普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练6对数函数含答案

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题组一 对数运算
1．实数lg 4＋2lg 5的值为( )
A．2 B．5 C．10 D．20
A lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2．
2．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6 eq \r(2)的结果为( )
A．6eq \r(2) B．12eq \r(2) C．lg6eq \r(3) D．eq \f(1,2)
C eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)＝lg6eq \r(12)－lg6(eq \r(2))2
＝lg62eq \r(3)－lg62＝lg6 eq \f(2\r(3),2)＝lg6eq \r(3)．
3．计算lg89·lg2732结果为________．
eq \f(10,9) 原式＝eq \f(lg 9,lg 8)·eq \f(lg 32,lg 27)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)·eq \f(5lg 2,3lg 3)＝eq \f(2×5,3×3)＝eq \f(10,9)．
4．计算lg 8＋3lg 5＝________．
3 lg 8＋3lg 5＝lg 23＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3．
5．若lg7 [lg3(x－1)]＝0，则x的值为________．
4 由题意可知lg3(x－1)＝1，∴x－1＝3，∴x＝4．
6．2eq \s\up12(1＋lg23)的计算结果为________．
6 2eq \s\up12(1＋lg23)＝2×2eq \s\up12(lg23)＝2×3＝6．
题组二 对数函数的定义及其定义域、值域
7．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3xB．y＝lga(2a)(a>0且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)D．y＝ln x
D 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看是否具有“y＝lgax”的形式，故A，B，C错误，D正确．
8．函数y＝eq \r(lg x－1)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(10，＋∞) D．[10，＋∞)
D eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,lg x－1≥0，))∴x≥10．故选D．
9．函数y＝lg2(1－2x)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C 由1－2x>0得x10．已知函数f (x)＝lgeq \s\d10(eq \f(1,2))x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),2)))，则f (x)的值域是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)) C．[0,2] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
A 函数f (x)＝lgeq \s\d10(eq \f(1,2))x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),2)))上单调递减，所以函数的最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝lgeq \s\d10(eq \f(1,2))eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2)，函数的最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝lgeq \s\d10(eq \f(1,2))eq \f(1,4)＝2，所以函数f (x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))．故选A．
11．函数f (x)＝eq \f(1,lnx－1)的定义域为________．
(1,2)∪(2，＋∞) 要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,lnx－1≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞1，,x≠2，))∴定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．
题组三 对数函数的图象与性质
12．下列大小关系正确的是( )
A．ln 0.2>0 B．ln 2>1
C．ln 2>ln 3D．ln 0.2D y＝ln x＝lg ex，其中e>1，
∴y＝ln x是增函数．∴D正确．
13．图中的曲线C1，C2，C3，C4都是对数函数y＝lgax的图象．已知a取3,2，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )
A．3,2，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)B．3,2，eq \f(1,5)，eq \f(1,3)
C．2,3，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)D．2,3，eq \f(1,5)，eq \f(1,3)
D 法一：当a>1时，自左向右看，图象上升；当01时，a越大，图象向右越靠近x轴，0法二：作直线y＝1，设C1，C2，C3，C4与直线y＝1的交点分别为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，由图象知：a314．函数y＝lg4x与y＝lgeq \s\d10(eq \f(1,4))x的图象( )
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
A y＝lgeq \s\d10(eq \f(1,4))x＝－lg4x，
∴两图象关于x轴对称．故选A．
15．不等式lg23x>lg2(x－1)的解集为________．
(1，＋∞) ∵y＝lg2x是增函数，
∴3x>x－1>0，解得x>1，
∴不等式lg2 3x>lg2(x－1)的解集为(1，＋∞)．
16．若lgeq \s\d10(eq \f(1,3))2m>lgeq \s\d10(eq \f(1,3))(m＋1)，则m的取值范围是________．
(0,1) ∵y＝lgeq \f(1,3)x是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m>0，,m＋1>0，,2m17．函数y＝ex关于y＝x对称的图象为C1，再将C1图象向右平移1个单位长度得C2，则C2所对应的解析式为________．
y＝ln(x－1) C1的解析式是y＝ex的反函数，∴C1的解析式为y＝ln x，∴C2的解析式为y＝ln(x－1)．
18．设f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))则f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝________．
eq \f(1,2) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ln eq \f(1,2)＝－ln 2<0，
∴f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f (－ln 2)＝e－ln 2＝eeq \s\up12(ln eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)．
19．设a>1，函数f (x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值的差为eq \f(1,2)，求a．
[解] lga2a－lgaa＝eq \f(1,2)，lga2＝eq \f(1,2)，
∴aeq \s\d10(eq \f(1,2))＝2，∴a＝4．
20．已知函数f (x)＝lg3 eq \f(1＋x,1－x)．
(1)判断函数y＝f (x)的奇偶性并证明；
(2)解方程f (2x－1)＝0．
[解] (1)函数y＝f (x)为奇函数，证明如下：
要使函数f (x)有意义，只需eq \f(1＋x,1－x)>0，
即eq \f(x＋1,x－1)<0，解得－1所以函数y＝f (x)的定义域关于原点对称．
由f (x)＝lg3eq \f(1＋x,1－x)，得
f (－x)＝lg3eq \f(1－x,1＋x)＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－f (x)，
所以函数y＝f (x)为奇函数．
(2)由f (2x－1)＝0，得lg3 eq \f(2x,2－2x)＝0，
即eq \f(2x,2－2x)＝1，解得x＝0，
∵f (x)是奇函数，
∴f (0)＝0，
检验知－1<20－1<1，
所以原方程的解为x＝0．
[核心精要]
一、对数运算
1．指数式ab＝N，对数式b＝lgaN可以互化．
2．对数恒等式algaN＝N．
3．积商幂的对数等于对数的和差积，不要乱造公式．
4．换底公式为lgab＝eq \f(lgcb,lgca)，经常变为lgab＝eq \f(lg b,lg a)．
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二、对数函数的定义及其定义域、值域
1．函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数．
2．因为零与负数没有对数，所以对数函数的定义域是由“真数大于0”解得的．
3．可利用函数的图象及单调性求对数函数的值域．
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三、对数函数的图象与性质
1．对数函数y＝lgax的图象恒过定点(1,0)，则y＝lga(x－m)＋n的图象恒过定点(1＋m，n)．
2．当a>1时，y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增；当03．y＝ax与y＝lgax的图象关于直线y＝x对称．在一个图象上的点(m，n)，关于直线y＝x的对称点为(n，m)．
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考试要求
1．理解对数式的含义，会进行指数式与对数式的互化；
2．理解对数的运算性质，正确使用公式进行对数运算；
3．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质；
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax之间的关系，以及它们图象之间的关系．