【重难点全掌握】人教版数学六年级上册 第5讲《圆》讲义（知识梳理+典型例题+举一反三+巩固提升）

第5讲 圆

知识点一：圆的认识

1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2.一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。
3.在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4.在同圆或等圆中，r= d或d=2r。

知识点二：圆的周长及圆周率的意义

1. 测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2. 圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3. 圆的周长的计算公式：C=πd或C=2πr。      
知识点三：圆的面积公式的推导及应用

1. 圆的面积计算公式是：S＝πr²。
2. 求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

知识点四：圆环的面积

圆环面积的计算方法：如果用R表示外圆半径，r表示内圆半径，S表示圆环的面积，则：S＝πR2－πr2或S＝π(R－r)2。

知识点五：圆与正方形组合的面积问题的应用

1.“外方内圆” 图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
2.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点六：扇形的认识

1．扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分。
2. 顶点在圆心的角叫做圆心角。

3.圆心角的度数：在同一个圆中，圆心角越大，扇形越大。圆心角相同的扇形，半径越长，扇形越大。

4.扇形的大小与半径的长短和圆心角的大小有关。

考点一：圆的认识

【例1】如图这个圆的半径是1cm，现在以A点为起点，向右滚动一周至B点．请在直线上标出B点的大概位置．（直线上每段长度为1cm）

1. 在每个图形下面填写上图中的数学信息。

2. 如图所示，公园的人工湖上建了一个风车形的小岛，已知小岛中间是边长为20m的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形，整个小岛的面积是多少平方米？绕这个小岛走一圈是多少米？

3. 如图，钟表半径为R，上方有一个小圆，半径为r，此时，小圆中的箭头恰好朝向正上方，且大圆与小圆相切于12点处。若将小圆按顺时针旋转，当箭头再次朝上时，此时的大圆与小圆相切于4点处，求大圆与小圆的半径满足怎样的关系？

考点二：圆、圆环的周长

【例2】如图，在一个周长是31.4cm的圆里画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？

1. 求如图阴影部分的周长。（π取3.14）

2. 比赛场馆中的一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是 　   　厘米。

3. 一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形，根据所给数据求出这个运动场的周长。

考点三：圆、圆环的面积

【例3】如图，李大伯家有一块圆形菜地，周长是18.84米，这块菜地的半径是多少米？他想在菜地周围加宽2米，加宽后的菜地面积比原来多多少平方米？

1. 某小学校园建“开心农场”，用31.4米的篱笆靠墙围出了两个完全相同的半圆形菜园，这两个半圆形菜园的占地面积是多少平方米？

2. 如图，阴影部分的面积是60平方厘米，求环形的面积。

3. 下图是一个圆形花坛的平面图，现在设计师要在圆形花坛的周围修一条宽是1厘米的环形小路，请你帮他画出这条小路，并用阴影表示出来。并计算出环形小路的面积。

考点四：扇形的认识和扇形的面积

【例4】下面图形中各有一个角，如果是圆心角，在对应的（　　）里画“√”。

1. 画一个半径是1.5cm的圆，再在图中画一个圆心角是120°的扇形．

2. 下面图形中哪些角是圆心角？在括号里画“√”。

3. 如图，已知OC＝4cm，OD＝2cm；∠AOC＝60°，求阴影部分的面积．

一．选择题（共5小题）

1．钟面上分针长5厘米，分针尖端在60分钟内所走过的路程是（　　）厘米。

A．31.4 B．50.24 C．12.56

2．如图，将半径为R的圆形纸片剪拼成近似长方形后，长方形的周长是（　　）

A．2πR+2R B．2πR C．πR+R D．πR+2R

3．用一条长80cm的彩带围成下面三种图形，面积最大的是（　　）

A．圆 B．正方形 C．长方形

4．用一个边长是10厘米的正方形纸片剪一个最大的圆，这个圆的直径是（　　）厘米。

A．10 B．5 C．20

5．下面图形中（　　）是圆心角。

A． B． 

C．

二．填空题（共5小题）

6．如图，O是大圆的圆心，点O在小圆上，小圆直径是大圆直径的 　   　，小圆周长是大圆周长的 　   　，小圆面积是大圆面积的 　   　。

7．一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，周长增加了 　   　厘米。

8．为什么草原上蒙古包的底面是圆形的？请你试着从数学的角度解释一下。 　   　

9．下面图形中有一个圆、一个正方形和一个三角形被遮住了一部分。推理出图①是 　   　，图②是 　   　，图③是 　   　。

10．把一个半径10厘米圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为90度的扇形，这个涂色部分面积是 　   　平方厘米。（结果保留π）

三．判断题（共5小题）

11．若半圆的半径是5厘米，则半圆的周长是15.7厘米。 　   　

12．圆心角相等的两个扇形一样大。　   　

13．有甲、乙两个扇形，甲的圆心角比乙的大，所以甲的面积一定比乙的面积大。 　   　

14．圆形的井盖是利用圆上的点到圆心的距离处处相等制造的。 　   　

15．小圆的半径是4cm，大圆的半径是5cm，小圆面积是大圆面积的。 　   　

四．计算题（共2小题）

16．请求出图形阴影部分的面积。（单位：cm）

17．计算下面图形的周长。

五．应用题（共4小题）

18．一个圆形花圃周长是18.84米，现在要扩建，将半径增加它的，花圃周长增加了多少米？

19．为了奖励阿凡提的机智勇敢，国王给阿凡提一根长314米的绳子，让他用这根绳子圈一块圆形土地，圈出的土地奖给他。阿凡提最多能圈一块多少平方米的土地？

20．圆的面积公式我们现在还没有学习，你能用我们学过知识，计算如图所示图形面积吗？依据图形的运动写出你的解题思路，再计算这个图形的面积。

21．爷爷晚饭后绕着一个直径100米的圆形广场散步，走了5圈，一共走了多少米？

一．选择题（共5小题）

1．美术老师用彩色卡纸制作了一个2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”，制作时需要把一个直径4厘米的圆形纸片剪成两个半圆，这两个半圆的周长和是（　　）厘米。

A．10.28 B．12.56 C．16.56 D．20.56

2．如图所示。一个半径8m的圆形花坛，周围有一条2m宽的小路。这条小路的占地面积是（　　）m2。

A．64π B．28π C．4π D．36π

3．关于平面图形，下列叙述中正确的有（　　）句。

（1）射线只有一个端点；

（2）三角形任意两边之和大于第三条边；

（3）长方形是特殊的平行四边形；

（4）直径是圆内最长的线段。

A．1 B．2 C．3 D．4

4．用下面哪种方法可以得到一个圆？（　　）

A．用小棒摆 B．在钉子板上围 

C．绕圆柱的底面画

5．如所示四幅图中，图_____中实线围成的图形是扇形。（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题）

6．把一个草绳编织而成的圆形茶杯垫片沿着半径剪开，将一圈一圈的草绳展开后依次拉直平铺，形成了一个近似的三角形。已知这个三角形的底是18.84厘米，则这个圆形茶杯垫的面积约是 　   　平方厘米。

7．在同一圆中，扇形的大小与这个扇形的　   　的大小有关．

8．从9：00到9：15，分针旋转了 　   　度，若分针长6厘米，这根分针针尖走过的长度是 　   　厘米，扫过的面积是 　   　平方厘米。

9．战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到 　   　的距离相等，也就是同一个圆的 　   　都相等。

10．是圆的画“√”。

　   　、　   　

三．判断题（共5小题）

11．两个圆的面积相等，这两个圆的周长也一定相等。 　   　

12．《周碑算经》中“周三径一”的意思是圆的周长约是它的半径的3倍。 　   　

13．圆有无数条对称轴，圆的对称轴是它的直径，而一个半圆却只有一条对称轴。 　   　

14．圆的周长与直径的比值叫做圆周率是3.14。 　   　

15．用4个圆心角是90°的扇形可以拼出一个圆。 　   　

四．计算题（共2小题）

16．计算下面图形的周长和面积。

17．计算下面圆环的面积。（单位：cm）

五．应用题（共4小题）

18．玉碧是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一。有一种形式是光素无纹的素面璧，如图所示的素面璧外圆半径是8cm，内圆直径是6cm，厚0.4cm。这块玉璧正面的面积是多少？（计算时，厚度忽略不计）

19．一种零件的横截面是一个圆环，外圈半径是8dm，内圈半径是6.5dm，这种零件横截面的面积是多少平方分米？

20．为了更好地关爱留守儿童，“红马甲”志愿者组织留守儿童开展了“幸福营养站”“天使助手”“幸福课堂”“健康义诊”等一系列关爱活动。在幸福课堂上，志愿者和孩子们在下面的活动场地（如图）开展了一场趣味运动会。

（1）这个活动场地的面积是多少平方米？

（2）小志沿这个活动场地的四周跑了3圈。他一共跑了多少米？

21．已知一个正方形的周长是40cm，在这个正方形中内接一个最大的圆（如图），这个圆的周长是多少厘米？（最后结果保留一位小数）

一．选择题（共5小题）

1．（2022春•泗阳县期末）下面语句表述正确的是（　　）

A．长方形、正方形、等腰梯形、圆和平行四边形都是轴对称图形 

B．半径2cm的圆，面积和周长相等 

C．一个分数的分子与分母是不同的质数，这个分数一定是最简分数

2．（2022春•新邵县期末）小圆半径是5厘米，大圆半径是6厘米，小圆的周长是大圆周长的（　　）

A． B． C． D．

3．（2022•大冶市）如图，长方形铁片与（　　）中的圆搭配能做成圆柱（单位：cm）。

A． B． C． D．

4．（2022•淅川县）下列图形中，阴影部分不是扇形的是（　　）

A． B． C． D．

5．（2022春•丰县期末）下面哪幅图描述了“周三径一”？（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

二．填空题（共5小题）

6．（2022•麒麟区）如图所示，大圆直径为6cm，如果让小圆从点A沿着大圆的内侧滚动一周回到点A，那么小圆的圆心移动的长度是 　   　cm。

7．（2022春•青岛月考）一个正方形的周长和一个圆的周长相等。已知正方形的边长是3.14厘米，那么圆的半径是 　   　厘米。

8．（2022•潢川县）一个圆环的外圆半径是10cm，内圆半径是8cm，圆环的面积是 　   　平方厘米。

9．（2022春•泰山区期中）扇形是由两条 　   　和一段 　   　围成的。

10．（2022•沁阳市）画一个直径是8cm的圆，圆规两脚间的距离是 　   　cm。

三．判断题（共5小题）

11．（2022•定州市）把一个直径是4厘米的圆切成2个半圆，每个半圆的周长是6.28厘米。 　   　

12．（2022•内乡县）用两根同样长的铁丝，分别围成一个圆和一个正方形，正方形的面积比较大。 　   　

13．（2021秋•大埔县期末）圆的直径是一条直线，半径是一条射线。 　   　

14．（2022•遵义模拟）任意四个圆心角是直角的扇形可以拼成一个整圆。 　   　

15．（2022春•太原期末）将一张圆形纸片对折两次，就能得到一个圆心角是90°的扇形。 　   　

四．计算题（共2小题）

16．（2021秋•邢台期末）如图中大圆的半径是小圆的直径，请你计算下面图形阴影部分的面积。

17．（2021秋•宣恩县期末）求如图中阴影部分的周长。（单位：厘米）

五．应用题（共4小题）

18．（2022•三水区）有一个边长为4厘米的等边三角形，现将它按如图所示顺时针滚动，请问B点从开始到结束，滚动的轨迹总长度是多少厘米？

19．（2022春•新邵县期末）公园里有一个圆形的花圃，直径是8米，在花圃的周围修一条1米宽的石子路，这条石子路的面积是多少平方米？

20．（2022春•郏县期末）一个圆形养鱼池周长是94.2米，中间有一个圆形小岛，小岛的半径是3米。这个养鱼池的水域面积是多少平方米？

21．（2022•东城区）如图所示，依墙而建的“畜禽饲养舍”围成半圆形，其直径为5米。建这个“畜禽饲养舍”需要多长的篱笆？