2022-2023学年浙江省温州市洞头区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年浙江省温州市洞头区八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列美丽的图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如图在数轴上表示的是下列哪个不等式(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是和的公共边，下列条件中不能判定的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

5. 如图，在中，，，，点为的中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若等腰三角形有一个角是，则它的底角为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 若，则下列不等式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，是角平分线，是高，已知，，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知关于的不等式的正整数解恰好为，，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”在弦图中如图连结，，并延长交于点，连结若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. “的倍与的和大于“用不等式表示为______．
12. 证明“若，则”是假命题的反例可以是______写一个即可
13. 在三角形中，“等边对等角”的逆命题是______．
14. 如图，中，和的平分线交于点，若，则______．

15. 若关于的方程的解满足不等式，则可取的负整数为______．
16. 如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于______．

17. 如图，中，，为上的高线，为边上一点，于点，交的延长线于点已知，则的长为______．

18. 如图是一种可折叠手机平板支架，由托板、支撑板和底座组成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板的端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，当时，点到点的距离恰好是点到直线的距离的倍，则______为了观看舒适，把绕点旋转，再将绕点旋转，使点与点重合，则此时点到直线的距离为______．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
20. 本小题分
    如图，在和中，，，求证：．

21. 本小题分
    如图，图是两张形状、大小完全相同的“”方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，点，，，是方格纸上的四个格点小正方形的顶点称为格点．
    
    在图中画一个等腰三角形，其中点在格点上，且不在线段或上画一个即可；
    在图中画线段与，使，其中点，分别是，上不与端点重合的格点．
22. 本小题分
    如图：在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点．
    求证：．
    若，求．

23. 本小题分
    根据以下素材，探索完成任务．

24. 本小题分
    如图，在中，，，于点，，为边上的动点不与，重合，连结，作，垂足为，交于点，连结．
    求______直接写出答案．
    若时，
    求证：．
    求的周长．
    当时，的长为______直接写出答案．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形的概念知、、都不是轴对称图形，只有是轴对称图形．
故选D．
根据轴对称图形定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合定义可得答案．
此题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义进行判定是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，得：
A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故选：．
利用三角形的三边关系定理进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图示可看出，从出发向右画出的线，且处是实心圆，表示．
所以这个不等式的解集为．
故选：．
该不等式的解集是指及其右边的数，即大于等于的数．
本题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法：一注意箭头的方向；二注意是空心点还是实心点．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、等．利用全等三角形的判定定理：、、、等逐项进行分析即可．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，这个角必须是两边的夹角．
【解答】
解：，，再加上公共边不能判定，故此选项符合题意；
B.，再加上公共边可利用判定，故此选项不合题意；
C.，再加上公共边可利用判定，故此选项不合题意；
D.，再加上公共边可利用判定，故此选项不合题意；
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
点为的中点，
，
故选：．
根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角的度数是或．
故选：．
由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由得到：，故本选项不符合题意．
B、由得到：，故本选项不符合题意．
C、由得到：，故本选项不符合题意．
D、由得到：，故本选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答．
本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的角平分线，
，
是高，
，
，
，

故选B．
利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线，可得的度数；利用是高可得，那么可求得度数，那么．
本题考查的是三角形内角和定理：三角形的内角和是；角平分线的定义：把一个角分成相等的两个角．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
不等式的正整数解恰好为，，，
．
故选：．
首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况即可求出的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，根据正整数解的个数确定解集的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，与的延长线交于点，

，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
过点作，与的延长线交于点，由图形关系求得，再帅，求得与，进而由勾股定理求得结果．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：的倍与的和大于，用不等式表示为；
故答案为：．
根据的倍与的和大于，可以得到．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，
，但是，
命题“若，则”是假命题．
故答案为：答案不唯一．
根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

13.【答案】在同一个三角形中，等角对等边 

【解析】解：“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中，等角对等边“，
故答案为：在同一个三角形中，等角对等边
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
．
在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，要掌握三角形的内角和等是解题的关键．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：解方程，得，
解不等式，得，
关于的方程的解满足不等式，
，解得，
所以满足条件的的负整数值可以为．
故答案为：答案不唯一．
先解方程，求得，再解不等式得，然后解不等式，得出的取值范围，进而求解即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．求出方程的解是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，

故答案为：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：，为边上的高线，
，
，，
，
，，
，
，
如图，作于，则，

，
四边形是矩形，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质得出，再证明，根据平行线的性质得出，，等量代换得出，那么作于，根据等腰三角形的性质得出，然后证明四边形是矩形，即可求出．
此题考查了矩形的判定与性质，熟记矩形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，过点作于，延长，交于点，作，垂足为．
，
，
，
，
，
，，
，
即点到直线的距离为，
点到直线的距离为，即．
，，
，
∽，
，即，
，
，
．
旋转后图形如下：

过点作于，交于．
，，，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
．
在中，．
即此时点到直线的距离为．
故答案为：，．
过点作于，延长，交于点，作，垂足为证明是等腰三角形，那么，根据含角的直角三角形的性质得到，再求出证明∽，根据相似三角形的性质得到，求出，那么为了观看舒适，画出旋转后的图形，过点作于，交于利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据同角的余角相等得出，求出，那么在中，可求．
本题考查了解直角三角形的实际应用，读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组得解集为：．
表示在数轴上为：． 

【解析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：，

，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明≌．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，全等三角形的对应边相等．
 

21.【答案】解：如图，即为所求答案不唯一．

如图，线段和线段即为所求．
 

【解析】作，即可答案不唯一；
作线段即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
在和中，
，
≌，
；

解：由得≌，
，
是边上的中线，
，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出；
根据全等三角形的性质的得出，结合题意得出，根据勾股定理求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：任务：
设需型冷链运输车辆，
根据题意得，
解得，
是整数，
至少需型冷链运输车辆；
任务：
设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆，
根据题意得：，
解得，
是整数，
可取，，，，
运输方案有种：
用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，
用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，
用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，
用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆；
任务：
设过路费总和为元，
，
当，即时，随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
即安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少；
当，即时，随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
即安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少；
答：时，安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少；时，安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少． 

【解析】任务：
设需型冷链运输车辆，列不等式可解得答案；
任务：
设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆，可列不等式组解得答案；
任务：
设过路费总和为元，可得，分两种情况讨论即可．
本题考查一元一次不等式，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组和函数关系式．
 

24.【答案】  

【解析】解：，，于点，，
，，

故答案为：；
证明：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的周长；
解：如图，与相交于点，

是等腰直角三角形，，
，，
，，
，，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
．
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质解答即可；
根据等角的余角相等和角平分线的定义得出，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，进而推出，根据角平分线的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得到，，，据此求解即可；
与相交于点，根据等腰直角三角形的性质得出，，结合直角三角形的性质利用证明≌，则，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题是三角形综合题，查全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到≌．