普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练5指数函数含答案

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题组一 指数
1．计算8eq \s\up12(－eq \f(2,3))＝( )
A．－4 B．－eq \f(1,4) C．4 D．eq \f(1,4)
D 8eq \s\up12(－)eq \s\up12(eq \f(2,3))＝(23)eq \s\up12(－eq \f(2,3))＝2－2＝eq \f(1,4)．故选D．
2．已知a为非零实数，则aeq \s\up12(－eq \f(2,3))＝( )
A．aeq \s\up12(eq \f(2,3)) B．eq \r(a3) C．eq \f(1,\r(a3)) D．eq \f(1,\r(3,a2))
D 已知a为非零实数，则aeq \s\up12(－eq \f(2,3))＝eq \f(1,\r(3,a2))．
故选D．
3．将根式eq \r(5,a－3)化为分数指数幂是( )
A．aeq \s\up12(－eq \f(3,5)) B．aeq \s\up12(eq \f(3,5)) C．－aeq \s\up12(eq \f(3,5)) D．aeq \s\up12(－eq \f(5,3))
A 根式eq \r(5,a－3)化为分数指数幂为aeq \s\up12(－eq \f(3,5))．
4．已知f (x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)，若f (1)＝3，则f (2)＝________．
7 a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7．
5．把根式eq \r(a\r(a))化成分数指数幂为________．
aeq \s\up12(eq \f(3,4)) eq \r(a\r(a))＝(a·aeq \s\up12(eq \f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝aeq \s\up12(eq \f(3,4))．
题组二 指数函数
6．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x＋1 D．y＝eq \f(1,3x)
D 形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数，A，B，C都不满足定义．对于D，y＝eq \f(1,3x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，故D为指数函数．
7．下列函数：①y＝x2；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝ex；⑤y＝2x＋1；⑥y＝(－2)x中，指数函数的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A ①⑤⑥不是；②④显然是；③中y＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，故也是．故选A．
8．已知函数f (x)是指数函数，且f (2)＝eq \f(1,4)，则f (x)＝________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) 令f (x)＝ax(a>0且a≠1)，由f (2)＝eq \f(1,4)得a2＝eq \f(1,4)，所以a＝eq \f(1,2)，故f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)．
9．若函数y＝(m2－1)x是指数函数，则m的取值范围是________．
(－∞，－eq \r(2))∪(－eq \r(2)，－1)∪(1，eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞) 由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1>0，,m2－1≠1，))解得m>1或m<－1且m≠±eq \r(2)．
题组三 指数函数的图象与性质
10．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)过定点( )
A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1)
B 由指数函数的性质知f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象恒过定点(0,1)．
11．已知f (x)＝2x＋1(x≥0)，则f (x)的值域是( )
A．[1，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[0，＋∞)
C ∵x≥0，∴2x≥20＝1．∴2x＋1≥2．故选C．
12．函数y＝2－|x|的图象为( )

A B C D
C 函数y＝2－|x|的定义域为R，当x＝0时，y＝20＝1，即函数y＝2－|x|的图象过点(0,1)，排除选项A；当x>0时，y＝2－|x|＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，排除选项B，D，故选C．
13．函数y＝ax－(b＋1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( )
A．00B．00
C．a>1，b<1D．a>1，b>0
D 图象草图如图，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,f0<0.))由f (0)<0，即1－(b＋1)<0，解得b>0．故选D．
14．函数f (x)＝2x－2＋1的图象恒过定点________．
(2,2) f (x)＝2x－2＋1的图象是由y＝2x图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度形成的．∵y＝2x的图象过定点(0,1)，∴f (x)＝2x－2＋1的图象恒过定点(2,2)．
15．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x) >eq \r(3)，则自变量x的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)＝3－x，eq \r(3)＝3eq \s\up12(eq \f(1,2))，
∴3－x>3eq \s\up12(eq \f(1,2))．
∵y＝3x是增函数，∴－x>eq \f(1,2)，
解得x<－eq \f(1,2)．
16．函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－1)的定义域为________．
(－∞，0] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－1≥0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≥1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(0)，得x≤0．
即函数y的定义域为(－∞，0]．
17．对于函数y＝4－x＋1，当x∈[－3,2]时，函数y的值域为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,16)，65)) ∵x∈[－3,2]，∴－x∈[－2,3]．
∴4－x∈[4－2,43]，即4－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，64))，∴4－x＋1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,16)，65))，
∴函数y的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,16)，65))．
18．函数f (x)＝ax(其中a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，求a．
[解] 当a>1时，a2－a1＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(3,2)；
当0∴a＝eq \f(3,2)或a＝eq \f(1,2)．
19．若a＝40.9，b＝80.48，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1.5)，试比较a，b，c的大小．
[解] 由题意知，a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1.5)＝21.5．
∵y＝2x是增函数，∴21.44＜21.5＜21.8，
即b [核心精要]
一、指数
1．要理解a－p，aeq \s\up12(eq \f(m,n))的含义，即a－p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(p)，aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)．
2．指数运算性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)am÷an＝am－n；
(3)(am)n＝amn；
(4)(ab)n＝anbn．
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二、指数函数
1．指数函数形式为y＝ax，其中a>0且a≠1．
2．要注意区分函数y＝xα和y＝ax，自变量在底数位置的是幂函数，自变量在指数位置的才可能是指数函数．
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三、指数函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，图象永远在x轴上方．
2．当a>1时为增函数，当03．当指数函数的底数a不是具体的数时，为了知道函数的单调性，需对底数a按大于1和大于0小于1讨论解决．
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考试要求
1．掌握指数函数的定义；
2．能正确地画出指数函数的图象；
3．理解指数函数的性质，并能运用性质比较大小、求值域等；
4．理解指数运算的性质，能正确地进行指数运算．