中职数学高教版（2021）基础模块下册7.3 平面向量的内积教案及反思

课程名称

数学

课题名称

7.3 平面向

量的内积

课时

2

授课日期

任课教师

谢春霞

目标群体

14级五高汽车工程系2,3,4班

教学环境

理论课堂

学习目标

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.利用向量的内积研究有关问题奠定基础.

职业通用能力目标：

培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．

制造业通用能力目标：

通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的意识,及学习数学的爱好.

学习重点

平面向量数量积的概念及计算公式.

学习难点

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

教法.学法

教法：讲授为主，学生自主预习为辅。

学法：直观学习法、练习、讨论

教学媒体

课件，教材

教学.

学习准备

教师：准备课件、学生练习的资料

学生：教材、练习册

教学

环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

时间

 情景引入 

新知

探索

例题

练习

新知识

例题

练习

小结

作业

创设情境 兴趣导入

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？

【新知识】

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则

i + y j ，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500 （J）

           图7－22

这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

如图7－23，设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>．

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

   a·b＝｜a||b|cos<a,b> 　　　　　　　 (7.10)

上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.

由内积的定义可知a·0＝0, 0·a＝0．

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

1.当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝时，a·b＝−|a||b|.

2.cos<a,b>＝.

3.当b＝a时，有<a,a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝.

4.当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：

（1）          a·b＝b·a．

（2）          ()·b＝(a·b)＝a·(b)．

（3）          (a＋b)·c＝a·c＋b·c．

例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝,求a·b．

解  a·b＝|a||b| cos<a,b> ＝3×2×cos＝3．

例2 已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．

解  cos<a,b>＝＝＝−.

由于                0≤<a,b>≤，

所以                    <a,b>＝．

*运用知识 强化练习

设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以

a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)

   ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j

＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2

＝ x1 x2＋ y1 y2．

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

      a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　   　        (7.11)

利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则

，即                            

由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，

  cos<a,b>＝＝.       (7.13) 

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.

由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．

因此ab x1 x2＋ y1 y2＝0．　　　　  　(7.14)

例3 求下列向量的内积：

（1）          a＝ (2,−3), b＝(1,3)；

（2）          a＝ (2, −1), b＝(1,2)；

（3）          a＝ (4,2), b＝(−2, −3)．

解  (1)  a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；

(2)  a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；

(3)  a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．

例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．

解          a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5；

|a|＝；

|b|＝；

cos<a,b>＝＝，

所以                      <a,b>＝．

例5  判断下列各组向量是否互相垂直：

(1) a＝(−2, 3),　　b＝(6, 4)；

(2) a＝(0, −1),　　b＝(1, −2)．

解  (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．

(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．

*运用知识 强化练习

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

   a·b＝｜a||b|cos<a, b>                     (7.10)

a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上投影的乘积．

继续探索 活动探究

(1)读书部分：阅读教材

(2)书面作业：教材习题7.3  A组（必做）；7.3  B组（选做）

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