吉林省实验中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省实验中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
2．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．数0.00005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣4 D．0.5×10﹣4
3．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≠3 D．x≠﹣3
4．一名射击运动员，射靶10次，射击成绩分别为（单位：环）片9，10，8，7，7，8，9，10，9，8，则他射中9环的频率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
5．下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（　　）

A．FH＝HG B．FH＞HG C．FH＜HG D．FH≤HG
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
8．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．169 B．25 C．19 D．13
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9．约分：＝　 　．
10．写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：　 　．
11．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠C＝50°，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF＝　 　．

12．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝　 　cm．

13．已知，则的值为 　 　．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外部，且DA＝DC，连接BD，与AC交于点F．过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，则DE的长为 　 　．

三、解答题：（共78分）
15．计算：2﹣1+（﹣1）0﹣（﹣1）2022．
16．计算：
（1）（）3÷；
（2）﹣．
17．解下列方程：
（1）＝；
（2）．
18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
19．为丰富同学们的课余生活，某校计划举行亲近大自然户外活动，现随机抽取了部分学生进行你最想去的景点是“？”的问卷调查，要求学生必须从A（南湖公园），B（净月潭森林公园），C（长春动植物园），D（北湖湿地公园）四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请完成下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请计算扇形统计图中A（南湖公园）项目的圆心角度数．
20．某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析，在对生活垃圾进行分类时，机器人每小时比人工多分类20桶垃圾．机器人分类120桶垃圾所用的时间与人工分类80桶垃圾所用的时间相同，求机器人每小时能分类多少桶垃圾？
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC的面积．

22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为6km，与公路上另一停靠站B的距离为8km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？

23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA向点A匀速运动，到达点A时停止．设点D运动的时间为t秒．
（1）直接写出边AC的长为 　 　．
（2）用含t的代数式表示CD＝　 　，AD＝　 　；
（3）当△CBD是等腰三角形时，直接写出t的值．

24．先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B） x﹣（2A+B），
由多项式相等的意义可知，
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知＝，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）①计算：[+++…+]（x+11）；
②直接写出使①中式子的值为正整数的所有整数x的值之和．


参考答案
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
解：A、不是，因为22+32≠42；
B、是，因为32+42＝52；
C、不是，因为42+52≠62；
D、不是，因为52+62≠72．
故选：B．
【点评】考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
2．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．数0.00005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣4 D．0.5×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00005＝5×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≠3 D．x≠﹣3
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
解：∵x+2≠0，
∴x≠﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
4．一名射击运动员，射靶10次，射击成绩分别为（单位：环）片9，10，8，7，7，8，9，10，9，8，则他射中9环的频率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【分析】根据频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答．
解：由题意得：
3÷10＝0.3，
∴他射中9环的频率为0.3，
故选：A．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
5．下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
解：A、＝﹣，故A符合题意；
B、＝﹣，故B不符合题意；
C、＝＝，故C不符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（　　）

A．FH＝HG B．FH＞HG C．FH＜HG D．FH≤HG
【分析】由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，过H点作HM⊥PA于M点，如图，根据角平分线的性质得到HM＝HG，则利用垂线段最短得到HF＞HM，所以HF＞HG．
解：由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，
过H点作HM⊥PA于M点，如图，
∴HM＝HG，
∵HF＞HM，
∴HF＞HG．
故选：B．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝AB＝2.5，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．169 B．25 C．19 D．13
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
解：如图，∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是（13﹣1）÷4＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9．约分：＝　　．
【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
解：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了约分，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
10．写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：　内错角相等，两直线平行　．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行．
【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
11．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠C＝50°，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF＝　65°　．

【分析】由于∠A＝∠B，根据三角形的内角和为180°即可求出∠A、∠B的度数，利用余角的性质和平角的定义即可求出∠EDF的度数．
解：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵∠C＝50°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∵DE⊥AC，FD⊥AB，
∴∠AED＝∠FDB＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
∴∠EDF＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质和平角的定义等知识．
12．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝　4　cm．

【分析】先根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DF，
∵△ABC面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，
解得DE＝4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
13．已知，则的值为 　　．
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
解：∵，
∴1+＝2，
∴＝1，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外部，且DA＝DC，连接BD，与AC交于点F．过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，则DE的长为 　6　．

【分析】由DA＝DC，△ABC是等边三角形可得BD垂直平分AC，从而可得∠CBD的度数，由DE∥AB可得△FEC为等边三角形，从而可得∠EDB的度数，进而求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，BA＝BC，
∵DA＝DC，
∴DB垂直平分AC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵DE∥AB，
∴∠FEC＝∠ABC＝60°，
∴△FEC为等边三角形，
∴∠CFE＝∠DFA＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE＝BC﹣CE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题关键是掌握平行线的性质及等腰三角形的判定及性质．
三、解答题：（共78分）
15．计算：2﹣1+（﹣1）0﹣（﹣1）2022．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：2﹣1+（﹣1）0﹣（﹣1）2022
＝+1﹣1
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16．计算：
（1）（）3÷；
（2）﹣．
【分析】（1）先根据分式的乘方进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可．
解：（1）原式＝•
＝；

（2）原式＝﹣
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17．解下列方程：
（1）＝；
（2）．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
解：（1）去分母，得x＝2（x﹣2），
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根；
（2）去分母，得2x＝x﹣3+6，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的增根，原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【分析】利用分式的相应的运算法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：（）÷
＝[]
＝
＝x+2，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+2
＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．为丰富同学们的课余生活，某校计划举行亲近大自然户外活动，现随机抽取了部分学生进行你最想去的景点是“？”的问卷调查，要求学生必须从A（南湖公园），B（净月潭森林公园），C（长春动植物园），D（北湖湿地公园）四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请完成下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请计算扇形统计图中A（南湖公园）项目的圆心角度数．
【分析】（1）根据选B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）用总人数减去其它景点的人数求出C的人数，即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以A的百分比即可求出扇形统计图中A（南湖公园）项目的圆心角度数．
解：（1）66÷55%＝120（人），
∴本次调查的学生人数为120人；
（2）C的人数为120﹣18﹣66﹣6＝30（人），
补全条形统计图如下：

（3）360°×＝54°，
答：扇形统计图中A（南湖公园）项目的圆心角度数为54°．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析，在对生活垃圾进行分类时，机器人每小时比人工多分类20桶垃圾．机器人分类120桶垃圾所用的时间与人工分类80桶垃圾所用的时间相同，求机器人每小时能分类多少桶垃圾？
【分析】设机器人每小时能分类x桶垃圾，则人工每小时能分类（x﹣20）桶垃圾，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合机器人分类120桶垃圾所用的时间与人工分类80桶垃圾所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设机器人每小时能分类x桶垃圾，则人工每小时能分类（x﹣20）桶垃圾，
依题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：机器人每小时能分类60桶垃圾．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以计算出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△ABC的形状，从而可以得到∠BAC的度数；
（2）根据（1）中的得到的△ABC的形状和三角形的面积公式，可以计算出△ABC的面积．
解：（1）由图可得，
AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°；
（2）由（1）△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝，
∴△ABC的面积是：＝＝5，
即△ABC的面积是5．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理可以判断三角形的形状．
22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为6km，与公路上另一停靠站B的距离为8km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？

【分析】（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求CD即可；
（2）利用勾股定理求BD的长，从而得出答案．
解：（1）∵AC＝6km，BC＝8km，AC⊥BC，
∴AB＝＝10（km），
∵S△ABC＝AC•BC＝A•DC，
∴6×8＝10×CD，
∴CD＝（km）
答：修建的公路CD的长为km；
（2）∵CD＝km，BC＝8km，
∴BD＝＝（km），
∴货车由C处途经D处到达B处的总路程为：CD+BD＝+＝（km）．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，运用等积法求高是解题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA向点A匀速运动，到达点A时停止．设点D运动的时间为t秒．
（1）直接写出边AC的长为 　20　．
（2）用含t的代数式表示CD＝　2t　，AD＝　20﹣2t　；
（3）当△CBD是等腰三角形时，直接写出t的值．

【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由题意得CD＝2t，则AD＝AC﹣CD＝20﹣2t，
（3）分三种情况，①CD＝BD时，证BD＝AD，则CD＝AD＝AC，即可求解；②CD＝BC时，CD＝12，即可求解；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，由等腰三角形的性质得CD＝2CF，再由三角形面积和勾股定理分别求出BF、CF的长，即可解决问题．
解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，
∴AC＝＝＝20，
故答案为：20；
（2）由题意得：CD＝2t，则AD＝AC﹣CD＝20﹣2t，
故答案为：2t，20﹣2t；
（3）分三种情况：
①CD＝BD时，∠DBC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC+∠DBA＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠DBA＝∠A，
∴BD＝AD，
∴CD＝AD＝AC，
即2t＝×20，
∴t＝5；
②CD＝CB时，CD＝12，
即2t＝12，
∴t＝6；
③BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
则CF＝DF，
∵AC•BF＝AB•BC，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴CD＝2CF＝，
即2t＝，
∴t＝；
综上所述，当△CBD是等腰三角形时，t的值为5或6或．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B） x﹣（2A+B），
由多项式相等的意义可知，
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知＝，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）①计算：[+++…+]（x+11）；
②直接写出使①中式子的值为正整数的所有整数x的值之和．
【分析】（1）根据方法一先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于A、B的二元一次方程组，求解即可；
（2）裂项求解可得原式＝，由式子的值为正整数知x﹣1＝1、2、3、4、6、12，从而得出答案．
解：（1）等号右边通分、再去分母，得：2＝A（x+1）+B（x﹣1），
即2＝（A+B）x+（A﹣B），
∴，
解得：；
（2）①原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（x+11）
＝（﹣）（x+11）
＝•（x+11）
＝；
②∵式子的值为正整数，
∴x﹣1＝1、2、3、4、6、12，
则x＝2、3、4、5、7、13，
∴2+3+4+5+7+13＝34．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键．