高考数学(理数)一轮复习教案：10.1《空间几何体的结构及其三视图和直观图》(含解析)

第十章　立体几何

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10.1　空间几何体的结构及其三视图和直观图

典例精析

题型一　结构特征判断

【例1】 以下命题错误的个数是 (　　)

①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；

②圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；

③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；

④三棱锥的四个面可能都是直角三角形；

⑤有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台.

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

【解析】①错：只能以直角边为轴旋转一周才可；

②错：必相交；

③对：如图，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD时，四个侧面均为直角三角形；

④对：如图，∠ABC＝90°，PA⊥底面，则四个面均为直角三角形；

⑤错：只有侧棱延长交于一点时才是棱台.

综上，错误的个数是3，故选C.

【点拨】判断结构特征必须严格依据柱、锥、台、球的定义，结合实际形成一定的空间想象能力.

【变式训练1】给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线互相平行.

其中正确命题的序号是　　　　.

【解析】②④.

题型二　直观图的斜二测画法

【例2】 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)

【解析】按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意.

【点拨】本题已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力.要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系.

【变式训练2】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形的面积.

【解析】因为直观图的坐标轴成45°，横长不变，竖长画成原来的一半，则还原成原图时将45°还原成90°，则过A′作A′O′与O′C′成45°，将其还原成90°，且AO＝2A′O′.

而A′D′＝a.所以A′O′＝a×＝a，所以AO＝a.

所以S△ABC＝BC· AO＝a×a＝a2.

题型三　三视图与直观图

【例3】 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三视图如下.

(1)求出该四棱柱的表面积；

(2)求证：D1C⊥AC1；

(3)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.

【解析】(1)求得该四棱柱的表面积为S＝11＋2.

(2)证明：由三视图得该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形.

在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D.

因为DC＝DD1，所以四边形DCC1D1是正方形.

所以DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，

所以AD⊥平面DCC1D1.

又D1C⊂平面DCC1D1，所以AD⊥D1C.

因为AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，

所以D1C⊥平面ADC1.

又AC1⊂平面ADC1，所以D1C⊥AC1.

(3)连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，

BD∩AE＝N，连接MN.

因为平面AD1E∩平面A1BD＝MN，

要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，

又M是AD1的中点，所以N是AE的中点.

又易知△ABN≌△EDN，

所以AB＝DE，即E是DC的中点.

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

【点拨】本题以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明以及表面积的计算，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与数量关系，然后在直观图中解决问题.

【变式训练3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号依次是(　　)

①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.

A.④③②     B.①③②    C.①②③      D.④②③

【解析】选A.

总结提高

学习空间几何体的结构要以对实物的观察想象为基础，再以课本中给定的柱、锥、台、球的概念为标准对实物进行再认识，通过这一过程提高空间想象能力.

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