基本不等式及其应用--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

基本不等式及其应用

1.    几何原本卷的几何代数法以几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为(    )

A.  B.
C.  D.

2.    若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    已知正数，，则下列不等式中恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    下列各不等式，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    阅读下面一段材料：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为其中这个公式被称为海伦秦九韶公式根据此材料解答：已知中，，则面积的最大值为          ．
6.    已知，，且，若恒成立，则的取值范围是          ．
7.    已知二次函数满足．

设，求的最小值；

若对恒成立，求实数的取值范围．

8.    已知，．

若，解关于的不等式；

若，且、，求的最小值．

9.    已知、、、均为实数．求证：；

若正数，满足，求的最小值．

10. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．
     

若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小

若使用的篱笆总长度为，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的应用，熟悉基本不等式求最值的方法是解答本题的关键，考查圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由图形可知，，在中，由勾股定理可求，结合即可得出．

【解答】

解：由图形可知，，
在中，

，
当且仅当时等号成立，
，
等号不成立
，
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
将不等式有解转化为即可，利用的代换结合基本不等式进行求解即可．

【解答】

解：正实数，满足，

则，

当且仅当取得最小值．

由有解，可得，

解得或．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的性质，属于中档题．
根据基本不等式分别判断即可．

【解答】

解：对于，，，
，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于，，，
，即，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于，，，
，即，
当且仅当时取等号，故D错误．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的性质和基本不等式应用，分类讨论进行求解，运算能力和数学思维能力，属于基础题．

直接利用不等式的性质和基本不等式的配凑法进行判断、、、的结论．

【解答】

解：对于，，故错误；

对于：由于，当时，当且仅当取等号；当时，当且仅当取等号；即，则，故正确；

对于：当和都为正数时，不等式成立，故错误；

对于，当且仅当时，等号成立，故正确．

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查海伦秦九韶公式，基本不等式性质，考查了推理和计算能力，属于中档题．
首先根据式子得到，然后利用海伦秦九韶公式表示出，利用基本不等式求出最大值即可．

【解答】

解：把三角形三边，，分别用，，表示，题目条件则为，．
由题意可知，．
则
，
当且仅当时取等号，
故，即面积的最大值为．
故答案为．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式恒成立问题，根据基本不等式求出的最小值是解决本题的关键．
根据基本不等式求出的最小值再解一元二次不等式即可得到结论． 

【解答】

解：，，， 
， 
当且仅当，即，即，时取等号， 
故的最小值为，
要使恒成立，则， 
解得， 
故答案为．

7.【答案】解：已知二次函数满足，

得，则，即，

又因为，

，

即，当且仅当，即时取等号，

得的最小值为．

已知二次函数满足，

得，所以，

则，

又因为对恒成立，

则，

即对恒成立，

又因为当时，，，

可知当或时，恒成立，

则在上恒成立，

令，，

则

，

，，

则，当且仅当时，即时，取等号，

此时的最小值为，则，

所以，又，解得：，

综上得：实数的取值范围为．

【解析】本题考查基本不等式的运用，分离参数法求解参数范围，属于较难题．
根据题意可得，利用整体代换，从而可得，再利用基本不等式求最值，即可得出结果；

由题得出，从而得，结合条件可知对恒成立，可知当或时，恒成立，再通过分离参数法将问题转化为在上恒成立，令，，化简运算得出，利用基本不等式求出的最小值，从而得出的最大值，从而得出的范围．

8.【答案】解：时，，

由不等式，得，

解得或，

所以不等式的解集为或；

因为，所以，

又、，所以

，

当且仅当时取等号，

所以的最小值是．

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

时不等式为，求出解集即可；

由得出，利用基本不等式求的最小值．

9.【答案】解：，

设，则，且，

由得，，即，从而

当且仅当，即时等号成立．

故的最小值为．

【解析】本题考查不等式的证明，注意基本不等式的应用，属于中档题．
Ⅰ作差比较 可得出结论；
Ⅱ设，则，且代入式子，利用基本不等式得出结论．
 

10.【答案】解：由已知可得，篱笆总长为．
又因为，
当且仅当，即，时等号成立．
所以当，时，可使所用篱笆总长最小．

由已知得，
又因为
，
所以，当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是．

【解析】本题考查基本不等式的实际应用和利用基本不等式求最值，属于基础题．
由已知可得，篱笆总长为，结合基本不等式即可得解；

由已知得，又因为，利用基本不等式即可求解．