2022年青岛版九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)

这是一份2022年青岛版九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级上册数学第一次月考试卷
一、选择题（每题3分，共12题，36分）
1．（3分）下列图形中不一定相似的是（　　）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
2．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+＝2 B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝4
3．（3分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
4．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△DAF的面积之比为（　　）

A．2：5 B．3：5 C．4：25 D．9：25
6．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如左图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，给出下列条件：①∠ABD＝∠ACB；②AB2＝AD•AC；③∠A＝∠ABD；④．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2且a≠0 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2 D．a＞﹣2且a≠0
10．（3分）点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（） B．（﹣） C．（﹣） D．（﹣）
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则sin∠BDE的值等于（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共5题，15分）
13．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　 　．
14．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则BC＝　 　．
15．（3分）如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为　 　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝　 　．

17．（3分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为 　 　．

三、解答题（共7题，69分）
18．（10分）计算：
（1）2﹣2﹣cos245°+tan60°•cos30°；
（2）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
19．（8分）先化简，再求值：，其中
20．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．
求证：△ADC∽△DEB．

21．（9分）已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点C2的坐标．

22．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．

23．（10分）小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度．

24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E，BE＝2，BC＝6．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）求AE的长度；
（3）设AD与CE交于F，求△CFD的面积．


参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共12题，36分）
1．【分析】对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B．所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：A．
2．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、＝2为分式方程，所以A选项不符合题意．
B、2x2﹣x＝1为一元二次方程，所以B选项符合题意；
C、3x3＝1是一元三次方程，所以C选项不符合题意；
D、xy＝4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；
故选：B．
3．【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2+ax﹣a2＝0，得：
4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，
∴a﹣1＝0，或a+4＝0，
解得：a＝1或﹣4，
故选：C．
4．【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选：A．
5．【分析】由DE：EC＝3：2，可得＝，证明△DEF∽△BAF，可得＝，从而△DEF与△DAF的面积之比即对应底边之比为．
【解答】解：∵DE：EC＝3：2，DC＝AB，
∴＝，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝，
∵△DEF与△DAF高相同，对应底之比为，
故面积之比为．
故选：B．
6．【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选：A．
7．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，
∴BC：AB：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：，选项A符合题意；
B、三边之比：：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；
D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．
故选：A．
8．【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：①∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，故本小题条件单独能够判定△ABD∽△ACB；
②∵AB2＝AD•AC，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，故本小题条件单独能够判定△ABD∽△ACB；
③当∠A＝∠ABD时，不能单独能够判定△ABD∽△ACB；
④当＝时，∠ABD和∠C的关系不能确定，
∴不能单独能够判定△ABD∽△ACB；
故选：B．
9．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•a•（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•a•（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：A．
10．【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
【解答】解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴点M（﹣）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．
故选：B．
11．【分析】连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，在直角△ABD中根据三角函数的定义求出sin∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE＝∠BAD，于是sin∠BDE＝sin∠BAD．
【解答】解：连接AD，如图：

∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴sin∠BAD＝＝．
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠BAD，
∴sin∠BDE＝sin∠BAD＝．
故选：A．
12．【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共5题，15分）
13．【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，
故答案为：6．
14．【分析】分两种情况：当高AD落在△ABC内，当高AE落在△ABC外，分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当高AD落在△ABC内，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ADB中，AB＝12，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝6，
BD＝AD＝6，
在Rt△ADC中，AC＝4，
∴CD＝＝＝2，
∴BC＝BD+CD＝8；
当高AE落在△ABC外，如图：过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，

在Rt△AEB中，AB＝12，∠B＝30°，
∴AE＝AB＝6，
BE＝AE＝6，
在Rt△AEC中，AC＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝4；
综上所述：BC＝4或8，
故答案为：4或8．
15．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k计算即可．
【解答】解：∵A （4，2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
16．【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．
【解答】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
故答案为：．
17．【分析】设EH＝3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴＝，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴＝，
解得：x＝，
则EH＝．
故答案为：．

三、解答题（共7题，69分）
18．【分析】（1）先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘方和乘法，最后算加减即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣（）2+
＝﹣+
＝1；

（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得：x1＝3，x2＝．
19．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出x，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•（a+1）
＝•（a+1）
＝，
当a＝tan60°+sin45°＝+×＝+1时，原式＝＝．
20．【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据∠CAD＝∠BDE，即可判定△ADC∽△DEB．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠BDE+60°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB．
21．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质以C为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
C2坐标为：（2，﹣4）．

22．【分析】（1）由BD⊥AC得到∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD＝AB＝3，再得到AD＝BD＝3；
（2）先计算出CD＝2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3；

（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．
23．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出AB的长．
【解答】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
故△ABC∽△EDC，
则＝，
∵小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，
∴＝，
解得：AB＝33，
答：这座建筑物的高度为33m．
24．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再由CE⊥AB得出∠ADB＝∠CEB＝90°，进而可得出结论；
（2）根据△ABD∽△CBE可得出＝，进而可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出CE的长，再由∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ECB＝∠ECB得出△CDF∽△CEB，由相似三角形的性质可得出DF的长，根据三角形的面积可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC．
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；

（2）∵△ABD∽△CBE，
∴＝，即＝，解得AB＝9，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣2＝7；

（3）在Rt△BEC中，
∵BE＝2，BC＝6，
∴CE＝＝＝4．
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ECB＝∠ECB，
∴△CDF∽△CEB，
∴＝，即＝，解得DF＝，
∴S△CFD＝××3＝．