2020-2022年湖南中考数学3年真题汇编 专题28 新定义与阅读理解创新型问题（学生卷+教师卷）

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专题28 新定义与阅读理解创新型问题
一、单选题
1．（2021·湖南永州）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（       ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新运算的定义和法则进行计算即可得．
【详解】
解：原式，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．
2．（2021·湖南张家界）对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（       ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．
【详解】
解：根据题意由方程得：

整理得：
根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．
3．（2021·湖南怀化）定义，则方程的解为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据新定义,变形方程求解即可
【详解】
∵,
∴变形为,
解得 ，
经检验 是原方程的根，
故选B
【点睛】
本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键
4．（2020·湖北恩施）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（       ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【详解】
解：由题意知：，
又，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
5．（2020·山东潍坊）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】
解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
6．（2020·河南）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（   ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】
解：根据定义得：

＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点睛】
本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2021·河北）如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆；
②在上任取一点（不与点，重合），连接；
③作的垂直平分线与交于，；
④作的垂直平分线与交于，．
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（       ）

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：Ⅰ、如图所示．

∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴．
∴．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴．
如图，


当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证：．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题
8．（2022·湖北荆州）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】
解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，
故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
9．（2021·广西贵港）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
【详解】
解：根据题意知：．
因为，
所以当时，．
即的最大值是8．
故答案是：8．
【点睛】
本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．
10．（2021·山东菏泽）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
11．（2022·四川内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
12．（2021·内蒙古呼和浩特）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．
【答案】0，1，0，1
【解析】
【分析】
根据定义先确定x0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1即可．
【详解】
解：∵，，，依次为3，1，2，1，
∴x0=x4=1，x5=x1=3，
∴x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，
∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1；
∴其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1．
故答案为：0， 1， 0， 1．
【点睛】
本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键．
三、解答题
13．（2022·甘肃兰州）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．

(1)求点的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；
(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：运动，是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)+1