2021-2022学年广东省汕头市高一下学期期末教学质量检测数学含答案

  汕头市2021~2022学年度普通高中教学质量监测

高一数学

一､单选题（本题共8小频.每小颗5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. （）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

5. 函数的部分图象的大致形状是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

6. 函数的最小正周期是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

8. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（）.

A. 24 B. 26 C. 8 D. 16

【答案】D

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）

猕猴桃 

柚子

A. 每克柚子维生素含量的众数为

B. 每克柚子维生素含量的分位数为

C. 每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数

D. 每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差

【答案】BC

10. 已知函数，则下列结论正确的是（）

A. 函数的单调递增区间是

B. 函数的值域是R

C. 函数的图象关于对称

D. 不等式的解集是

【答案】BCD

11. 已知向量，，则下列结论正确的是（）.

A. 若，则

B. 若，则

C. 若取得最大值，则

D. 的最大值为

【答案】BCD

12. 已知函数，则（）

A. 是周期函数 B. 的图象必有对称轴

C. 的增区间为 D. 的值域为

【答案】ABD

三､填空题（每小题5分，共20分）.

13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．

【答案】3

15. 已知，，，则、、从小到大的顺序为_______.

【答案】

16. 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是___________.

【答案】20

四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知函数（，且）满足.

（1）求的值；

（2）解不等式.

【答案】（1）

（2）

18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在条鱼的样本中发现的汞含量（单位：）如下：

（1）因为样本数据的极差为，所以取区间为，组距为，请把频率分布表补充完整；

（2）请把频率分布直方图补充完整；

（3）求得上述样本数据的平均数为和标准差为，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内？

【答案】（1）频率分布表见解析

（2）频率分布直方图见解析

（3）

【解析】

【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表；

（2）根据频率分布表可作出频率分布直方图；

（3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果.

【小问1详解】

解：根据题意，频率分布表如下表所示：

【小问2详解】解：频率分布直方图如下图所示：

【小问3详解】

解：平均数为，标准差为，，，

在上述样本中，其中汞含量在范围内的鱼的条数为.

19. 如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点.

（1）当为的中点时，求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）求与平面所成角的正切值的最大值.

【答案】（1）

（2）

20. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.

（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）记为，为，求的值.

【答案】（1）2，18平方（2）

21. 如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：面；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）

【解析】

【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）翻折前，利用勾股定理证明出，翻折后则有，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，证明出，计算出的长，即可求得的余弦值，即为所求.

【小问1详解】

证明：取线段的中点，连接、，

翻折前，在矩形中，为的中点，，则，

所以，，

翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，

平面，平面，平面，

为的中点，且，则，所以，为的中点，

又因为为的中点，所以，，

平面，平面，所以，平面，

，所以，平面平面，

因为平面，平面.

【小问2详解】

证明：在矩形中，，，

，，

因为，则，

因为，为的中点，所以，，则，

所以，，所以，，则，

在三棱锥中，则有，，

因为，所以，面.

【小问3详解】

解：在三棱锥中，，，，

所以，，，

过点在平面内作，垂足为点，连接，

平面，平面，，

因为，，平面，

平面，，所以，二面角的平面角为，

在中，，，，

由余弦定理可得，

所以，，所以，，

因为平面，平面，，

所以，，

故，因此，二面角的余弦值为.

22. 已知函数，

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）若，求的最小值和最大值；

（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.

【答案】（1）偶函数，证明见解析.

（2），

（3）

【解析】

【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；

（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；

（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.

【小问1详解】

是偶函数

证：因为的定义域为,

且

∴f（x）是偶函数

【小问2详解】

当，则

又

∴当时，

当时，

【小问3详解】

因为都是偶函数.

所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，

①当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，

所以恰有3个零点，即满足条件：.

②当时，即且时，此时，

当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，

所以，解得，此时有2个零点符合要求，

当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，

当时，解得或，

令解得或（舍去），

所以的根为，要使恰有3个零点，则

综上：