江苏省南通东南中学2021-2022学年高一上学期期中质量检测数学试题（含答案）

2021-2022学年度江苏省南通东南中学第一学期

高一期中质量检测数学试题

一、单选题

1.     已知集合，，若，则a等于 

A. 或3 B. 0或 C. 3 D.

2.     已知a，，集合，，若，则   

A.  B.  C.  D.

3.     下列是全称量词命题且是真命题的为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，，

4.     已知条件，条件，且满足q是p的必要不充分条件，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.     若函数的值域是，则函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     设，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

7.     我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8.     已知定义域为R的函数在上单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题

9.     下列关系中正确的是   

A.  B.
C.  D.

10. 下列选项中同一函数的有(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

11. 下列说法正确的有(    )

A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分条件
C. 命题，，则，
D. “”是“”的必要条件

12. 已知，下列说法正确的有 

A. 在区间单调递增 B. 在区间单调递减
C. 有最小值 D. 有最大值

三、填空题

13. 已知，或，，则__________.
14. 若函数，则的解析式为__________.
15. 已知不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围__________.
16. 正数a，b满足，若对任意正数a，b恒成立，则实数x的取值范围是__________.

四、解答题

17. 计算下列各式的值：
    ；
     
18. 已知R，集合，

当时，求；

若，求a的取值范围．

19. 已知
    当时，解不等式；
    若，解关于x的不等式
20. 已知函数为奇函数. 求实数a的值；
     求证：在区间上是增函数.
21. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点.已知米，米，设AN的长为米.
     

要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；

22. 已知定义在R上的函数，满足对任意的x，，都有当时，且

求的值；

判断并证明函数在R上的奇偶性；

在区间上，求的最值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查集合相等及集合元素的互异性，属于基础题目.
由集合相等得出两集合中的元素相同，得出a的值，再进行检验即可即可.

【解答】

解：由题意可得，
即，
解得或，
当时集合A不满足集合元素的互异性，故舍去.
故
故选

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查集合中元素的特性，考查交集、并集运算，是基础题．
由已知结合集合中元素的互异性可得，得到，，再由并集运算得答案．

【解答】

解：，，
若，则且，
若，则，此时，集合A违背集合中元素的互异性
若，则，时集合A违背集合中元素的互异性，故，
此时，，则
故选 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题以命题的真假判断为载体考查了全称量词命题和存在量词命题，要判断一个全称量词命题为假，只要举出一个反例即可．
根据四个命题前的量词，我们可以判断出C是存在量词命题，令，可以判断出A的真假，令，可以判断出D的真假.

【解答】

解：选项A，当时，，故，是假命题，不符合题意；
选项B，有理数对加法、乘法、减法、除法、乘方都封闭，
故，正确，且该命题是全称量词命题，符合题意；
选项C，该命题是存在量词命题，不符合题意；
选项D，当时，，故，，是假命题，不符合题意；
故选

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，绝对值不等式的求解，属于基础题.
求解不等式得到命题p，由题得到是的真子集，即可得出结果.

【解答】

解：，即，

因为q是p的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以
故本题选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域，属于基础题.
令，则，求出函数y的单调性，求出函数的最值，从而可求出函数的值域.

【解答】

解：令，，则
根据对勾函数性质得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，
故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质及不等关系，属于基础题.
利用特殊值法进行排除，再利用不等式的性质进行推理即可得出答案.

【解答】

解：令，，，，则，故错误;
令，，则，故错误;
令，，，，则，故错误;
因为，所以即，故正确;
故选

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象的判断，属于基础题.
通过判断时函数值的正负，以及特殊点的位置，即可排除错误选项，进而求解．

【解答】

解：时，，排除选项C、D；
当时，，则对应点在第一象限，排除B，
故函数的图象大致是A选项的图象.
故选：

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题.
由函数的单调性和奇偶性，可得，从而求出答案.

【解答】

解：由题意为偶函数，则的图象关于对称，则
又在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，所以，
故不等式的解集为
故选

9.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系和子集的概念，属于基础题．
由元素与集合的关系和子集，以及空集的概念即可逐项判断正误．

【解答】

解：根据集合与元素的关系可知：，故A正确；
空集是任意非空集合的真子集，集合中有元素0，所以，故B正确；
集合是数集，为点集，因此选项C错误；
与不一定是同一个点，因此不能判定，故D错误．
故选

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查同一函数的判断，是基础题.
两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们为同一函数.

【解答】

解：对于A，，它们的定义域相同，对应法则相同，故是同一函数， A正确;
对于B， ，定义域为 R，，定义域为非负实数集，
它们的定义域不相同，  故不是同一函数， B错误;
对于C，的定义域为非零实数集，常函数定义域为R，
它们的定义域不相同，  故不是同一函数， C错误;
对于D， ，，
两个函数的定义域相同，都是 R，对应关系也相同，是同一函数;故D正确.
故选

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称量词命题的否定，不等式性质，不等式求解和一元二次不等式的解法，属于中档题．
利用解分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法，计算对A进行判断，利用充分条件，结合不等式性质对B进行判断，利用必要条件的定义对D进行判断，再利用全称量词命题的否定对C进行判断，从而得结论．

【解答】

解：由得，
即，解得，因此A正确；
因为当，时，一定有，所以充分性成立；
当时，如，满足，
但，不成立，即必要性不成立，

因此“，”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；

因为命题p：，，所以，，故C错误；
显然不能推出，但时一定有成立，
“”是“”的必要条件，故D正确．
故选

12.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，函数图象的应用，属于中档题.
根据，画出图象，根据图象写出单调区间与最值，结合选项可得结论.

【解答】

解：令，解得或，
，其图象如图所示，

由图可得，在，单调递增，在，单调递减，
在或处有最大值，且最大值为1，无最小值.
故选项AC错误，BD正确.
故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查并集及其运算，补集及其运算，属于基础题.
由题意，先求出，再由并集的运算法则可得.

【解答】

解：，或，，
又，
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数解析式的求解，本题采用了换元法，函数解析式与表示自变量的字母选择无关．
换元法：令，则，代入表达式即可求出解析式．

【解答】

解：令，则，
所以，
所以，
故答案为 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．
根据题意，讨论a的值，即可求出不等式恒成立时a的取值范围．

【解答】

解：当时，不等式化为，对恒成立，
当时，由题意可得，
即，
解得
综上，实数a的取值范围是
故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的运用及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
先利用基本不等式求出的最小值，再将问题转化为恒成立，解不等式即可得解．

【解答】

解：，b均为正数，
，当且仅当时等号成立，
对任意正数a，b恒成立，即为恒成立，
，即实数x的取值范围是
故答案为：

17.【答案】解：

；


 

【解析】本题考查指数幂的化简求值，考查对数的运算性质，是基础题．
直接利用指数幂的运算性质化简求值；
直接利用对数的运算性质化简求值．
 

18.【答案】解：当时，，

，

故；

由知，

当时，，解得，

当时，，解得，

综上所述，或

【解析】本题考查交集的求法，考查并集定义，考查运算求解能力．
当时，集合，，由此能求出
由，得，当时，，当时，，由此能求出实数a的取值范围．
 

19.【答案】解：当时，有，
不等式即，
即，求得或 ，
不等式的解集为：或
不等式，即，
又，
当时，有，不等式的解集为，
当时，有，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 

【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
当时，不等式即，从而求得它的解集．
不等式，即，分类讨论求得它的解集．
 

20.【答案】解：因为为奇函数，且定义域为，

所以，

即，解得，

又当时，，

对，，
有，

所以满足题意，即a的值为

证明：，且，

，

当时，，，

从而，即，

所以在区间上是增函数．

【解析】本题考查了函数的奇偶性及单调性，函数的定义域与值域，属于中档题.
由，可求得a的值，然后验证可得；
利用单调性的定义证明可得；
 

21.【答案】解：设AN的长为x米，
是矩形，且米，米，
，
 ，
由，得 ，
，
或
长的取值范围是，
令，令，则，

当且仅当，即时取等号．
此时，，最小面积为48平方米． 

【解析】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．
求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；
利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．
 

22.【答案】解：令，得，
的定义域R关于原点对称，
令，得，
即对于定义域内的任意一个x，都有，
是奇函数．
任取实数、且，这时，，

，
时，，，
，
在上是减函数．
故的最大值为，最小值为
而，
在区间上的最大值为12，最小值为 

【解析】本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
令，可得
令，得，即可得出奇偶性．
任取实数、且，可得
，利用时，，即可得出在上的单调性，进而得出最值．