普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练11解三角形含答案

考点过关练11　解三角形

[题组冲关]

题组一　利用正、余弦定理解三角形

1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)

A．　　　 　　B．　　　　 　C．　　　 　　D．1

B　∵a＝3，b＝5，sin A＝，∴由正弦定理，得sin B＝＝＝．故选B．

2．在△ABC中，a＝4，A＝60°，B＝45°，则b的值为(　　)

A．　　B．2＋2　　C．2　　D．2＋1

A　根据正弦定理＝，可得＝，

∴b＝＝．故选A．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B等于(　　)

A．　　B．　　C．或　　D．或

A　由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accos B，因为a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝，又角B是三角形的内角，故B＝．

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c，sin A＋sin C＝2sin B，则cos A＝________．

　由正弦定理，可将sin A＋sin C＝2sin B化为a＋c＝2b，再由b＝c，得a＝b＝c．所以cos A＝＝．

5．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B＝________．

60°　由余弦定理可得cos B＝＝，又因为0°<B<180°，所以B＝60°．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，B＝，求b．

[解]　(1)由正弦定理，得＝＝，

所以tan A＝．因为A为三角形的内角，所以A＝．

(2)a＝2，A＝，B＝，由正弦定理，得b＝＝2．

题组二　利用正、余弦定理判定三角形形状

7．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

C　∵＝＝，又由正弦定理，

得＝＝，∴sin A＝cos A，sin B＝cos B．

∴sin＝0，sin＝0．

∵A，B∈(0，π)，∴A－∈，B－∈．

∴A－＝0，B－＝0，∴A＝B＝．故选C．

8．在△ABC中，若cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

B　由cos B＝，得＝，

所以c2＝a2＋b2．

所以△ABC为直角三角形．

9．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不能确定

C　∵sin2A＋sin2B＜sin2C，由正弦定理，得a2＋b2＜c2，由余弦定理，得cos C＝<0，∴<C<π，

∴△ABC是钝角三角形．故选C．

10．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是(　　)

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

A　由A＋B＋C＝π，得到C＝π－(A＋B)，

∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．

又sin C＝2cos Asin B，

∴sin(A＋B)＝2cos Asin B，

即sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，

整理得sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0．

又A和B都为三角形的内角，

∴－π＜A－B＜π．

∴A－B＝0，即A＝B．

∴此三角形必是等腰三角形．故选A．

题组三　与三角形面积有关的问题

11．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为(　　)

A．4　　B．4　　C．2　　D．2

C　∵在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，

由正弦定理，得＝，

∴＝，解得sin B＝1．

∴B＝90°，C＝30°．∴S△ABC＝×2×4×sin 30°＝2．故选C．

12．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)

A．　　B．3　　C．　　D．7

A　∵S△ABC＝＝×AB×ACsin 60°＝×2×AC×，

∴AC＝1．

在△ABC中，由余弦定理可得

BC＝＝．故选A．

13．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)

A．3　　B．2　　C．4　　D．

C　∵cos C＝，0<C<π，∴sin C＝，

∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4．

14．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin A．

(1)确定角C的大小；

(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．

[解]　(1)由a＝2csin A及正弦定理，

得＝＝．

∵sin A≠0，∴sin C＝．

∵△ABC是锐角三角形，0<C<，

∴C＝．

(2)∵c＝，C＝．

由面积公式，得absin ＝，

即ab＝6． ①

由余弦定理，得a2＋b2－2abcos ＝7，

即a2＋b2－ab＝7． ②

由②变形及①得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5．

题组四　正、余弦定理的实际应用

15．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°．在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600 m，则铁塔AB的高度是(　　)

A．120 m　　　　　　 B．480 m

C．240 m D．600 m

D　设AB＝x，则BC＝x，BD＝x，

在△BCD中，由余弦定理知cos 120°＝＝＝－，

解得x＝600．故铁塔的高度为600米．故选D．

16．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　　)

A．10 n mile B． n mile

C．5 n mile D．5 n mile

D　由题意，在△ABC中，AB＝10 n mile，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°．

∴由正弦定理可得＝．

∴BC＝5 n mile．故选D．

17．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________km．

　根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，

∴AB＝

＝＝(km)．

[核心精要]

一、利用正、余弦定理解三角形

1．正弦定理可解决的两类问题

(1)已知三角形两角和任一边，求其他元素．

(2)已知三角形两边和其中一边的对角，求其他元素．

2．余弦定理可解决的两类问题

(1)已知三角形两边及其夹角，求其他元素．

(2)已知三角形三边，求其他元素．

3．△ABC中，若sin A＝m(0＜m＜1)，则A可为锐角，也可为钝角．

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二、利用正、余弦定理判定三角形形状

1．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，

cos(A＋B)＝－cos C，

tan(A＋B)＝－tan C．

2．常用正弦定理实现边角互化．

3．利用余弦定理可判定角的形状

a2＋b2＝c2⇔C为直角；

a2＋b2>c2⇔C为锐角；

a2＋b2<c2⇔C为钝角．

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三、与三角形面积有关的问题

1．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．

2．在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B．

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四、正、余弦定理的实际应用

1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充足的三角形，再解其他三角形．

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