2020-2021学年4.1 函数的奇偶性精练

这是一份2020-2021学年4.1 函数的奇偶性精练，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.4.1 函数的奇偶性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 已知是偶函数，且其定义域为，则(    )A.  B.  C. 1 D. 7已知函数是奇函数，且在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上(    )A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值若函数为奇函数，则实数a的值为(    )A. 2 B.  C. 1 D. 定义域是R的函数满足，当时，若时，有解，则实数t的取值范围是(    )A.
B.
C.
D.  二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是(    )A.  B.  C.  D. 若函数是奇函数，则结论正确的是(    )A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数
C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数已知、都是定义在R上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有(    )A. 为偶函数
B. 为奇函数
C. 的图像关于直线对称
D. 为偶函数 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）函数，，则__________已知定义域为R的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是__________.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则__________.已知奇函数满足，当时，，则当时，函数的解析式是__________. 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分已知函数求函数的定义域．判断的奇偶性并证明．本小题分
已知定义在R上的函数，满足：①；②任意的x，R，求的值；判断并证明函数的奇偶性．本小题分函数是定义在R上的奇函数，当时，计算，；当时，求的解析式．本小题分已知函数R当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；探究函数的奇偶性，并证明．本小题分已知函数对任意实数x、y恒有，当时，，且判断的奇偶性；判断函数单调性，求在区间上的最大值；若对所有的恒成立，求实数m的取值范围.本小题分已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，求函数在R上的解析式；解不等式
答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数图象和函数的奇偶性，属于基础题.
首先求解函数的定义域及奇偶性，再研究和时，函数值的正负情况，由排除法可得结论.【解答】解：函数的定义域为，且满足，
为奇函数，
当时，，故排除A，
当时，，故排除BD，
故选  2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，具有奇偶性的函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题．
利用偶函数的定义域关于原点对称，区间的端点值互为相反数求得a的值，再利用求出b的值，即可求出的值．【解答】解：函数是偶函数，且其定义域为，
定义域关于原点对称，
，解得，
，
再由得恒成立，故，
故，
故选  3.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数是奇函数，在上是减函数，
在上也是减函数，
在区间上的值域为，
最大值为，最小值为，
在区间上也是减函数，且最大值为，
最小值为，
故选：  4.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了利用奇函数的对称性求参数，属于一般题．
设，则，结合时，，可求，即可求解【解答】解：函数为奇函数，
设，则，
时，，
，
，
，
故选：  5.【答案】B 【解析】【分析】由题意可知函数是R上的奇函数，画出函数在上的大致图象，得到当时，，由题意可知，从而求出t的取值范围．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是较难题．【解答】解：定义域是R的函数满足，
函数是R上的奇函数，
又当时，
利用函数的奇偶性画出函数在上的大致图象，如图所示：，
当时，，
若时，有解，
，即，
解得或，
故选  6.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题.
依据奇偶性和单调性的定义，对选项中函数逐个分析判断即可.【解答】解：A中是对称轴为，开口向上的抛物线，是偶函数，
在上单调递增，故在上也单调递增，A正确;
B中反比例函数是奇函数，不是偶函数，B错误;
C中函数是偶函数，且在时，，
它在上单调递减，在单调递增，故 C错误;
D中函数是偶函数，在时化简后即为，在上单调递增，故D正确.
故选  7.【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查函数奇偶性的定义和判断，注意函数奇偶性的定义，属于中档题．【解答】解：根据题意，函数是奇函数，则，
对于A，函数，其定义域为R，有，
即函数为偶函数，A正确，
对于B，函数，其定义域为R，有，
即函数为偶函数，B错误，
对于C，函数，其定义域为R，有，
即函数为奇函数，C错误，
对于D，函数，其定义域为R，有，
即函数是奇函数，D正确，
故选  8.【答案】ACD 【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和对称性的判断，考查推理能力，是较难题.
根据为奇函数得出，然后根据关于直线对称得出，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果.
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
因为的图像关于直线对称，
所以，A项：，则函数为偶函数，A正确；B项：，不是奇函数，B错误；C项：因为，
所以，则的图像关于直线对称，C正确；D项：因为，
所以，则函数为偶函数，D正确，故选：  9.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了函数奇偶性的运用，解题的关键是要构造出奇函数进行变换求值即可，属于基础题.
根据可构造则易得为奇函数再根据奇函数的性质可得就可求得【解答】解：，
令，则由于定义域为R关于原点对称，
且，
为奇函数，
，
，
，
故答案为  10.【答案】或 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性．【解答】解：偶函数在上为增函数，，
不等式等价为，
即，即或，
即或，
不等式的解集为或
故答案为：或  11.【答案】1 【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的性质应用．
根据题意，由的奇偶性和对称性分析可得，即可得是周期为4的周期函数，由此可得与的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，奇函数定义域为R，则，且
又由为偶函数，即的图象关于直线对称，
则有，
综合可得，
则有，
故函数是周期为4的周期函数，
故，
，
故，
故答案为：  12.【答案】当k是偶数时，；当k是奇数时， 【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合应用．
由题意，函数的周期为2，时，，分k为奇数、偶数讨论，即可得出结论．【解答】解：由，可知奇函数的周期为
时，，，则，
时，，，；
时，，，
故答案为：当k是偶数时，；当k是奇数时，  13.【答案】解：由，得，即的定义域；为偶函数．
证明如下：由知函数定义域关于原点对称，且，为偶函数. 【解析】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断和证明，利用相应的定义是解决本题的关键．根据函数成立的条件进行求解即可；根据函数奇偶性的定义进行证明．
 14.【答案】解：依题意，函数为偶函数；
证明：由知，
所以，即，
所以， 
又因为的定义域为R， 
所以函数为偶函数． 【解析】本题考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
根据，则可得答案；
由题意，可推出，又的定义域为R，则可证得为偶函数．
 15.【答案】解：函数是定义在R上的奇函数，
，
时，，
，

当时，，


 【解析】本题考查了分段函数解析式的求法，考查了函数的求值，是中档题.
根据奇函数的性质可知，由及已知函数解析式可求
设，得到，然后借助于时的解析式及可求函数的解析式;
 16.【答案】解：当时，，令，
则，因为，
所以，，，所以，即，故，即，所以在区间上单调递增.证明如下：的定义域是，关于原点对称，当时，，
因为，
所以是偶函数;当时，因为，
所以，因为，
所以，所以既不是奇函数，也不是偶函数.综上所述，当时，是偶函数；
当时，既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】本题考查利用函数的奇偶性定义的应用，判断并证明函数的单调性，属于中档题.
利用单调性的定义，任取且，比较和0即可得单调性；
判断函数的定义域关于原点对称，然后分别分析当时，当时的与的关系，得到奇偶性的判断.
 17.【答案】解：取，则，
， 
取，则， 
对任意恒成立，
为奇函数；
任取，且， 
则，，
，
又为奇函数，

故为R上的减函数.
，，
，
， 
故在上的最大值为6；
在上是减函数，
，
，对所有，恒成立.
，恒成立;
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或
实数m的取值范围为 【解析】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
取可求得，取可得与的关系，由奇偶性的定义即可判断;
任取，且，由已知可得，从而可比较与的大小关系，得到即可， 再利用单调性求最值；
由条件可知对恒成立，列出不等式组解出m的范围
 18.【答案】解：根据题意，为定义在R上的奇函数，则，设，则，则，又由为R上的奇函数，则，
则；当时，
易知函数在上为增函数，
又为定义在R上的奇函数，则在上也为增函数，，，当时，，
，成立；当时，，
则或，解得；所以，不等式解集为 【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，以及不等式求解，属于拔高题．
由题意利用函数为奇函数，求得当时函数的解析式，从而得出结论．
由题意，可得在上也为增函数，从而根据，，分类讨论，求得不等式的解集即可．