广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末教学质量检测——数学

肇庆市2021-2022学年第二学期高二年级期末教学质量检测

数  学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上。

2. 回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

A. 0  B. 6  C. 12  D. 18

2. 已知函数，是函数的导函数，则

A. 0  B.  C. 1  D.

3. 在等差数列中，，则

A. 14  B. 16  C. 18  D. 28

4. 已知，且，则

A. 0. 8  B. 0. 05  C. 0. 1  D. 0. 9

5. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有

A. 48种 B. 36种 C. 20种 D. 24种

6. 在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为. 事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则

A.  B.  C.  D.

7. 等比数列中的项，是函数的极值点，则

A. 3  B.  C.  D.

8. 当时，恒成立，则的取值范围为

A.    B.    C.    D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有

A. 图①中的和相关程度很强   B. 图②中的和成正相关关系

C. 图③中的和成负相关关系   D. 图④中的和成非线性相关关系

10. 已知数列满足，，记，则

A.  B.  C.  D.

11. 已知，则

A.    B.

C.     D.

12. 设，则下列选项正确的是

A.  B.  C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，的系数为_________. （用数字作答）

14. 已知随机变量的分布列为

则随机变量的数学期望_________（2分），方差_________（3分）.

15. 已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和1个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为_________.

16. 某学校有，两家餐厅，通过调查发现：开学第一天的中午，有一半的学生到餐厅就餐，另一半的学生到餐厅就餐；从第二天起，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅. 该学校共有学生3500人，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到餐厅就餐的学生人数为_________人. （用整数作答）

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

18. （本小题满分12分）

某市统计了该市近五年的环保投资额（万元）得下表：

以为解释变量，为响应变量，若用作为经验回归方程，则决定系数，若用作为经验回归方程，则决定系数.

（1）判断与哪一个更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程，并说明理由；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出关于年份代号的经验回归方程.

参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：，，.

19. （本小题满分12分）

已知有4名医生和2名护士要到疫区支援两所医院的工作，每名医生只能到一所医院工作，每名护士也只能到一所医院工作.

（1）求两所医院都既有医生又有护士的分配方案的种数；

（2）在这6人中随机抽取3人，记其中医生的人数为，求的分布列和数学期望.

20. （本小题满分12分）

已知等差数列的公差，且是与的等比中项，.

（1）求数列的前项和；

（2）设数列的前项和为，且，求数列的前项和.

21. （本小题满分12分）

某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.

（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；

（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.

附表：

附：，其中.

22. （本小题满分12分）

已知.

（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；

（2）当时，函数有两个零点，求的取值范围.

肇庆市2021-2022学年第二学期高二年级期末教学质量检测

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. C【解析】，，所以，故选C.

2. A【解析】，所以，故选A.

3. A【解析】，故选A.

4. D【解析】，所以，所以，故选D.

5. B【解析】3名学生相邻共有排法，故选B.

6. C【解析】，故选C.

7. D【解析】依题意，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以，故选D

8. A【解析】由，

设，则

当时，，当时，，

所以函数在区间上递增，在区间上递减，故，

故，故选A.

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. BCD【解析】图①中的和相关程度极弱，所以A错误，B，C，D选项判断正确.

10. BC【解析】由题意可得，

所以，所以A错误，B正确；

又，

故，即，

所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，故选BC.

11. ABD【解析】令，则，所以A正确；

令，则，

又，

所以，，所以B正确，C错误；，

令，则，故D正确，故选ABD.

12. ACD【解析】，

设，所以函数单调递减，

当时，，

所以函数单调递减，所以，故，

所以，故B错误，C正确.

设，

当时，，所以，

所以，

所以函数单调递减，所以，所以，

所以，故D正确.

设，当时，，所以函数单调递增，

所以，所以，故，得，

所以，即，故A正确，故选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 【解析】展开式的通项为，当时，，所以的系数为.

14. 3（2分） 1（3分）【解析】，

.

15. 【解析】设从乙盒中取到两个红球为事件，从乙盒中取到一红一白两个小球为事件，最终取到的

球是白球为事件，由题意得和是互斥事件，则由全概率公式得.

16. 1400【解析】设第天选择餐厅就餐的学生比例为，由题意得，，，所以，故，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到厅就餐的学生人数为（人）。

四、解答题；本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

解：（1）的定义域为，. . . . . . . . . . 1分

令，解得. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2分

当时，，当时，，当时，，……. . 5分

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

故的单调递减区间为，单调递增区间为，. . . . . . . . . . . . . . 5分（开闭区间都对）

（2）由（1）得，当在区间上变化时，的变化情况如下表所示.

所以函数在区间上的最小值为，最大值为40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10分

18. （本小题满分12分）

解：（1）由，可知的拟合效果更好，所以更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程. . . . . . . . . . . 4分

（2）由表格数据，得，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5分

，

，，……6分

由公式，得，. . . . . . . . . . . . . . . . . 9分

，. . . . . . . . . . . . . . . . . 11分

所以关于的经验回归方程为. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12分

19. （本小题满分12分）

解：（1）先分2名护士到两所医院有种分法，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1分

4名医生可分为1人、3人两组或2人、2人两组，再分到两所医院，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2分

1人，3人两组共有种分法，2人、2人两组共有种分法，. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4分

所以两所医院都要求既有医生又有护士的分配方案的种数为. ……6分

（2）由意服从超几何分布，且. . . . . . . . . . . . . . . . . 7分

所以，

所以，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分，. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9分

，. . . .. . . . . . . . . . . . . . . 10分

的分布列为：

的数学期里. . . .. . . . . . . . . . 12分

（或）

20. （本小题满分12分）

解：（1）由题意得，所以. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1分

又，所以解得. . . .. . . . . . . . . . . . . 2分

又，故，

故，. . . .. . . . . . . . . 3分

所以. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分

设数列|的前项和为，

则……6分

（2）当时，，所以. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7分

由，①

得，②

①—②得. . . . . . . . . . . . . 8分

所以，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，. . . . . . . . . . . . 9分

所以，故.

设数列的前项和为，

则，③

，④. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10分

③—④，得，

所以，

所以.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1分

21. （本小题满分12分）

解：（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：

. . . . . . . . . . . . . . 2分

， . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05. . . . . . . . . . . 6分

（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，

所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，. . . . . . . . . . . . . . . . . 7分

随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，. . . . . . . . . . . . . . . . 8分

所以，

，

，

，

，

，

的分布列为：

       . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 10分

的数学期望为. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1分

的方差为. . . . . . . . . . . . . . . . 12分

22. （本小题满分12分）

解：（1），又，所以. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1分

因为，. . . . . 2分

所以,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3分

所以，故，

综上. . . .. . . .. . . . . . 4分

（2）当时，，

当时，只有一个零点，故，

当时，，

i. 当时，，令，

当时，；当时，.  …………5分

所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

又，

又，所以，

故，

所以时函数有两个零点. . . . . . . . . . 6分

ii. 当时，今，解得. …. . . . . . . . . . 7分

若，所以，所以函数在上单调递增，不可能有两个零点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8分

若，即时，当时，，当时，，

当时，. . . . . . . . . . . . 9分

所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增.

又,

,

故函数至多有一个零点，不符合题意. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10分

若时，即，当时，，当时，

，当时，，. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11分

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

又，，故函数至多有一个零点，不符合题意.

综上，的取值范围是.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12分