高教版（中职）基础模块下册8.4.5 直线方程与圆的方程应用举例教案

*揭示课题

8．4 圆（二）

*创设情境 兴趣导入

【知识回顾】

我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图8-21）：

（1）相离：无交点；

（2）相切：仅有一个交点；

（3）相交：有两个交点．

并且知道，直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别（如图8-22）：

（1）：直线与圆相离；

（2）：直线与圆相切；

（3）：直线与圆相交.

介绍

讲解

说明

质疑

引导

分析

了解

思考

思考

带领

学生

分析

启发

学生思考

0

15

*动脑思考 探索新知

【新知识】

设圆的标准方程为

        ，

则圆心C(a，b)到直线的距离为

．

 比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系．

讲解

说明

引领

分析

思考

理解

带领

学生

分析

30

*巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例6  判断下列各直线与圆的位置关系：

⑴ 直线,  圆；

⑵ 直线, 圆．

解　⑴ 由方程知，圆C的半径，圆心为．

圆心C到直线的距离为

,

由于，故直线与圆相交．

⑵  将方程化成圆的标准方程，得

．

 因此，圆心为，半径．圆心C到直线的距离为

,

即由于，所以直线与圆相交．

【想一想】

 你是否可以找到判断直线与圆的位置关系的其他方法？

*例7  过点作圆的切线，试求切线方程．

分析   求切线方程的关键是求出切线的斜率．可以利用原点到切线的距离等于半径的条件来确定．

 解  设所求切线的斜率为，则切线方程为                          ，

即      ．

圆的标准方程为

，

所以圆心，半径．

圆心到切线的距离为

，

由于圆心到切线的距离与半径相等，所以

          ，

解得        ．

故所求切线方程（如图8-23）为

      ，

即   或．

 说明  例题7中所使用的方法是待定系数法，在利用代数方法研究几何问题中有着广泛的应用．

【想一想】

能否利用“切线垂直于过切点的半径”的几何性质求出切线方程？

说明

强调

引领

讲解

说明

引领

讲解

说明

观察

思考

主动

求解

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

50

*运用知识 强化练习  

1．判断下列直线与圆的位置关系：

⑴ 直线与圆；

⑵ 直线  与圆；

⑶ 直线与圆．

2．求以为圆心，且与直线相切的圆的方程．

提问

巡视

指导

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

60

*巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例8  从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（−8，3）（如图8−24）．求反射点P的坐标．

                           图8−24

【说明】

光反射时，入射角等于反射角，即.

解  已知反射点P在x轴上，故可设点P的坐标为(x，0)．由于入射角等于反射角，即∠NPQ＝∠QPN.设直线PM的倾斜角为，则直线NP的倾斜角为．所以

  ，

即        ，

解得      ．

故反射点P的坐标为．

例9 某施工单位砌圆拱时，需要制作如图8－25所示的木模．设圆拱高为1m，跨度为6 m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱子长度（精确到0.1m）．

解  以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，建立直角坐标系，则点E的坐标为（1，0）, 圆心C在y轴．

设半径为r，则

即

解得

．

所以圆心为（0，−4），圆的方程为

将x＝1代入方程（取正值）得

答  E点的柱子长度约为0.9 m.．

图8−25

引领

讲解

说明

引领

分析

讲解

说明

说明

强调

思考

主动

求解

观察

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

70

*运用知识 强化练习

1．光线从点M（−2，3）射到点P（1，0），然后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程

2．赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标系求出其拱圆的方程．

3．某地要建造一座跨度为8米，拱高为2米的圆拱桥，每隔1米需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度(精确到0.01m)．

提问

巡视

指导

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

80

*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题：

如何判定直线与圆的位置关系？

结论：

直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离与半径的关系来判别：

（1）：直线与圆相离；

（2）：直线与圆相切；

（3）：直线与圆相交.

质疑

归纳强调

回答

及时了解学生知识掌握情况

85

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

引导

回忆

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

判断直线与圆的位置关系？

提问

巡视

指导

反思

动手

求解

检验

学生

学习

效果

89

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题8.4  A组（必做）；8.4  B组（选做）

(3)实践调查：寻找圆与直线的关系在生活中的应用

说明

记录

分层次要求

90

项目

反思点

学生知识、技能的掌握情况

学生是否真正理解有关知识；

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生的情感态度

学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生思维情况

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作；

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生实践的情况

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；