则有FD=CD，∴。








23.如图，在△ABC中，，AD⊥AB交BE延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点F，交AB于点G，.
（1）若E为AC的中点，求证：；
（2）若，求BF值；
（3）若，求的值.

【答案】（1）见解析；（2）BF=1；（3）10.
【解析】（1）证明：∵AC=BC，CG平分∠ACB，∴CG⊥AB，又AD⊥AB，∴，∴∠ADE=∠CFE
在△DEA与△FEC中，，∴，∴.
（2）如图，连接AF，由题可知CG垂直平分AB，∴AF=BF，，
∵，，∴，∴，
∴F为BD中点，.

（3）如图，作于H，∵FG⊥AB于G，AD⊥AB，∴四边形FGAH为矩形，∴FH=AG，AH=FG
证△DHF≌△FGB（ASA），∴ ，
令，则，∵，∴，
∴，∴，∴.









24.我们定义：方程的解为整数的方程为“青竹”方程，其中的整数解称为“湘一结”。
（1）一元一次方程：为“青竹”方程，求整数a的值；
（2）已知关于x，y的“青竹”方程：（，且a为整数），其中一个“湘一结”为1，请求出另一个“湘一结”；
（3）已知关于y的“青竹”方程：，求整数x的值和其中的“湘一结”.

【答案】（1）或；（2）另一个湘一结为3或；

（3）整数x的值为、16、、4，“湘一结”为19、3.

【解析】（1），，∵x为整数，∴或，
（2），
∵其中湘一结为1，∴另一个湘一结为，∵湘一结是整数解，∴或，
∴将代入求得另一个湘一结为3或.
（3）由题意知：，∴，，∴，
∴，
①解得(舍去)； ②解得，
③解得， ④解得(舍去)，
⑤解得(舍去)， ⑥解得，
⑦解得， ⑧解得(舍去).
综上，整数x的值为、16、、4，“湘一结”为19、3.




25.已知，，分别为两坐标轴上的点，a，b满足，，C在x轴的负半轴，点P是x轴上A点右侧一动点，点D在线段BP上.
（1）求A，B，C三点坐标；
（2）如果M点是x轴上一点，且，求M点坐标；
（3）如图，当时，x轴上找点E，使得BE⊥ED，求证：。



【答案】（1），，；（2）M为或；（3）见解析.
【解析】（1）由题可知，，∴，B0,6，∵，∴，∴
（2）设M点坐标为，则，∴，
即，解得或，∴M为或.
（3）如图，在OB上截取，连接EF，∵，∴△OEF是等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，又，∴，
∵，，∴，∴
在△BFE与△EAD中，，∴，∴.









二、2021秋广益八上第三次月考压轴题

10.若，则的值是（ ）
A. B. C.1 D.3

【答案】A。
【解析】原式，
∵，∴，，，，原式，故。



14.如图，现有足够多的卡片，其中1号卡片是边长为a的正方形，2号卡片是边长为b的正方形，3号卡片是长为a，宽为b的长方形，那么要拼成一个面积为的长方形需1，2，3号卡片的张数分别为________.

【答案】2， 3， 7。
【解析】，∴需1，2，3号卡片的张数分别为2，3，7．故答案为：2，3，7．


21.一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第n次倒出的水量是的.（不考虑实际操作因素，将问题抽象成数学模型）
（1）求倒4次水倒出的总水量；
（2）列式表示倒n次倒出的总水量并化简；
（3）用（2）中的化简结果解决问题：按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？并请说明理由.




【答案】（1）；（2）；（3）不可以。
【解析】（1）倒4次水倒出的总水量为：
；

（2）倒次倒出的总水量为：
；

（3）由（2）得，倒次倒出的总水量为：，所以这水不可以倒完．




22.阅读下面材料：我们这学期学习了轴对称知识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，广益八年级数学兴趣小组发现像，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，太神奇了！于是他们将这样的式子命名为神奇对称式。请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②，③，④中，属于神奇对称式的是________（填序号）；
（2）已知.
①若，，则神奇对称式m2+n2=________；
②若，，求神奇对称式的值；
③若，求神奇对称式的最小值.
【答案】（1）①④；（2）①13，②；③。
【解析】
（1）代数式①，②，③，④中，属于神奇对称式的是①、④，故答案为①④；
（2）∵，∴，，
①∵，，∴，，∴；

②∵，，∴，，∴；

③由①知，，，∴，
∵，∴，即，
当时，原式，当时，原式，
综上所述，的最小值为．





23.如图，点，，以AB为边长作等边△ABC交y轴于D点，且m，n满足.
（1）求m，n的值；
（2）如图1，过点C作，垂足为点H，且，当动点Q在线段CH上运动时，请你求出的最小值；
（3）如图2，点E在线段BC的延长线上，点F在线段AB的延长线上，当时，请问的值是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值.

【答案】（1）， ；（2）；（3）。
【解析】（1），∴，，即：，；
（2）∵，，∴，，，，，∴
过点作轴于点，则CM=1,
∵，，，∴△CDM≌△ADO（AAS），∴，
连接交于点，则此时最小，∴，
即的最小值为；

（3）的值不会发生变化，理由如下：
如图，过点作交于，则易得△ADM是等边三角形．
由（2）知，∴，
∵，∴，
又，，∴，∴，
∴。



















三、2021秋雅礼八上第三次月考压轴题
10．已知：，代数式的值（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【解析】∵，∴，，， ，∴，

，故．




16．如果代数式，那么的值为__________．
【答案】1
【解析】，





23．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，，求DE的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形；
（3）如图2，若，在BC边上取点F使，若，求DF的长．

【答案】（1）；（2）见解析（3）。
【解析】(1)∵DC平分∠ACB，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵点E是边AC的中点，，∴，∴；



(2)过点E作于H，于N，∵DE平分∠ADC，∴，
又∵E为AC的中点，∴，在Rt△AHE与Rt△ENC中，，∴，
∴，∴△ADC为等腰三角形.

(3)∵，∴，，
∵DE平分∠ADC，∴，∴，∴.
如图，作于点G，∵，，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，即，∴.


24．若整式A只含有字母x且A的次数不超过3次，令，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式A的中雅点，我们规定次数超过3次的整式没有中雅点．例如，若整式：，则，，，，故A的中雅点为．
（1）若，则A的中雅点坐标为__________；
（2）若整式，整式C是整式B与的乘积，求整式C的中雅点坐标；
（3）若整式，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的中雅点为，求整式E的表达式．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】(1)略；
(2)，，
∴，，，；∴，；
故整式C的中雅点坐标为.

(3)，设(，m，n均为整数)，
所以
，
由题意得，，化简得，
(1)式(2)式得：，即，
所以，因为，m，n均为整数所以，，所以或.


25．如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长BE至点D，使得，连接OC、OD．
（1）A点的坐标为_________；∠OAB的度数为_________；
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接CD，若点C的坐标为，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F．
①求D点的坐标；②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．

图1 图2
【答案】（1），；（2）；（3）①，②。
【解析】(1) ，∴，∴A，。
(2)且，理由如下：
证明：设AC、OB交于点G，由(1)知，
∵，，∴，又，
∴，
在△AOC和△BOD中，，∴，∴，，
又∵，∴，∴.

(3)①由(2)得且，如图，过点D作轴于点M，过点C作轴于点N，
证，∴，，
∵C点的坐标为，∴，，∴.

②，如图，延长CO交DB于点H，∵CE平分∠OCD，，
∴，，∴，∴，∴，
又∵，，∴，
在△DOH和△COF中，，∴，∴.







做到这里-10月21日记录。

四、2021秋长培八上第三次月考压轴题
10.如图，在Rt△ABC中，，∠CAB的角平分线AD和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①；②；③；
④；其中正确的有（ ）
A.②③ B.②④ C.①②③④ D.①③④


【答案】C
【解析】①设，，由三角形外角的性质可得：，
∴，故①正确；
②延长与相交于点，证△GCD≌△ICD（ASA），∴CG=CI，
∵，∴，证△AFD≌△AID（ASA），∴AF=AI，∴；
③证△ACD≌△AED（ASA），∴CD=ED，故③对；
④在上截取，则是的垂直平分线，∴，
证△ACD≌△AED（ASA），得AC=AE，又CD=DE，∴AD垂直平分CE，∴∠DCE=∠DEC=45°，
∵∠GCD+∠CFB=∠DEF+∠CFB=90°，∴∠GCD =∠DEF
∵，，∴，
∵，，∴，证△ENF≌△CEG（SAS），∴FN=GE，∴。
故选：．







16.若关于x的方程无解，则a的值是___________.
【答案】3或1
【解析】去分母得：，整理，得：，当整式方程无解时，；
当时，分式方程只有增根，无解，则，解得：；
故答案为：3或1．





24.阅读下面材料：
小雅这学期学习了轴对称的知识，知道像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这特性，小雅发现像，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.她把这样的式子命名为交换对称式，她还发现像，等交换对称式都可以用mn，表示，例如：，.于是小雅把mn和称为基本交换对称式.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②，③，④，⑤中，属于交换对称式的是________（填序号）；
（2）已知.
①_______，_______（用含m，n的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，判断交换对称式是有最小值还是最大值，并求出最值.
【答案】（1）①④⑤；（2）①，mn,；②最小值：
【解析】（1）略；
（2）①∵，∴，，故答案为：；mn.
②∵，，∴，，∴.
③由①知，，，
∴，
∵，∴，即，
当时，原式；当时，原式，
综上，的最小值为.



25. 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.
原问题：如图1，已知△ABC，，，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且，，，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解.
小东同学说：我做过一道类似的题，不同的是，.
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若，，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.

【答案】(1) ；(2) 不变，；(3)不变，
【解析】(1).
(2)猜想：.
证明：过点D作DG⊥AB于G，则.
∵，.∴，△DBA是等边三角形.∴.
∵，，∴.
在Rt△DBG和Rt△BAC中，，∴，∴.
∵，，∴△EBC是等边三角形，∴，.
∴，.
在△DFG和△EFB中，，∴，∴.
（3）猜想：.
过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则
∵，∴，.
∵，∴，在△HBE和△HCE中，∴.
∴，∴HE⊥BC，.
∵，∴.
∴，.
证△DHB≌△EBH（AAS），∴DH=BE； 证△AHF≌△EBF（AAS），∴DF=EF。
【备注】若学了平行四边形的判定，也可以直接证四边形HDBE为平行四边形，从而对角线互相平分得DF=EF。

















校考压轴题汇编简介

校考压轴题汇编，又叫名校压轴题汇编，试题主要来源于长沙本地各学校的考试真题。

试题来源
长沙本地各学校测试真题，但不限于
题量信息
每篇3-4份测试真题，题量在15-24题之间
资料形式
分习题册和解析册两个独立文档，解析册题题有解析，方便大家使用
适合人群
一线老师、学校机构、校考及测试基础题不丢分但压轴题丢分多的学生等
汇编初衷
去掉基础送分题，给作业提质，给学生减负！


本册汇编试题信息如下：
01. 2021秋青一八上第三次月考压轴题习题册+解析册
02. 2021秋广益八上第三次月考压轴题习题册+解析册
03. 2021秋雅礼八上第三次月考压轴题习题册+解析册
04. 2021秋长郡八上第三次月考压轴题习题册+解析册

试题均来源于热心网友的分享，感谢大家的无私奉献！


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