广东省佛山市石门高级中学2022-2023学年高一上学期第一次统测数学试题（含答案）

这是一份广东省佛山市石门高级中学2022-2023学年高一上学期第一次统测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
3．已知，则“”是“”的（ ）．
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ）．
A．B．C．D．
5．已知，则的最小值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
6．已知，，则t和s的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，二次函数的图像开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图像大致是（ ）．
A．B．C．D．
8．若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知集合，，若，则实数a的值可能是（ ）．
A．B．0C．1D．2
10．已知函数，则关于函数的结论正确的是（ ）．
A．的定义域为RB．的值域为
C．D．若，则x的值为
11．设，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A．B．C．D．
12．下列命题正确的是（ ）．
A．，
B．若，且，则的最小值是9
C．，则
D．是的充要条件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为______．
14．的最大值是______．
15．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的人数为______人．
16．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，则的面积取最大值时，的长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
已知二次函数．
（1）画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）；
（2）求不等式的解集．
18．（本小题满分12分）
已知集合，．
（1）若，求；
（2）若实数m，使得“”是“”成立的______，求实数m的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
已知，，且．
（1）求的最大值，以及取最大值时x、y的值；
（2）求证：．
20．（本小题满分12分）
某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入，假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）．
（1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；
②纯利润最大时，以8万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求m的值，使函数的值城为；
（2）当时，求不等式的解集．
22．（本小题满分12分）
设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：．
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I．
石门高级中学2022-2023学年度第一学期
高一年级数学科第一次统测试题参考答案
选择题
三、填空题
13．（或）
14．515．316．
四、解答题
17．解：（1）二次函数，即的图象如图所示：
由图象，可知．
说明：图像应体现关键点，，，．
（2）∵不等式，
∴当时，，由图像可知，；
当时，，由图像可，；
∴不等式的解集为．
18．解：（1），
时，．
所以．
（2）∵
逸①“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以．
经检验“＝”满足．所以实数m的取值范围是．
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件，
所以B是A的真子集．
所以．
经检验“＝”满足．所以实数m的取值范围是．
19．解：（1）由基本不等式，得，
则，得．
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，取最大值时，．
（2）
，
当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立．
20．解：（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第3年起开始盈利．
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最大值32，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润
∴当时，y取得最大值256，此时该项目共获利 （万元）．
以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年，
所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
21．解：（1）的值域为，则不能是一次函数，，
所以函数为二次函数，其图象为开口向上的抛物线且其顶点刚好在x轴上，
所以且，解得．
（2）由，
解得，，
①当时，抛物线开口向上，，
解不等式，可得；
②当时，解不等式可得；
③当时，抛物线开口向上，，
解不等式，可得．
综上，当，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
22．解：（1）．
（2）交换律：，证明如下：
依题意，设，，则，
又，
∴．
（3）若A中的元素，，都有立，
则由（2）知只需成立，
设，即，则，
当时，显然有成立，即元素I为A中任意元素，
当时，则，解得，
因此当，都有成立时，得，
反之，当时，，设，
，
所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，
元素．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
B
D
A
D
C
ABC
BD
AD
ABC