江苏省南京市秦淮区联考2022-2023学年八年级上学期期中质量检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市秦淮区联考2022-2023学年八年级上学期期中质量检测数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市秦淮区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，6，7
3．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（　　）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
5．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）

A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有　 　．
8．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为24cm，若AB＝10cm，EF＝8cm，AC＝　 　cm．
9．如图，已知∠BAC＝∠DAC，请添加一个条件：　 　，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．

10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝　 　．

11．若等腰三角形的一个外角等于80°，则它的底角为　 　°．
12．如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是12cm，则BC的长为 　 　cm．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝　 　cm2．

14．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点．且DE＝DF，连接BF，CE，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有　 　（填序号）

15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过点C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝3，BF＝1，则EF＝　 　．
16．以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有 　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝25m，AC＝7m．求A，B两点间的距离．

18．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC、DB交于点E，求证：BE＝CE．

19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C；
（2）五边形ABCB′A′的面积为 　 　．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，DE∥AB．求证：△ADE是等腰三角形．

21．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．

22．如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠B的平分线，交AC于点D；
（2）在线段BC上求作一点E，使得∠AEB＝2∠C．

23．如图，在△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．AE与CD有何关系？证明你的结论．

24．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数．

25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？

26．我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程．

（1）请补全课本例2的证明过程；
例2已知：如图2，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．
求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为F、M、N．
∵AD平分∠BAC，点P在AD上，
∴　 　．
同理 　 　．
∴　 　．
∴点P在∠C的平分线上．
（2）运用上述结论解决下面的问题：
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，点D、E在AH上，且∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，连接CD并延长，交AB于点F，连接EF．求证EF∥BD．



参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确；
D、52+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】先由四边形ABCD的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到两组对边相等，两组对角相等，且对角线互相平分，然后利用“SSS”的全等方法得到△AOD和△COB全等及△AOB和△COD全等，利用“SAS”的全等方法得到△ABD和△CDB全等及△ABC和△CDA全等，从而得到图中全等三角形的对数为4．
解：图中全等的三角形有4对，
分别是△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，
证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝DC，∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，
在△AOD和△COB中，
AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOD≌△COB（SSS）；
在△AOB和△COD中，
AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SSS）；
在△ABD和△CDB中，
AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，AB＝CD，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；
在△ABC和△CDA中，
AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，BC＝AD，
∴△ABC≌△CDA（SAS）．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定．本题属于结论开放型问题，此类问题的特点是已知相关条件，需要根据条件寻求相应的结论，并且符合条件的结论不唯一．判断出四边形ABCD为平行四边形是解本题的突破点，其中判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，根据实际情况选择合适的方法．
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（　　）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】根据垂直平分线的判定判断即可．
解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分CD，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判断是解题的关键．
5．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据邻补角的定义求出∠AED，再根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解．
解：∵∠AEC＝110°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠DAE＝180°﹣2×70°＝180°﹣140°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）

A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．

故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有　稳定性　．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
8．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为24cm，若AB＝10cm，EF＝8cm，AC＝　6　cm．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得EF＝BC，再利用三角形的周长解答即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝8cm，
∵△ABC的周长为24cm，AB＝10cm，
∴AC＝24﹣10﹣8＝6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，三角形的周长，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边是解题的关键．
9．如图，已知∠BAC＝∠DAC，请添加一个条件：　AB＝AD　，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．

【分析】添加AB＝AD，再加上条件∠BAC＝∠DAC，公共边AC，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADC．
解：添加：AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：AB＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝　1　．

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝2，
∴CD＝AB＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查直角三角形的斜边中线定理，记住直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．若等腰三角形的一个外角等于80°，则它的底角为　40　°．
【分析】根据三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，等腰三角形的性质：等边对等角求解．
解：∵等腰三角形的一个外角为80°
∴相邻角为180°﹣80°＝100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．
12．如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是12cm，则BC的长为 　5　cm．

【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AN＝BN，再根据△BCN的周长即可求出BC的长．
解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是12cm，
∴BC+CN+BN＝BC+AC＝12cm，
∵AC＝7cm，
∴BC＝12﹣7＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝　16　cm2．

【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，
则S1+S2＝AC2+BC2＝16（cm2），
故答案为：16．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点．且DE＝DF，连接BF，CE，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有　①③　（填序号）

【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
∵，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故③正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故④错误，
正确的结论为：①③，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过点C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝3，BF＝1，则EF＝　4或2　．
【分析】认真画出图形，找出一组全等三角形即可，利用全等三角形的对应边相等可得答案．
解：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BCF＝∠EAC
在△BFC与△CEA中，
，
∴△BFC≌△CEA，
∴CF＝AE＝3
CE＝BF＝1
①EF＝CF+CE＝3+1＝4．
②EF＝CF﹣CE＝3﹣1＝2，
故答案为：4或2．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．本题要注意思考全面，两种情况，不能遗漏．
16．以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有 　③④　．（填序号）
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，故①错误，是假命题，不符合题意；
②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，故②错误，是假命题，不符合题意；
③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等，故③正确，是真命题，符合题意；
④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等，故④正确，是真命题，符合题意．
其中真命题是③④，
故答案为：③④．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝25m，AC＝7m．求A，B两点间的距离．

【分析】直接由勾股定理列式计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝25m，AC＝7m，
由勾股定理得：AB＝＝＝24（m），
即A、B两点间的距离为24m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC、DB交于点E，求证：BE＝CE．

【分析】欲证明BE＝EC，只要证明△ABC≌Rt△DCB．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C；
（2）五边形ABCB′A′的面积为 　13　．

【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
（2）利用五边形的面积＝大矩形的面积﹣四个三角形的面积即可求解．
解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求，

（2）五边形ABCB′A′的面积＝4×6﹣2×＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，DE∥AB．求证：△ADE是等腰三角形．

【分析】由等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再由平行线的性质得∠ADE＝∠BAD，则∠CAD＝∠ADE，即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．

【分析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
解：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22．如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠B的平分线，交AC于点D；
（2）在线段BC上求作一点E，使得∠AEB＝2∠C．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）作线段AB的垂直平分线交BC于点E，点E即为所求．
解：（1）如图，射线BD即为所求；
（2）如图，点E即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23．如图，在△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．AE与CD有何关系？证明你的结论．

【分析】由“SAS”可证△ABE≌△CBD，得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，再由三角形内角和定理可得∠AMC＝∠ABC＝90°，即可得出结论．
解：AE＝CD，AE⊥CD，证明如下：
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，
∵∠ANB＝∠CNM，
∴∠AMC＝∠ABC＝90°，
∴AE⊥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数．

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠DAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠BPQ＝60°，再根据BQ⊥AD得到∠BQP＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠PBQ＝30°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），
∴∠ABE＝∠DAC，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠DAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°，
∴∠PBQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）利用非负数的性质证明即可．
（3）把a、b的值代入a2+b2≥2ab中，进行计算得到a+b≥2．利用该结论求得当x，y取何值时，该矩形面积最大以及其最大面积．
解：（1）因为边长为c的正方形面积为c2，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a﹣b）的小正方形组成的，
它的面积为4×ab+（a﹣b）2＝a2+b2，
所以c2＝a2+b2．

（2）∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2﹣2ab≥0，
∴a2+b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．

（3）依题意得2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，长方形的面积为xy，
由（2）的结论知2xy≤x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴4xy≤（x+y）2，
∴xy≤4，
当且仅当x＝y＝2时，长方形的面积最大，最大面积是4．
【点评】本题考查了四边形综合题．需要学生掌握勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
26．我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程．

（1）请补全课本例2的证明过程；
例2已知：如图2，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．
求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为F、M、N．
∵AD平分∠BAC，点P在AD上，
∴　PF＝PN　．
同理 　PF＝PM　．
∴　PM＝PN　．
∴点P在∠C的平分线上．
（2）运用上述结论解决下面的问题：
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，点D、E在AH上，且∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，连接CD并延长，交AB于点F，连接EF．求证EF∥BD．

【分析】（1）根据角平分线的性质即可证明；
（2）连接CE，证明AD、CE分别平分∠FAC、∠ACF，根据（1）的结论得出FE平分∠AFC，再证明∠EFC＝∠FDB＝30°，即可判定EF∥BD．
【解答】（1）证明：如图2，过点P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为F、M、N．
∵AD平分∠BAC，点P在AD上，
∴PF＝PN．
同理 PF＝PM．
∴PM＝PN．
∴点P在∠C的平分线上．
故答案为：PF＝PN，PF＝PM，PM＝PN；
（2）证明：如图1，连接CE．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAH＝∠CAH＝45°，
∵点D、E在AH上，∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠EBA＝15°，∠BCD＝∠DCE＝∠ECA＝15°，
∴CE平分∠ACF，∠FDB＝∠DBC+∠BCD＝30°，
又∵AD平分∠FAC，
根据（1）的结论得出FE平分∠AFC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF＝45°+15°＝60°，
∴∠AFE＝∠EFC＝∠AFC＝30°，
∴∠EFC＝∠FDB，
EF∥BD．

【点评】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，有一定难度，准确作出辅助线是解题的关键．