重庆市江津中学2022-2023学年高二数学上学期10月阶段性考试试题（Word版附解析）

这是一份重庆市江津中学2022-2023学年高二数学上学期10月阶段性考试试题（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江津中学2022—2023学年度上期阶段一考试
高2024级数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
3. 在三棱锥中，，N为中点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 王老师在课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线经过点.乙：直线经过点.丙：直线经过点.丁：直线的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 5 C. D.
7. 已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D两点，若，则m为（ ）
A. B. C. D.
8. 设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 5 C. D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则
B. 直线l的方向向量， 平面的法向量是， 则
C. 两个不同的平面的法向量分别是，则
D. 直线的方向向量， 平面的法向量是，则
10. 已知直线与圆，则（ ）
A. 直线与圆C相离
B. 直线与圆C相交
C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个
11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A. 椭圆离心率的取值范围是
B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C. 存在点使得
D. 最小值为1
12. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
第Ⅱ卷
（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知椭圆的两焦点为，，离心率.则此椭圆的方程为______.
14. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
15. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段______.

16. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．
18. 已知圆，直线是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线.
（1）求公共弦AB的长度；
（2）求圆E的方程.
19. 如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且．

（1）求证：平面ACF；
（2）求点E到平面ACF的距离．
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求：
（1）顶点C的坐标；
（2）求的面积.
21. 如图，四棱锥中，等边三角形，，，.

（1）证明：；
（2）若平面平面ABCD，且，求平面AMD与平面PAB夹角的余弦值.
22. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.


江津中学2022—2023学年度上期阶段一考试
高2024级数学试卷
命题人：刘顺利王娟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中点关于坐标轴对称的知识求得正确答案.
【详解】空间中，点关于轴对称，纵坐标相同，横坐标和竖坐标相反.
所以点关于y轴的对称点的坐标为.
故选：B
2. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C
3. 在三棱锥中，，N为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，得， ，所以可得答案.
【详解】
连接，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
4. 王老师在课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线经过点.乙：直线经过点.丙：直线经过点.丁：直线斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】设，，，求出三条直线的斜率即得解.
【详解】设，，，则，，，
易知，，三点不共线，所以甲乙丙不可能都正确，至少有一个是错误的，由于只有一位同学的结论是错误的，所以丁同学的结论是正确的；
而，，，丁同学的结论是正确的，所以只有可能是在这条直线上，不在这条直线上.故乙同学的结论是错误的.
故选：B
5. 点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点和圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于方程表示圆，所以，
由于点在圆的外部，
所以.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【详解】如图所示，

设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
7. 已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D两点，若，则m为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得两点的坐标，利用求得的值.
【详解】直线，即，
不妨设直线过定点，直线的斜率为.
满足圆的方程，所以在圆上，
，所以过的圆的切线的斜率为，故（同时依题意），
由消去并化简得，
，
所以，
，两边平方并化简得，
，

①，
对于，，
所以方程①的解为.
故选：C
【点睛】本题研究直线和圆的位置关系，联立直线的方程和圆的方程后，列出根与系数关系，利用方程的思想建立与的关系式，对次方程因式分解，考虑分组分解法，也可以用代入选项法确定的值.
8. 设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 5 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆左焦点为，则.
，后利用点到直线垂线段最短得答案.
【详解】由题可知，，.设椭圆左焦点为，则.
由椭圆定义有，则
又将椭圆方程与直线方程联立有，
其，故直线与椭圆相离.
如图，要使最小，只需保证与直线垂直即可.
此时三点共线，则，
故.
由上可知A，B，D错误，C正确.
故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则
B. 直线l的方向向量， 平面的法向量是， 则
C. 两个不同的平面的法向量分别是，则
D. 直线的方向向量， 平面的法向量是，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．
【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，且，所以，选项A正确∶
对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项B错误；
对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；
对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，选项D错误．
故选∶ AC
10. 已知直线与圆，则（ ）
A. 直线与圆C相离
B. 直线与圆C相交
C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.
【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.
故选：BD
11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C. 存在点使得
D. 的最小值为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D正确．
故选：BCD
12. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确是（ ）
A. 当平面时，可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、D，连接，则即为与平面所成角，根据锐角三角函数得到的轨迹，即可判断B，将平面与平面沿展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C；
【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，
即，则当时，，即P为中点时，
有平面，且，故A正确；

B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；

C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知
所以，故C错误；

D选项：正方体经过点､P､C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
所以点P到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确.

故选：ABD
第Ⅱ卷
（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知椭圆的两焦点为，，离心率.则此椭圆的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
【详解】依题意可知，，且椭圆焦点在轴上，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
故答案为：
14. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.
【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，设，，切线长．
故答案为：2

15. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段______.

【答案】或
【解析】
【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.
【详解】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.
故答案为：或
16. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.

【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.
【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为

设,
由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN的方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率
故答案为：
【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C方程；
（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】（1）由题意得离心率及短轴一个端点到右焦点的距离即为a的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆联立得两根之和与两根之积，由弦长公式求出弦长．
【详解】（1）由题意：e，a＝3，a2＝b2+c2，∴a2＝18，b2＝9，
所以椭圆的标准方程：；
（2）设A（x，y），B（x'，y'），与椭圆的方程联立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，
∴x+x'，xx'，
所以弦长|AB|•|x﹣x'|••，
所以弦长|AB|的值：．
【点睛】考查直线与椭圆相交弦长的公式的应用，属于中档题．
18. 已知圆，直线是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线.
（1）求公共弦AB的长度；
（2）求圆E的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，根据弦长公式，利用点到直线距离求弦心距，可得答案；
（2）利用两圆相交弦的性质，利用直线垂直求直线的方程，根据弦长公式，求得半径，可得答案.
【小问1详解】
依题意，圆的圆心，半径，
则点C到直线的距离，即有，
所以公共弦AB的长度是.
【小问2详解】
依题意，直线CE垂直平分公共弦AB，由直线，可设直线，
将圆心代入上式，于是得直线CE的方程为：，
联立可得：，解得，即点，点E到直线AB的距离为，
因此圆E的半径，所以圆E的方程是.
19. 如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且．

（1）求证：平面ACF；
（2）求点E到平面ACF的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直．
（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果．
【小问1详解】
解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴

建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，，0，，，2，，
，2，，，2，，，，，，0，．
，，
，，且，平面，
平面
小问2详解】
解：由（1）知，为平面的一个法向量，，，
向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是，
故点到平面的距离；
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求：
（1）顶点C的坐标；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据设出直线的方程，利用的坐标求得直线的方程，通过联立的方程求得点的坐标.
（2）求得点坐标，然后求得到直线的距离，利用两点间的距离公式求得，进而求得的面积.
【小问1详解】
∵，BH的方程为，
不妨设直线AC的方程为，
将代入得，解得，
∴直线AC的方程为，
联立直线AC，CD的方程，即，
解得点C的坐标为；
【小问2详解】
设，则，∵点在上，点在上，
所以，解得，
直线的方程为，
则到直线的距离为，
又，，则，

21. 如图，四棱锥中，为等边三角形，，，.

（1）证明：；
（2）若平面平面ABCD，且，求平面AMD与平面PAB夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，通过证明平面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面AMD与平面PAB夹角的余弦值.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
为等边三角形，.
又，，.平行且等于.
四边形为平行四边形..
，，.
，、平面，
平面，平面.
.
【小问2详解】
平面平面，，平面平面，平面，
平面，，平面.
分别以，，所在直线为，，z轴建立空间直角坐标系，
设.
则，，，，.
则有，.
由，得，
，又，
设平面的法向量为，
则，即
令，得平面的一个法向量为.
而平面的一个法向量为.
则，
所以平面AMD与平面PAB夹角余弦值为.

22. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
【答案】（1）是；（2）；（3）是，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接判断即可，
（2）由（1）的方法判断，可得y＝﹣2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；
（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，2）．
【详解】（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），
设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，
二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，
所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）由（1）的方法：椭圆方程：1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，
当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，
讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（与矛盾，舍）；
②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，
综上a的范围：（2，2]．
（3）a＝2，椭圆方程：1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：yx+2⇒M（，0）
则直线AQ：y2⇒N（，0），
MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，∴设C（0，n）则，且0，
∴,（n），∴,
所以得定点（0，2）．
【点睛】考查新定义圆椭圆的定义，以及圆过定点问题，涉及到二次函数最值问题的考查，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．