2018-2022年北京中考数学5年真题1年模拟汇编 专题14 解直角三角形（学生卷+教师卷）

这是一份2018-2022年北京中考数学5年真题1年模拟汇编 专题14 解直角三角形（学生卷+教师卷），文件包含专题14解直角三角形5年20182022中考1年模拟数学分项汇编北京专用解析版docx、专题14解直角三角形5年20182022中考1年模拟数学分项汇编北京专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
专题14 解直角三角形

1．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求和的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【解析】（1）证明：∵，
∴AD∥CE，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，

在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
3．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）
【解析】解：（1）平行；P3；
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．
由垂径定理得：，
∴；

（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为．
如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；

平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=, A2M=,
∴MA=3,AA2= ,

∴的取值范围为：．

1．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，在矩形 ABCD中，AD=10，tanAEB=，点E为BC 上的一点，ED平分AEC，
（1）求BE的值；
（2）求sinEDC．

【答案】（1）；（2）
【解析】（1） ED平分AEC，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
tanAEB=，
设,则，
，
，
，
，
（2）四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
．
2．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，点E是中弦AB的中点，过点E作的直径CD，P是 上一点，过点P作的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M
（1）求证：FM=FP；
（2）若点P是FG的中点，，半径长为3，求EM长

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）解：连结OP．
∵CD为的直径，E为弦AB的中点

∴∠1=90°
∴∠2+∠C=90°.
∵PF是的切线，
∴∠OPF=90°．
∴∠3+∠4=90°.
∵OC=OP
∴∠C=∠3．
∴∠4=∠2
∵∠2=∠5
∴∠5=∠4
∴FM=FP
(2)连接DE
∵∠1=90°
∴∠G+∠F=90°
∵∠6+∠G=90°
∴∠6=∠F
∴
在Rt△OPG中，
∵OP=3

∴OG=5
∴PG=4
∴PF=PG=4
∴GF=8
∴
∴
∴.
3．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，已知中，，．

（1）求作，使得且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的长度．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【解析】解：（1）如图，即为所求（过点作）
（2）如图，由（1）得，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
∴．

4．（2022·北京十一学校一分校一模）如图，在四边形ABCD中，ABDC，AC⊥BD，垂足为F，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)若AC＝6，cos∠ABD＝，求BD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】(1)证明：∵AC⊥BD，AC⊥AE，
∴BD∥AE，
∵AB∥DC，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
(2)解：∵AB∥CE，
∴∠ABD=∠CDB=∠E，
∴cos∠E=，
设AE=3k，BC=5k，
在Rt△EAC中，，
∴k=
∴AE=，
∴BD=．
5．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，相交于点O，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)证明：，
四边形AEBO是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
，，

四边形AEBO是菱形
(2)解：如图：连接EO，交AB于点F

四边形ABCD是矩形
，，

又

是等边三角形，
四边形AEBO是菱形
，

四边形的面积为：

6．（2022·北京朝阳·一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】(1)证明：如图1，连接OC，

∵CD为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即平分；
(2)解：如图2，连接BC，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴．

7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．

(1)求证：∠ACD＝∠ECD；
(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明：∵AD∥BC，DE为AD的延长线
∴DE∥BC
又∵CE∥BD
∴四边形DBCE是平行四边形
∴DE=BC
在矩形中，BC=AD，
∴DE=AD
又∵CD=CD
∴
∴
(2)解：如图，作OH垂直于AD于H，即有∥CD

∵点O为矩形对角线的交点，即点O为AC、BD的中点
∴CD=AB=2，OA=OD
∴点H为AD中点，即，
∴
∵
∴
∴
在直角三角形OHE中
∴
8．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A处出发，要到A地北偏东方向的C处，他先沿正东方向走了到达B处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）

【答案】
【解析】解：∵
∴
∴
过点C作垂线交延长线于点D，
∴．   
在中，
∴
∴
又在中，．
∴
∴A，C两地的距离是．

9．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)证明：∵四边形是菱形
∴，．
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
(2)解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴
10．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，点E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．

(1)求证：四边形ABED为菱形；
(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)证明：∵ADBC，ABDE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∵ADBC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴▱ABED是菱形；
(2)解：如图，连接BD，

∵四边形ABED是菱形，
∴AE⊥BD，AO=OE==3，OB=OD，
∴sin∠DBE==，
∴BE=5，
∴，
∴BD=2OB=8，
∵∠DCB＝90°，
∴，
∴
∴．
11．（2022·北京大兴·一模）如图，A是上一点，BC是的直径，BA的延长线与的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．

(1)求证：AP是的切线；
(2)若，，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)证明：连接，；如图所示：

是的直径，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
是上一点，
是的切线；
(2)解：由（1）知．
在中，
，，
即，
；
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
又在中，，，
．
12．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为，的长为
【解析】(1)证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
(2)解：∵四边形是菱形，
∴，平分，，
∵平分，，
∴，和都是直角三角形，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为，的长为．
13．（2022·北京·清华附中一模）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．

【答案】（1）见解析；(2)
【解析】详解：（1）证明：如图，连接CO.

∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.
∴∠DCE+∠BCE=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵，
∴∠OCB=∠DCE.
∴∠OCE=∠DCB=90°.
∴OC⊥CE.
∵OC是半径，
∴CE是半圆的切线.
（2）解：设AC=2x，
∵在Rt△ACB中，,
∴BC=3x.
∴.
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB.
∴.
∵，AD=2x+10,
∴.
解得 x=8.
∴.
则半圆的半径为.
14．（2022·北京·模拟预测）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，）

【答案】51
【解析】解：，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
15．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，连接EF、FG、EG

(1)求证：为直角三角形
(2)连接ED，当，时，求ED的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)解：如图，分别连接AC、BD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，
∴EG∥AC，EF∥BD，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴△EGF为直角三角形；
(2)解：如图，设EG与BD的交点为H，AC与BD的交点为O，则点O也在EF上，连接ED和EO，

由题意可得：点E、F、G、O分别是AB、AD、BC、BD的中点
∴EF∥BD，GO∥CD，EG∥AC且，
∴∠EFG=∠BOG，∠BOG=∠BDC，
又∵∠BDC=∠ADB，
∴∠ADB=∠EFG，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，，
∵，
∴设，，
由勾股定理得：,
即：，
解得：，
∴，，
∴，
易证四边形EBGO是菱形，
∴
∴，
在Rt△EHD中，由勾股定理得：，
即：．
16．（2022·北京海淀·一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．

(1)求证：；
(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【解析】(1)连接OD，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC

(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴，OD=5，
∴
∴，
∵，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴

17．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在线段AD上，由点D向点A运动，当点P与点A重合时，停止运动．以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P与AD交于点M点Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．

(1)当时PC＝ ，扇形QPD的面积＝ ，点C到⊙P的最短距离＝ ；
(2)⊙P与AC相切时求PC的长？
(3)如图⊙P与AC交于点E、F当EF＝6.4时，求PD的长？
(4)请从下面两问中，任选一道进行作答．
①当⊙P与△ABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；
②直接写出点Q的运动路径长以及BQ的最短距离．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)4；
(4)①PD的范围为：3＜PD＜6或；②点Q的运动路径长是，BQ的最短距离是．
【解析】(1)解：如图1，连接PC，QP，PC交⊙P于T，

∵矩形ABCD
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，
在Rt△CDP中，由勾股定理得：，
∵∠QPD＝120°，
∴，
故答案为：，，；
(2)解∶如图2，⊙P与AC相切时，设切点为点H，连接PH，则PH⊥AC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，在Rt△ADC中，，
设⊙P半径为x，则PH＝PD＝x，AP＝8－x，
在Rt△AHP中，，
∴，
∴x＝3，
在Rt△PDC中，CD＝6，PD＝3，
∴；
(3)解∶如图3，过点P作PH⊥AC，连接PF；则∠PHA＝∠ADC＝90°，

∵∠PAH＝∠DAC，
∴△AHP∽△ADC，
∴，
设⊙P半径为x，则PF＝PD＝x，AP＝8－x，
∴，
在⊙P中，FH⊥AC，EF＝6.4，
∴HF＝3.2，
在Rt△PHF中，，
∴x＝4或x＝－13（舍去），
∴PD＝4；
(4)解∶①如图4，作于M，作于N，

当时，与AC相切，只有1个公共点，由（2）知，此时PD＝3，
当时，与△ABC有3个公共点；
当6＜PN≤PB时，⊙P与△ABC有3个公共点；，
∴，解得：
综上所述，PD的范围为：3＜PD＜6或；
②如图5，∵∠QPD＝120°，当点P与点A重合时，AQ＝AD
∴点Q的运动路径是线段DQ，∠DAQ＝120°，∠ADQ＝∠AQD＝30°，BQ的最短距离是点B到直线CQ的距离；
过点B作BK⊥CQ于K，BK交AD于S，过A作AL⊥CQ于L，连接BD，AQ，
∵AL⊥CQ，
∴∠ALD＝∠ALQ＝90°，
∵AQ＝AD，AL＝AL
∴Rt△ADL≌Rt△AQL
∴DL＝QL，∠DAL＝∠QAL＝60°，
∴，即
∴
在Rt△BCD中，
设SD＝m，则，
∵∠ASB＝∠DSK＝90°－∠ADQ＝90°－30°＝60°，
∴∠ABS＝30°
∴，即8－m＝6tan30°，解得：
∴，
∴
故点Q的运动路径长是，BQ的最短距离是．