广东省汕头市龙湖实验中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷 （含答案）

这是一份广东省汕头市龙湖实验中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷 （含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
3．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．三角形内角和等于180°
C．两点之间线段最短
D．同位角相等，两直线平行拉杆
4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（　　）

A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
5．已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论不正确的是（　　）

A．∠B＝∠C B．BD＝CD C．AB＝2BD D．AD平分∠BAC
7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝70°，则∠DBC等于（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
8．等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它的底边长为（　　）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
9．如图，DE＝11，FG＝3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．则BD+CE＝（　　）

A．3 B．11 C．7 D．8
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（　　）

A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．八边形从一个顶点出发可以引出　 　条对角线．
12．在平面直角坐标系中，点A（3，﹣6）关于x轴对称的点的坐标是 　 　．
13．如图，点 B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为　 　．

14．如图，是A、B、C三个村庄的平面图，已知B村在A村的南偏西50°方向，C村在A村的南偏东15°方向，C村在B村的北偏东85°方向，则从C村观测A、B两村的视角∠ACB的度数为　 　．

15．如图，D是∠MAN角平分线上一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，连接AD．在射线AN上取一点C，使得DC＝DB，若AB＝7，BE＝2，则AC的长为 　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC．
（1）若∠BAD＝20°，求∠C的度数．
（2）若∠BAC＝78°，则∠C的度数为 　 　（直接写结果）．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，AC＝5．
（1）作图：作AB边的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BF，则△FBC的周长为 　 　（直接写结果）．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝56°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求∠BOA的度数．

20．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
（1）求证：AD是△ABC的角平分线；
（2）若AB＝8，S△ABC＝36，求DE的长．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AB垂直平分DF．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．




参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
B、因为4+5＝9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；
D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
3．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．三角形内角和等于180°
C．两点之间线段最短
D．同位角相等，两直线平行拉杆
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，这一特性主要应用在实际生活中．
4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（　　）

A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
解：A、添加AC＝DF，满足SAS，可以判定两三角形全等；
B、添加∠B＝∠E，满足ASA，可以判定两三角形全等；
C、添加BC＝EF，不能判定这两个三角形全等；
D、添加∠C＝∠F，满足AAS，可以判定两三角形全等；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°＝9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论不正确的是（　　）

A．∠B＝∠C B．BD＝CD C．AB＝2BD D．AD平分∠BAC
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．
∴AD平分∠BAC，
无法确定AB＝2BD．
故A、B、D正确，C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝70°，则∠DBC等于（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠C的度数，再根据垂直的定义不难求得∠DBC的度数．
解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和垂直的定义，此题难度一般．
8．等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它的底边长为（　　）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，
能组成三角形，
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，
不能组成三角形，
综上所述，底边为4．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
9．如图，DE＝11，FG＝3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．则BD+CE＝（　　）

A．3 B．11 C．7 D．8
【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形 的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECG＝∠BCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EGC＝∠ECG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EGC＝∠ECG，
∴BD＝DF，EG＝CE，
∴BD+CE＝DF+EG＝DE﹣FG＝11﹣3＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（　　）

A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1＝OA1＝1，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（），点A3的纵坐标为（）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．
解：∵三角形OAA1是等边三角形，
∴OA1＝OA＝2，∠AOA1＝60°，
∴∠O1OA1＝30°．
在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1＝90°，∠O1OA1＝30°，
∴O1A1＝OA1＝1，即点A1的纵坐标为1，
同理，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，
即点A2的纵坐标为（）1，
点A3的纵坐标为（）2，
…
∴点A2023的纵坐标为（）2022．
故选：B．

【点评】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．八边形从一个顶点出发可以引出　5　条对角线．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线即可得到结论．
解：八边形从一个顶点出发可以引8﹣3＝5条对角线，
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点A（3，﹣6）关于x轴对称的点的坐标是 　（3，6）　．
【分析】利用关于x轴对称点的特征分析得出即可．
解：点A（3，﹣6）关于x轴对称的点的坐标是：（3，6）．
故答案为：（3，6）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的特征，解题时，要注意：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
13．如图，点 B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为　6　．

【分析】根据全等三角形的性质得出BD＝CE＝3，那么DE＝BC﹣BD﹣CE＝6．
解：∵△ABD≌△ACE，BD＝3，
∴BD＝CE＝3，
∵BC＝12，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝12﹣3﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
14．如图，是A、B、C三个村庄的平面图，已知B村在A村的南偏西50°方向，C村在A村的南偏东15°方向，C村在B村的北偏东85°方向，则从C村观测A、B两村的视角∠ACB的度数为　80°　．

【分析】根据三角形的内角和进行计算，即可得到结论．
解：由题意得：∠BAE＝∠ABD＝50°，∠CAE＝15°，∠DBC＝85°，
∴∠BAC＝50°+15°＝65°，∠ABC＝85°﹣50°＝35°，
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC
＝180°﹣65°﹣35°
＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解答此题的关键．
15．如图，D是∠MAN角平分线上一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，连接AD．在射线AN上取一点C，使得DC＝DB，若AB＝7，BE＝2，则AC的长为 　7或11　．

【分析】先证Rt△ADF≌Rt△ADE，得AF＝AE＝9，再分两种情况，①点C在线段AF上，证Rt△CFD≌Rt△BED，得CF＝BE＝2，则AC＝7；②点C′在线段AF的延长线上，证Rt△C′FD≌Rt△BED，得C′F＝BE＝2，则AC′＝11．
解：∵AD平分∠MAN，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，
∴DE＝DF
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝7，BE＝2，
∴AF＝AE＝AB+BE＝7+2＝9，
分两种情况：
①如图，当点C在线段AF上，则∠CFD＝∠BED＝90°，
在Rt△CFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝BE＝2，
∴AC＝AF﹣CF＝9﹣2＝7；
②当点C′在线段AF的延长线上，则∠C′FD＝∠BED＝90°，
同理：Rt△C′FD≌Rt△BED（HL），
∴C′F＝BE＝2，
∴AC′＝AF+C′F＝9+2＝11，
综上所述，AC的长为7或11，
故答案为：7或11．

【点评】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△CFD≌Rt△BED是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS）；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC．
（1）若∠BAD＝20°，求∠C的度数．
（2）若∠BAC＝78°，则∠C的度数为 　34°　（直接写结果）．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠C，从而利用三角形的外角性质可得∠ADB＝2∠C，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝2∠C，然后利用三角形内角和定理∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，进行计算即可解答；
（2）利用利用等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠C，从而利用三角形的外角性质可得∠ADB＝2∠C，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝2∠C，然后利用三角形内角和定理∠BAC+∠B+∠C＝180°，进行计算即可解答．
解：（1）∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠ADB是△ADC的一个外角，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝2∠C，
∵∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴2∠C+20°+2∠C＝180°，
∴∠C＝40°，
∴∠C的度数为40°；
（2）∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠ADB是△ADC的一个外角，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝2∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴78°+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝34°，
故答案为：34°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，AC＝5．
（1）作图：作AB边的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BF，则△FBC的周长为 　5+5　（直接写结果）．

【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）利用直角三角形30度角的性质求出BC，再证明BF＝2CF，利用勾股定理求出CF，BF即可．
解：（1）如图，直线EF即为所求；


（2）∵∠C＝90°，AB＝10，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝5，
∵EF垂直平分线段AB，
∴FA＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠FBC＝30°，
∴BF＝2CF，
∴4CF2＝CF2+52，
∴CF＝，BF＝，
∴△BCF的周长为5+5．
故答案为：5+5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝56°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求∠BOA的度数．

【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠CAE＝28°，再结合AD是BC边上的高，可求得∠CAD＝20°，从而可求∠DAE的度数；
（2）由三角形的内角和定理可求得∠ABC＝54°，再由角平分线的定义可求得∠BAE＝28°，∠ABF＝27°，再利用三角形的内角和定理即可求∠BOA．
解：（1）∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝56°，
∴∠CAE＝28°，
∵AD是BC边上的高，∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝8°；
（2）∵∠BAC＝56°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝54°，
∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝28°，∠ABF＝27°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝125°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
20．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
（1）求证：AD是△ABC的角平分线；
（2）若AB＝8，S△ABC＝36，求DE的长．

【分析】（1）根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质可得DE＝DF，再根据角平分线的判定即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得∠B＝∠C，根据等角对等边可得AB＝AC，再根据线段的和差求解即可．
【解答】证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）如图，连接AD，

∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝18，
∴×AB•DE＝18，
∴4DE＝18，
∴DE＝．
【点评】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AB垂直平分DF．

【分析】（1）由AAS证明△ACD≌△CBF，即可得出结论；
（2）由（1）得CD＝BF，再由CD＝BD，得BF＝BD，则∠ABC＝∠ABF，然后由等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，
∴∠BCF+∠ADC＝90°，
∵∠BCA＝90°，BF∥AC，
∴∠CBF＝180°﹣∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠ADC，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CD＝BF；
（2）由（1）得：CD＝BF，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BF＝BD，
∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ABF，
∵BF＝BD，
∴AB垂直平分DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；

（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　DE　，BC＝　AE　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．


【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，证明△ABF≌△DAM，根据全等三角形的性质得到EN＝DM，再证明△DMG≌△ENG，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，仿照①的证明过程解答．
【解答】（1）解：∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE；

（2）①证明：如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；

②解：如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝4，
解得，BC＝1，OC＝3，
∴点B的坐标为（3，1），
同理，点B′的坐标为（﹣1，3），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3）．


【点评】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．