2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角大小（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知平面α，β的法向量分别为，，且α⊥β，则x＝（ ）
A．B．﹣4C．4D．8
3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（ ）
A．B．C．7D．
4．（5分）已知直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y+1＝0互相垂直，则实数a等于（ ）
A．﹣3或1B．1或3C．﹣1或﹣3D．﹣1或3
5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0与圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0的位置关系是（ ）
A．相离B．内含C．相切D．相交
6．（5分）直线l过点M（﹣1，2），且与以P（﹣4，﹣1），Q（3，0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A．[，1]B．[﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，]∪[1，+∞）
7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知F1，F2分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（0，1）C．（1，1）D．（1，1）
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若椭圆C：的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2B．C的长轴长为
C．C的短轴长为2D．C的离心率为
（多选）10．（5分）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△PAB面积的可能取值是（ ）
A．B．2C．4D．6
（多选）11．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60，M为A1C1与B1D1的交点，若，，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．AC1的长为D．cs，
（多选）12．（5分）已知圆M：（x+csθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，直线l：y＝kx．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）经过直线3x﹣2y+1＝0和直线x+3y+4＝0的交点，且垂直于直线x+3y+4＝0的直线方程为 ．
14．（5分）已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|+|F2B|＝14，则|AB|＝ ．
15．（5分）已知动圆P过定点A（﹣3，0），且在定圆B：（x﹣3）2+y2＝64的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为 ．
16．（5分）设P为直线3x﹣4y+13＝0上的动点，PA、PB为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为 ．
四．解答题：本题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知椭圆C：x2+2y2＝2，左、右焦点分别为F1、F2，过点F1，倾斜角为的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C离心率；
（2）求△ABF2的面积．
18．（12分）已知圆C的圆心为（1，0），直线x+y+1＝0与圆C相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点（2，2），被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．
19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点．
（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的正弦值；
（2）求点A1到平面D1AE的距离．
20．（12分）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．
（1）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB＝3，BC＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出，若不存往，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的上顶点为A，经过点（﹣1，﹣1），且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角大小（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【解答】解：设直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π），
则tanθ，∴θ．
故选：B．
【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知平面α，β的法向量分别为，，且α⊥β，则x＝（ ）
A．B．﹣4C．4D．8
【分析】利用面面垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵平面α，β的法向量分别为，，
且α⊥β，
∴2x+x+4＝0，
解得x＝4．
故选：C．
【点评】本题考查代数式求值，考查面面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（ ）
A．B．C．7D．
【分析】先将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论．
【解答】解：由题意，a＝6，直线3x+4y﹣12＝0可化为6x+8y﹣24＝0
∴两条平行直线之间的距离为
故选：D．
【点评】本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y+1＝0互相垂直，则实数a等于（ ）
A．﹣3或1B．1或3C．﹣1或﹣3D．﹣1或3
【分析】由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：∵直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y+1＝0互相垂直，
∴a（a+2）+1×（﹣3）＝0，解得a＝﹣3或a＝1
故选：A．
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0与圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0的位置关系是（ ）
A．相离B．内含C．相切D．相交
【分析】求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系，可得两个圆相交．
【解答】解：由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0），半径等于2，
而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）为圆心，半径等于的圆．
由于两个圆的圆心距为：，2，
故两个圆相交，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．
6．（5分）直线l过点M（﹣1，2），且与以P（﹣4，﹣1），Q（3，0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A．[，1]B．[﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，]∪[1，+∞）
【分析】由题意得 所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ，用直线的斜率公式求出kPM和kMQ的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：∵直线l过点M（﹣1，2），且与以P（﹣4，﹣1），Q（3，0）为端点的线段相交，
∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ，
即k1，或k，
∴k∈（﹣∞，]∪[1，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查恒过定点的直线系以及直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，
AA1，
∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），
B1（1，1，），
（﹣1，0，），（1，1，），
设异面直线AD1与DB1所成角为θ，
则csθ，
∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）已知F1，F2分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（0，1）C．（1，1）D．（1，1）
【分析】利用△ABF2为钝角三角形，判断出AF1＞F1F2，进而推断出2c求得a和c的不等式关系，则离心率的范围可得．
【解答】解：由△ABF2为钝角三角形，得AF1＞F1F2，
∴2c，化简得c2+2ac﹣a2＜0，
∴e2+2e﹣1＜0，又0＜e＜1，
解得0＜e1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是通过挖掘题设信息找到a和c的关系．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若椭圆C：的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2B．C的长轴长为
C．C的短轴长为2D．C的离心率为
【分析】由已知椭圆的焦点坐标即可求出c的值和m的值，进而可以求出a，b的值，然后即可判断选项是否正确．
【解答】解：由已知椭圆的焦点坐标可得：c＝1，
则，解得m＝2，
所以a，b，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2，离心率为e，
故选：ACD．
【点评】本题考查了椭圆的方程和几何性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△PAB面积的可能取值是（ ）
A．B．2C．4D．6
【分析】由题意可知：A（﹣2，0），B（0，﹣2），求出|AB|的长，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线x+y+2＝0的距离，则点P到直线x+y+2＝0的距离的最大值为圆心到直线x+y+2＝0的距离加上一个半径，最小值为圆心到直线x+y+2＝0的距离减去一个半径，再结合三角形面积公式即可求出△ABP面积的取值范围，结合选项得答案．
【解答】解：由题意可知：A（﹣2，0），B（0，﹣2），
则|AB|，
圆（x﹣2）2+y2＝2的圆心为（2，0），半径r，
则圆心（2，0）到直线x+y+2＝0的距离为，
设点P到直线x+y+2＝0的距离为d，
则，，即d∈[，]，
又∵S△ABP，
∴S△ABP∈[2，6]，
即△ABP面积的取值范围是[2，6]，
结合选项可知，△PAB面积的可能取值是2或4或6．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及圆上一点到圆外直线距离的最大值和最小值，是中档题
（多选）11．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60，M为A1C1与B1D1的交点，若，，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．AC1的长为D．cs，
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（），A错误，
对于B，，B正确；
对于C，，则||2＝（）2222+2•2•2•6，则||，C错误；
对于D，••（）2••2，
则cs，，D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间向量基本定理以及空间向量模、夹角的计算，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知圆M：（x+csθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，直线l：y＝kx．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
【分析】根据圆M与直线l恒过定点O，判断选项A正确；
举例说明选项B错误；
根据圆心M到直线的距离d与半径r的关系，判断C正确，D错误．
【解答】解：对于A，圆M：（x+csθ）2+（y﹣sinθ）2＝1恒过定点O（0，0），
直线l：y＝kx也恒过定点O（0，0），
所以直线 l 和圆 M 有公共点，A正确；
对于B，θ＝0时，圆M的方程为：（x+1）2+y2＝1，
此时y轴为圆M过原点的切线，且不存在实数k，B错误；
对于C，圆心M（﹣csθ，sinθ），则圆心M到直线l的距离为
d|sin（θ+φ）|≤1，
所以对任意实数k，必存在实数θ，使直线l和圆M相切，C正确；
对于D，圆心M到直线l的距离为d≤1＜3，所以D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了点到直线的距离与合理运用问题，是中档题．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）经过直线3x﹣2y+1＝0和直线x+3y+4＝0的交点，且垂直于直线x+3y+4＝0的直线方程为 3x﹣y+2＝0 ．
【分析】联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于﹣1，根据直线x+3y+4＝0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．
【解答】解：联立直线方程 ，
①+②×（﹣3）得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入②，解得x＝﹣1，
原方程组的解为：，
所以两直线的交点坐标为（﹣1，﹣1），
又因为直线x+3y+4＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为3，
则所求直线的方程为：y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．
故答案为：3x﹣y+2＝0．
【点评】此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道基础题．
14．（5分）已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|+|F2B|＝14，则|AB|＝ 6 ．
【分析】求得椭圆的a＝5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝10，所以|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，由此可求出|AB|的长．
【解答】解：椭圆1的a＝5，
由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝10，
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，
即|AB|+14＝20，
可得|AB|＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程，主要考查椭圆的定义的运用，属于基础题．
15．（5分）已知动圆P过定点A（﹣3，0），且在定圆B：（x﹣3）2+y2＝64的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为 ．
【分析】设切点为M，根据题意，列出点P满足的关系式即|PA|+|PB|＝|PM|+|PB|＝|BM|＝8．则P点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求P点的轨迹方程．
【解答】解：设动圆P和定圆B内切于点M，
动点P到定点A（﹣3，0）和定圆圆心B（3，0）距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|＝|PM|+|PB|＝|BM|＝8．
∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4的椭圆，
b，
∴点P的轨迹方程为，
故答案为：．
【点评】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程，属于中档题．
16．（5分）设P为直线3x﹣4y+13＝0上的动点，PA、PB为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为 2 ．
【分析】由题意可得四边形的面积等于两个相等的直角三角形的面积，S四边形APBC，由于|PC|的最小值即为圆心到直线3x﹣4y+13＝0的距离，求出圆心到直线的距离即可求得答案．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心C（2，1），半径r＝1，
连接AC，BC，PC，可得PA⊥AC，PB⊥BC，且|PA|＝|PB|，|AC|＝|BC|＝1，
S四边形APBC＝2S△PBC＝2•|BC|•|PB|＝|BC|•，
|PC|的最小值是圆心（2，1）到直线3x﹣4y+13＝0的距离d3，
所以四边形APBC面积的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的切线方程，以及切线的性质，勾股定理和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四．解答题：本题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知椭圆C：x2+2y2＝2，左、右焦点分别为F1、F2，过点F1，倾斜角为的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C离心率；
（2）求△ABF2的面积．
【分析】（1）分别求出a，c的值，求出椭圆的离心率即可；
（2）联立直线和椭圆的方程，求出A，B的坐标，求出三角形ABF2的面积即可．
【解答】解：（1）∵C：x2+2y2＝2，
∴a2＝2，b2＝1，c2＝1，a，c＝1，
∴e；
（2）如图示：
直线AB的方程是：y＝x+1，
由，解得：或，
故2×12．
【点评】本题考查了求椭圆的离心率问题，考查椭圆的性质以及三角形的面积，是基础题．
18．（12分）已知圆C的圆心为（1，0），直线x+y+1＝0与圆C相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点（2，2），被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．
【分析】（1）利用圆心（1，0）到直线x+y+1＝0的距离求解半径，得到圆的方程．
（2）当l斜率不存在时，l的方程为x＝2，判断是否满足题意．
当l斜率存在时，设l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），通过点到直线的距离，转化求解直线方程即可．
【解答】解：（1）圆心（1，0）到直线x+y+1＝0的距离为
∴圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝2．
（2）当l斜率不存在时，l的方程为x＝2，
此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以x＝2；
当l斜率存在时，
设l的方程为y﹣2＝k（x﹣2）⇒kx﹣y+2﹣2k＝0，
则．
所以直线l的方程为
综上：l的方程为x＝2或3x﹣4y+2＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点．
（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的正弦值；
（2）求点A1到平面D1AE的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面D1AE的一个法向量及，利用向量的夹角公式即可得解；
（2）直接利用向量公式求解即可．
【解答】解：以点A作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（2，2，1），D1（0，0，2），A1（2，0，2），
（1）设平面D1AE的一个法向量为，又，
则，则可取，
又，设直线AA1与平面D1AE的夹角为θ，则，
∴直线AA1与平面D1AE的正弦值为；
（2）点A1到平面D1AE的距离为，
∴点A1到平面D1AE的距离为．
【点评】本题考查利用空间向量求线面角的正弦值以及点到平面的距离，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．
（1）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
【分析】（1）求出直线恒过定点M，由两点间距离公式即可求出最大值，由两条直线垂直的充要条件求出直线的斜率，即可得到直线方程；
（2）设直线的方程为y+2＝k（x+1），k＜0，求出|OA|，|OB|，利用三角形的面积公式结合基本不等式求解最小值，从而求出此时k的值，得到直线方程．
【解答】解：（1）∵直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R，
即m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）＝0，
令﹣x+2y+3＝0，可得2x+y+4＝0，求得，
故直线经过定点M（﹣1，﹣2），
当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值为QM2，
此时，QM和直线垂直，直线的斜率为，即，求得m，
此时直线的方程为2x+3y+8＝0；
（2）因为直线经过定点M（﹣1，﹣2），
设直线方程为y+2＝k（x+1），k＜0，
则|OA|，|OB|＝|k﹣2|，
所以S△AOB，
因为k＜0，
则4，
当且仅当，即k＝﹣2时取等号，
所以△AOB面积的最小值为4，此时直线的方程为y+2＝﹣2（x+1），即2x+y+4＝0．
【点评】本题考查了直线方程的综合应用，直线恒过定点问题的求解，两点间距离公式的应用，两条直线垂直的充要条件的应用，直线方程的点斜式的运用以及利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB＝3，BC＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出，若不存往，请说明理由．
【分析】（I）过C点作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC、CD＝2且OD，由勾股定理的逆定理证出OC⊥CD．利用面面垂直的性质与线面垂直的性质，证出PO⊥CD，结合线面垂直判定定理即可证出CD⊥平面POC；
（II）设CD的中点为F，连结OF，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O﹣xyz．可得C、D、P、O各点的坐标，从而可得、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出（3，1，0）为平面P0D的一个法向量
，同理求出平面PCD的一个法向量为（，，1）．利用空间向量夹角公式算出、夹角的余弦值为，即可得到二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值；
（III）设侧棱PC上存在点M且λ，使得BM∥平面POD．算出向量（﹣λ，﹣λ+1，2λ），根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到•0，解出，由此即可得到在侧棱PC上存在点M，当时满足BM∥平面POD．
【解答】解：（I）平面ABCD内，过C点作CE⊥AD于E
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝1，AB＝2，AD＝3，∴AE＝1，CE＝2
Rt△CDE中，DE＝2，可得CD2
∵Rt△BOC中，BOAB＝1，BC＝1，∴OC
同理，得OD
∴OD2＝10＝OC2+CD2，可得△OCD是以CD为斜边的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵PA＝PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，结合CD⊂平面ABCD，得PO⊥CD
∵PO、OC是平面POC内的相交直线，∴CD⊥平面POC；
（II）设CD的中点为F，连结OF，则直线OB、OF、OP两两互相垂直，
分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，如图所示
则C（1，1，0），D（﹣1，3，0），P（0，0，2），
可得（0，0，2），（﹣1，3，0），
设（x，y，z）为平面P0D的一个法向量，则，
取y＝1，得x＝3且z＝0，得（3，1，0）
同理求出平面PCD的一个法向量为（，，1）
∵cs，
∴二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值等于；
（III）设侧棱PC上存在点M，使得BM∥平面POD，此时λ，则
∵（1，1，﹣2），（0，1，0）
∴λ（﹣λ，﹣λ，2λ），可得（﹣λ，﹣λ+1，2λ），
∵BM∥平面POD，（3，1，0）为平面P0D的一个法向量
∴•3λ﹣λ+1＝0，解之得
因此，侧棱PC上存在点M，当时满足BM∥平面POD．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直、求二面角的余弦值并探索线面垂直的存在性．着重考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的上顶点为A，经过点（﹣1，﹣1），且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
【分析】（1）根据椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即求直线AP与AQ的斜率之和．
【解答】解：（1）由题意知，
解得a，b＝1，
所以椭圆方程为．
（2）证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x+1）﹣1（k≠2），
代入．得（1+2k2）x2+4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，
由已知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则x1+x2，x1x2．
从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ
＝2k2．
所以直线AP与AQ的斜率之和为2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式的应用，考查计算能力、转化思想，属于中档题．
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