2022新疆生产建设兵团第十师北屯高级中学高二上学期期中考试数学（文）试题含解析

北屯高级中学2021-2022学年高二年级期中考试

文科数学

一、选择题：共12小题，每题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若，则“”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 圆的圆心到直线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（    ）

A  B.  C.  D.

5. 现要完成下列三项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②高二年级有1500名学生，为调查学生的学习情况，抽取一个容量为150的样本；③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中，抽取45户进行消费水平调查.其中较为合理的抽样方法是（    ）

A. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

B ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

D. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

6. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

7. 在边长为4的正三角形内任取一点，则点到三角形三个顶点的距离均大于1的概率为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

8. “”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ）

A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，众数为0

C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：总体均值为1，中位数为1

11. 在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于概率是（    ）．

A.  B.  C.  D.

12. 往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在区间上随机取一个数，则满足不等式的概率为________.

14. 甲、乙两人随机去，，三个景点旅游参观，每人只去一个景点，则两人去同一景点的概率为______.

15. 一束光线从点出发经轴反射到圆上，光线的最短路程是_________．

16. 下列说法中，正确的序号是____________

①若“”为假命题，则与均为假命题；

②在中，“”是“”的必要不充分条件；

③若命题：ョ，，则命题：，；

④“”的一个必要不充分条件是“”．

三、解答题：第17题10分，第18～22题每题12分，解答应在答题卡的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在长为的线段上任取一点，现作一矩形邻边长分别等于线段，的长，该矩形面积大于的概率为多少？

18. 甲、乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示.

（1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数；

（2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率.

19. 求经过点，且与直线和都相切圆的方程.

20. 有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．

21. 求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边．

22. 根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：

（1）建立关于的线性回归方程；

（2）预测该村居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．

北屯高级中学2021-2022学年高二年级期中考试

文科数学

一、选择题：共12小题，每题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若，则“”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.

【详解】解：因为当时，成立，

反之时，或，

所以“”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A

2. 经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由于所求直线与直线垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程

【详解】因为直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线的斜率为，

因为所求直线经过点，

所以所求直线方程为，即，

故选：C

3. 圆的圆心到直线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先由圆一般方程求出其圆心坐标，然后由点到直线的距离公式即可求得.

【详解】解：圆圆心坐标为.

点到直线的距离.

故选：A.

4. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出基本事件的总数以及所取两数均为偶数包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.

【详解】从中抽取两个数基本事件有：

共种，

所取的两个数均为偶数的有，共种，

所以所取两数均为偶数的概率为，

故选：A.

5. 现要完成下列三项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②高二年级有1500名学生，为调查学生的学习情况，抽取一个容量为150的样本；③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中，抽取45户进行消费水平调查.其中较为合理的抽样方法是（    ）

A. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

D. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】总体中的个体数较少用简单随机抽样，总体中的个体数较多用系统抽样，总体由差异明显的几部分组成的样本用分层抽样.

【详解】对①，总体中的个体数较少，故用简单随机抽样；

对②，总体中的个体数较多，故用系统抽样；

对③，总体由差异明显的几部分组成，故用分层抽样.

故选：D.

6. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分析即得解

【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，

故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件．

故选：A

7. 在边长为4的正三角形内任取一点，则点到三角形三个顶点的距离均大于1的概率为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先求得边长为4的正三角的面积，分别以三个顶点为圆心，以1为半径作扇形，再求得除去三个扇形剩下的部分的面积,利用几何概型的概率公式求解.

【详解】边长为4正三角的面积为，

分别以三个顶点为圆心，以1为半径作扇形，除去三个扇形剩下的部分,

即表示点P到三角形三个顶点的距离均大于1的区域面积为：，

所以点到三角形三个顶点的距离均大于1的概率为，

故选：A

8. “”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可.

【详解】若直线：与直线：平行，则，可得.

当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意.

所以“直线：与直线：平行”等价于“”.

所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.

故选：C

9. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用两点关于直线对称可求得圆心的坐标，进而可得出圆的方程.

【详解】记点，设圆心的坐标为，则，可得，

线段的中点在直线上，则，即，

所以，，解得，即圆心，

因此，圆的方程为.

故选：A.

10. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ）

A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，众数为0

C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：总体均值为1，中位数为1

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用平均数、中位数、众数的定义及计算公式，对四个选项逐一分析判断即可．

【详解】解：对A：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，4，4，4，4，6，8，
∴A不正确；

对B：∵平均数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，
∴B不正确；

对C：∵中位数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，2，2，3，3，3，8，
∴C不正确；

对D：假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x，x≥8，而总体平均数为1，则过去10天新增疑似病例数据中至少有7个0，故中位数不可能为1，
所以假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志，

∴D正确；

故选：D.

11. 在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于的区域，进而根据面积比求概率.

【详解】由题意知：若两个数分别为，则，

如上图示，阴影部分即为，

∴两数之和小于的概率.

故选：C

12. 往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】设正方体的棱长为a， 外接球的半径为R，易知，然后由恰有m个点落入该正方体内概率为求解.

【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为，

正方体的体对角线长为，

设外接球的半径为R，

所以，则，

所以外接球的体积为，

所以恰有m个点落入该正方体内概率为，

解得，

故选：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在区间上随机取一个数，则满足不等式的概率为________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】解不等式得出实数取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】解不等式得，

，因此，所求概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式求事件的概率，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

14. 甲、乙两人随机去，，三个景点旅游参观，每人只去一个景点，则两人去同一景点的概率为______.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】求出基本事件的总数，以及甲乙两人去同一景点包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解.

【详解】甲、乙两人随机去，，三个景点旅游参观，每人只去一个景点，

基本事件有：

， ，，

， ， ，

， ，共有个，

两人去同一景点基本事件有，，共有个，

所以两人去同一景点的概率为，

故答案为：.

15. 一束光线从点出发经轴反射到圆上，光线的最短路程是_________．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为（圆的半径），计算求得结果.

【详解】由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，

如图：

所以，

因此最短路径的长.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查反射定理的应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

16. 下列说法中，正确的序号是____________

①若“”为假命题，则与均为假命题；

②在中，“”是“”的必要不充分条件；

③若命题：ョ，，则命题：，；

④“”的一个必要不充分条件是“”．

【16题答案】

【答案】①②③

【解析】

【分析】由或的真值表可判断①；运用充分必要条件的定义，可判断②、④；运用命题的否定可判断③．

【详解】若“”为假命题，则与均为假命题，故①正确；

在中，“”不一定推得“”，比如，，

反之成立，则在中，“”是“”的必要不充分条件，故②正确；

若命题，，则命题，，故③正确；

“”推不出“”，反之成立，故④错误；

故答案为： ①②③

三、解答题：第17题10分，第18～22题每题12分，解答应在答题卡的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在长为的线段上任取一点，现作一矩形邻边长分别等于线段，的长，该矩形面积大于的概率为多少？

【17题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设，则面积，利用面积大于列式解得，再根据几何概型，用长度比可得结果.

详解】设，则，

所以矩形的面积（）

依题意可得：当时，解得

而实际，所以由几何概型可得所求概率为：．

【点睛】本题考查了几何概型，利用长度比求概率，属于基础题.

18. 甲、乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示.

（1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数；

（2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率.

【18题答案】

【答案】（1）甲组成绩的中位数为，乙组成绩的众数；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据茎叶图中的数据可甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数.

（2）利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】（1）甲组共有7名学生的成绩，其中位数为.

乙组成绩中，出现次数最多，故众数为.

（2）90分以上的学生共计5人，其中来自甲组有2人，

设为“随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组”，

则.

19. 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.

【19题答案】

【答案】或.

【解析】

【分析】设所求圆的标准方程为，根据直线和都与圆相切得出、之间的等量关系，然后利用点A到圆心的距离等于圆心到直线的距离可求出、的值，进而得出圆的半径，由此可得出所求圆的方程.

【详解】设所求圆的标准方程为，

由于直线和都与圆相切，则，

则或，可得或.

①若，则圆的方程为，该圆过点，

则，整理得，该方程无解；

②若，则圆的标准方程为，该圆过点，

则，整理得，解得或，

当时，；当时，.

综上所述，所求圆的标准方程为或.

【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般利用待定系数法求解，注意结合题中条件列方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.

20. 有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．

【20题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由题可得两个人离开的所有可能结果及两人同层离开的结果，再利用古典概型概率公式及对立事件的概率公式计算可得.

【详解】每个人自第二层开始在每一层离开电梯的可能结果都是10种，两个人共有种可能，

其中2人在相同楼层离开的结果有10种，故2个人在相同楼层离开的概率为，

所以2个人在不同层离开的概率为．

21. 求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边．

【21题答案】

【答案】详见解析

【解析】

【分析】先证明充分性，然后证明必要性.

【详解】先证明充分性：

由，

即，

所以，

所以，三角形为等边三角形.

然后证明必要性.

当三角形是等边三角形时，，所以.

综上所述，是等边三角形的充要条件是.

【点睛】本小题主要考查充要条件的证明，需要证明充分性和必要性，属于基础题.

22. 根据国际疫情形势以及传染病防控经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：

（1）建立关于的线性回归方程；

（2）预测该村居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．

【22题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）本题首先可以求出、，然后求出、，即可求出关于的线性回归方程；

（2）本题可设，数列的前项和为，然后根据等差数列求和公式得出，最后求出、，即可得出结果.

【详解】（1），，

则，，

故关于的线性回归方程.

（2），

设，数列的前项和为，易知数列是等差数列，

则，

因为，，

所以预测该村居民接种新冠疫苗需要天.

【点睛】关键点点睛：本题考查线性回归方程的求法以及实际应用，能否根据表中数据求出、是 解决本题的关键，考查等差数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.