2022-2023学年福建省泉州市永春三中片区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市永春三中片区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了0分，5cmD，0分)，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市永春三中片区九年级（上）期中数学试卷注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若二次根式有意义，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 已知一元二次方程有一个根为，则的值为     (    )A.  B.  C.  D. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边长为(    )A.  B.  C.  D. 下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 一元二次方程的根是(    )A.  B. 和 C. 和 D. 如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是．(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定∽的是(    )
 A.  B.  C.  D. 某钢铁厂一月份生产钢铁吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为，则可得方程(    )A.
B.
C.
D. 如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结、，则在点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：当时，；点到边的距离为；直线一定经过点；的最小值为其中结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为如图，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于，则：(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）计算：______．若，则______．如图，是的重心，，相交于点，那么与的面积的比是______．
 如图，已知四边形四个顶点的坐标为，，，，当四边形的周长最小时，的值为______ ．
 如图，四边形中，，，若且，则对角线的长最大值为______．
 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：
；
；
；
．
其中正确的是______填序号
   三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：本小题分
先化简再求值：，其中．本小题分
已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．

在图中，画出以点为位似中心，放大到原来的倍的；
若是边上一点，平移之后，点的对应点的坐标是，在图中画出平移后的．本小题分
商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元用含的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？本小题分
阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方
请根据阅读材料解决下列问题：
比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；
已知，求的值．本小题分
如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
求证：∽；
若，，求的长．
本小题分
已知关于的一元二次方程．
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
设方程的两个根分别是，，若，求的最大整数值．本小题分
如图，在等腰，，点是边上一个动点不与端点重合，以为对角线作菱形，使得，交边于点．
求证：；
求证：在点的运动过程中，线段，，之间总满足数量关系；
连接，探索在点的运动过程中，面积的变化规律．
本小题分
如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接，求出的大小．
如图，正方形的边长为，，在下方以为斜边作等腰直角，求的最大值．
如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值，当时，请你求出周长的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 3.【答案】 【解析】解：设另一个三角形的最长边为，
两个三角形相似，
，
解得，，
则另一个三角形的最长边为，
故选：．
根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 4.【答案】 【解析】解：、，故A符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法乘法，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：方程移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
故选：．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可根据相似三角形的判定得到结论．
【解答】
解：小正方形的边长为，
在中，，，，
中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；
中，一边，一边，一边，
有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；
中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；
中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．
故选B．  7.【答案】 【解析】解：，
，
，
选项B、根据两角对应相等判定∽，
选项A根据两边成比例夹角相等判定∽，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，根据二、三月份平均每月的增长率为，则二月份的产量是吨，三月份的产量是，再根据第一季度共生产钢铁吨列方程即可．
【解答】
解：依题意得二月份的产量是：，
三月份的产量是：，
．
故选D．  9.【答案】 【解析】解：如图，当点在线段上时，过点作于，

为中点，
，
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
点在直线上，
当点在点右边时，如图，

过点作，交的延长线于点，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
点在直线上，
综上所述：时，或，点到的距离为，点在直线上，故错误，正确，
点在上运动，
当时，有最小值，如图，

，，，
，，
的最小值为，故正确，
故选：．
分两种情况讨论，由“”可证≌，≌，可得，，，，可得时，或，点到的距离为，点在直线上，故错误，正确，由等腰直角三角形的性质可求的最小值为，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：设正方形的边长为，，
则，
由翻折的性质，，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
．
：．
故选：．
设正方形的边长为，，表示出，再根据翻折变换的性质表示出、，然后利用勾股定理列出方程求出，再根据同角的余角相等求出，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出正方形的边长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．
 11.【答案】 【解析】解：原式，
，
．
故答案为：．
根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算．
本题考查了二次根式的乘法，应用平方差公式可以简化计算．
 12.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
由，根据比例的性质，即可求得的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．
 13.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查学生对三角形的重心和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
根据三角形的重心的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】
解：是的重心，
，分别为，的中点，
，，
∽，
．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：将点向左平移单位与重合，点向左平移单位到，
作关于轴的对称点，根据作法知点，
设直线的解析式为，
则，
解得，．
直线的解析式为．
当时，，
即，．
故答案为：．
因为，的长度都是固定的，所以求出的长度就行了．问题就是什么时候最短．把点向左平移个单位到点；作关于轴的对称点，连接，交轴于，从而确定点位置，此时最短．设直线的解析式为，待定系数法求直线解析式．即可求得的值．
考查了轴对称最短路线问题，关键是熟悉关于轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
 15.【答案】 【解析】解：如图，在的左侧作等边三角形，连接．

，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
当、、共线时，的值最大，最大值为．
故答案为．
如图，在的右侧作等边三角形，连接由≌，推出，因为，，，所以当、、共线时，的值最大，最大值为．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题．
 16.【答案】 【解析】解：点，点在反比例函数的图象上，
，
；故正确；
如图，过点作于，

，
∽，
，
，
，
同理可证：，
，
又，
∽，
，，故错误，
，故正确；
设点，则点，点，
，，
，
，
∽，
，
，
，故正确；
故答案为：．
由反比例函数的性质可得，可得；故正确；通过证明∽，可得，可证∽，可得，，可证，故正确；故错误；设点，则点，点，可求的值，由相似三角形的性质可求的长，即可判断正确，即可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表示线段的长是解题的关键．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
 18.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 19.【答案】解：如图所示：就是所求作的三角形
如图所示：

      如图就是所求作的三角形 【解析】将各点的横纵坐标分别扩大倍，找到对应点后顺次连接即可．
先将向右平移个单位，再向下平移两个单位即可得出图形．
本题考查位似及平移作图的知识，难度不大，关键是掌握两种变换对应点的寻找办法．
 20.【答案】   【解析】解：由题意，可得商场日销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为；；
由题意得：
化简得：，
解得，．
该商场为了尽快减少库存，
舍去，
．
答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．
降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系并正确列式，是解题的关键．
 21.【答案】解：根据题意得，


；


；
，
，
即，
，，
，，
． 【解析】模仿例题配方即可；
利用配方法结合非负数是性质求解．
本题考查利用配方法解决问题，非负数的性质，解题的关键是灵活运用配方法解决问题．
 22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
∽；
解：，，，
，，
是的中点，
，
∽，
，
即，
，
． 【解析】由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
由勾股定理求出，得出，由∽得出比例式，求出，即可得出的长．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 23.【答案】证明：


，
不论取何实数，该方程总有两个实数根；
根据根与系数的关系得，，
，
即，
，
解得，
的最大整数值为． 【解析】先计算根的判别式的意义得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先利用根与系数的关系得，，再利用得到，然后解不等式得到的取值范围，从而确定的最大整数值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 24.【答案】证明：四边形为菱形，
，
，
在中，，，
，
，
，
即；
证明：四边形为菱形，，
，
又，
∽，
，
即，
又，，
∽，
，
；
解：面积固定不变．如图，连接，
，且，

∽，
，
且在点运动过程中点也随之运动，，始终成立，
点的运动轨迹为以图中连线所在的直线，
即，则在中，以为底边，点向作垂线，
所得高即为两平行线，之间的距离为定值，
面积固定不变． 【解析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质可得，，可得答案；
利用∽，得，即，再通过证明∽，得，从而证明结论；
根据∽，得，可知点的运动轨迹为以图中连线所在的直线，从而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，得出点的运动路径是解题的关键．
 25.【答案】解：如图中，在上取，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，，
，
，
，
，
；

如图中，连接，，．

四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
的最大值为；

连接，作，交的延长线于，交于，连接，

由知，，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
的最小值为的长，
，
，
由勾股定理得，
周长的最小值为． 【解析】在上取，连接，由同理可得，则≌，再说明是等腰直角三角形即可得出答案；
图中，连接，，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，可得结论；
作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．