最全圆锥曲线中点差法进阶篇（33页）

这是一份最全圆锥曲线中点差法进阶篇（33页），共33页。教案主要包含了至此可知，定点显然是等内容，欢迎下载使用。
 点差法进阶篇
对称点点法差法vs点的斗转星移
例　(1) 椭圆的两个顶点为，，与y轴平行的直线交椭圆于、时，求证：与交点的轨迹方程是：．
(2) 双曲线的两个顶点为，，与y轴平行的直线交双曲线于、时，求证：与交点的轨迹方程是：．

证明　如图，以椭圆为例进行证明，设与交点为，由于，利用对称点点差法可得：

即．
注　这两个小题经常在解析几何大题中出现，轨迹方程的求解很简单，但是，范围的限制不能遗漏，尤其对于双曲线，多了的限制．可参考例题之2010广东理．

例　(2010广东理)已知双曲线的左、右顶点分别为，点、是双曲线上不同的两个动点．
(1) 求直线与交点的轨迹E的方程；
(2) 若过点的两条直线和与轨迹E都只有一个交点，且，求h的值．
分析　此题有坑，有两个坑，第一个坑是第一问的轨迹的范围限制不能遗漏，第二个坑就是第一个坑的基础上继续挖的坑．整体来说，此题想得满分很难！！
解　(1) 法一　交轨法求轨迹，实质还是消参法
直线的方程为…①，直线的方程为…②
由①×②得：，即为．
因为点P、Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点、均不重合．故点和均不在轨迹E上，即．
过点及的直线l的方程为，联立，解得，所以直线l与双曲线只有唯一交点，故轨迹E不经过点，同理，轨迹E也不经过点．
【由于直线和的渐近线是平行的，故只有一个交点！！】
综上分析，轨迹E的方程为，且．
(2) 情形一　和均与轨迹E相切，此时，恰好就是蒙日圆，显然有．
设过点的直线为，与联立：．
令得：，设此方程的两个根分别为、，由于，故，解得．
情形二　和中的一条过或，另一条与轨迹E相切．
设过点的直线为，与联立：．
令得：…①
当过点和H，则直线的斜率为，由于，则，即…②
由①②解得：．同理，当过点和H，而与轨迹E相切时，亦有．
情形三　和分别过或，均不与轨迹E相切．
过点、分别引直线、通过y轴上的点，且使，因此，，由，得．此时，、的方程分别为与，它们与轨迹E分别仅有一个交点与.
综上所述，符合条件的h的值为，或．
注　对于上述的情形一、二也可采用如下方法进行求解：
情形一　若、与椭圆相切时，由于椭圆关于y轴对称，且，则与的斜率分别为1和． 又过点，则直线的方程为 与联立：，由于直线与椭圆相切，故，即，解得,(舍去)．
情形二　当过点，与轨迹E相切时，设切点为，则有：
…①，…②，…③，
联立①②③解得：．同理，当过点和H，而与轨迹E相切时，亦有．

炫技法　设直线与的交点为，由于，故，即为，即为．

例　已知点和圆，AB是圆O的直径，M、N分别是AB的三等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB于D，，直线PA与BE交于C，当 时，为定值．
解　；根据题意可知，点C的轨迹是以M、N为焦点，A、B为顶点的椭圆，其方程为．
设，则，，利用对称点点差法可知：
，
易解得．

例　已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于E、F两点，直线AE、AF分别与y轴交于M、N两点．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 以MN为直径的圆是否过定点？若经过，写出定点的坐标，若不存在，请说明理由．
略解　，易知，即，即，利用相交弦定理，显然，过定点．

例　(2009江西理)已知点为双曲线（b为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为A，连接并延长交y轴于．
(1) 求线段的中点P的轨迹E的方程；
(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点，直线QB、QD分别交y轴于M、N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．

解　(1)，，直线为：，令，可得，
设，则，即，代入，可得，此即为线段的中点P的轨迹E的方程．
(2) 利用双曲线的第三定义，亦即对称点点差法：，即，【至此可知，定点显然是】
设以MN为直径的圆与x轴的交点为，根据相交弦定理可得：，即，即，因此，以MN为直径的圆所过的两个定点是和．

拓展　关于此类圆过定点的题型，以下是两种常见的模式：
(1) 左图是以第三定义为背景，此时有：，即．
设，则根据圆幂定理得：，即，因此，以MN为直径的圆恒过定点和，其中．
(2) 右图是以弦PQ过定点，则直线AP、AQ的斜率积为定值为背景，此时有：
，
即，后续分析同上，相关证明方法，参见接下来的章节即可．


例　设椭圆的左顶点，离心率，过点的直线交椭圆于B、C两点，直线AB、AC分别交直线于M、N两点．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 以线段MN为直径的圆是否过定点，若是，求出所有定点的坐标；若不是，请说明理由．
答案　(1) ；(2)．

例　直线与椭圆交于A、B两点，点C在x轴上，且AC⊥x轴，直线BC与E交于点D．若AB⊥AD，则E的离心率为( 　 )．
A． B． C． D．

解　选B；设，则，，由于，又，故，即，即，故选B．

题源1　(2011江苏理)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
(1) 若直线PA平分线段MN，求k的值；(2) 当时，求点P到直线AB的距离d；
(3) 对任意，求证：PA⊥PB．

解　(1)由于 ，，故M、N的中点为，故．
(2) 由可解得，，，因此，直线AC为：，故点P到直线AB的距离．
(3) 利用分析法证明：设，，则，，等价于求证，
利用对称点点差法，可知，进而等价于求证，即求证，由于，，显然有，故得证．

题源2　(2012湖北文理)设A是单位圆上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足(且)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(2) 过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H． 是否存在m，使得对任意的，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
解　(1) 如图1，设，，由(且)可得，结合，可得：(且)．
因此，当时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，且焦点坐标为、；
当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为、．

(2) 如图2、3，假设PQ⊥PH，则，利用对称点点差法，可知，进而可得，设，则，，，，故，结合，可解得．

例　已知椭圆C的方程为，设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O、x轴的对称点分别为A、Q，且，若直线AD与椭圆C的另一个交点为B，试判断直线PA、PB是否互相垂直，并说明理由．

略解　不妨假设PA⊥PB，此时，设，则．
由于，故，直线AB的方程为：，令可得：，故，因此，直线PA、PB不垂直．

例　已知椭圆的离心率为，且过点．设M是椭圆C上的一点，P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的对称点， N为椭圆C上异于点M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E．
(1) 求椭圆C的方程；(2) 当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

解　(1)；(2)设，则，，，则，故直线QN的方程为：…①
又直线PT的方程为：…②，联立①②解得：，又，可得，因此，动点E的轨迹方程为．
注　对于第(2)问的一般情况是：．

例　(2009福建理)已知A、B 分别为曲线与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T．
(1) 若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
(2) 如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O、M、S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

解　(1) 此小问看上去很简单，但是有坑，估计会有同学被题目中的配图所误导，而只考虑图中给出的一种情况！
当曲线C为半圆时，，同时，由于点T为圆弧的三等分点，故或．
当时，，故，可得；同理，当时，可得．综上所述，点S的坐标为或．
(2) 法一　先分析转化，题目实质就是求解：当a为何值时，直线SM恒过定点O？．
设直线AT为：，可得，又，故直线SM的方程为：，代入，可得，结合，可解得．
因此，存在，使得O、M、S三点共线． 【此法设k为参数，其他未知都向k靠拢！】
法二　此问实质还是点差法结论的应用，此处给出一个炫技法！假设存在a，使得O、M、S三点共线，根据第三定义可得：，即．

一般情况　已知椭圆，A、B是椭圆的左右顶点，直线，点P为C上异于A、B的动点，直线AP交于点M，过点M作PB的垂线，则直线过定点．

证明　设，直线与x轴交于点，则
，
易解得，故直线过定点．

练习　在平面直角坐标系xOy，已知椭圆过点，其左右焦点分别为、，离心率为．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 若A、B分别是椭圆E的左右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．
(i) 求证：为定值；
(ii) 设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问直线MQ是否过定点，并说明理由．
答案　(1) ；(2)(i) 定值为4；(ii) 定点为．

练习　已知椭圆，A、B是椭圆的左右顶点，C、D是椭圆的下上顶点，直线，点P为C上异于A、B的动点，直线PA、PD的斜率之比为非零常数，直线CP交直线于点M，过点M作PB的垂线，则直线过定点．


例　(2015南京二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线与椭圆E相交于A、B两点，，C、D是椭圆E上异于A、B的两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N，连结MN．
(1) 求a、b的值；(2) 求证：直线MN的斜率为定值．

解　(1) ，，故；
(2)①当直线DA、DB、CB、CA的斜率都存在时，，，设，，由点差法可得：，即，
继续展开：，两式相减可得：．
②当直线DA、DB、CB、CA的斜率有不存在的时候，，，不妨假设直线CA的斜率不存在，则，设，，
此时，仍然可以利用点差法得到：，可得．
综上①②所述，直线MN的斜率为定值．
背景　补全自极三角形！不妨假设直线AB、CD相交于点P，则△PMN为自极三角形，设，则极点P对应的极线MN为：，显然，极线MN的斜率为．
















对称点点法差法vs斜率和积商vs定点
1. 斜率和二次曲线上定点之间的关系
过二次曲线上一定点M做两条直线交于A、B两点，两条直线的斜率分别为，且满足：，则直线AB恒过定点．

2. 高中常见的类型
(1) 椭圆　过椭圆上任一点引两条弦PA、PB，
①若，则直线AB恒过定点．
②若，则直线AB恒过定点．
(2) 双曲线　过双曲线上任一点引两条弦PA、PB，
①若，则直线AB恒过定点．
②若，则直线AB恒过定点．
(3) 抛物线　过抛物线上任一点引两条弦PA、PB，
①若，则直线AB恒过定点．
②若，则直线AB恒过定点．

3. 特例：斜率和为零　
过圆锥曲线上任一点引两条弦PA、PB，若直线PA、PB的斜率互为相反数，即，则直线AB的斜率为定值，定值为点P处切线斜率的相反数．
例如，对于椭圆，则；对于抛物线，则．

背景　根据结论：圆锥曲线上的四点共圆，则斜率互补！！（可参见后面的四点共圆专题）
如图所示，则有，当C、D两点不断接近，直至重合为一点P时，则即为椭圆在点P 处切线的斜率，即．

4. 椭圆和双曲线vs抛物线　
上述种种结论，对于椭圆和双曲线，利用“对称点点差法”的套路即可轻松处理，而对于抛物线，利用“抛物线的中点斜率公式＋抛物线的两点式方程”即可轻松处理，具体参考前面的抛物线的两点式方程章节．


例　已知椭圆上有一点，点M、N也在椭圆C上，且满足，求证：直线MN过定点．
分析　由于，联想到对称点点差法的结论，可以猜测直线MN过的定点是原点．
证明　设，，则，又，
故，展开：，
由③－④可得：；又直线MN的方程为：，即为：，显然，直线MN过定点．
注解版　设，，，（补出点A关于原点的对称点），
利用点差法易得：，即．
同理可得：（对于直接用替换中的即可）
又，故（交叉相乘）
①展开：，②展开：．
（对于④，同样直接用替换③中的即可，不需要重复计算！）
由③－④可得：，又直线MN为：，代入⑤可得：，显然，直线MN过定点．
注　(1)交叉相乘的目的　①是为了凑出直线的两点式方程中的“、”；毕竟，此法的本质就是利用直线的两点式方程！！ 【①是最本质的目的，②不过是附带的效果！】
②是为了简化运算；上面的交叉相乘是为了方便下面直接替换，简化运算！
(2)计算量说明　此法的计算量，主要集中在“展开＋作差”这两步，因此，一定要细心！同时，虽然展开的式子看上去很庞大，一大串，但是，计算量实际并不大，而且，一旦熟练此法，要远远比传统的韦达定理方法快速很多！！
(3)书写技巧　要熟练直线的两点式方程的书写，以及纵横截距公式的书写；同时，在展开的时候，向直线两点式方程中的元素形式靠拢，即写成“、”的形式．

例　(2017全国Ⅰ理)已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆C上.
(1) 求C的方程；
(2) 设直线l不经过点且与C相交于A、B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．
解　(1) 根据椭圆的对称性，易知点、、在椭圆C上，易求得C的方程为．
(2) 设，，则，故，展开：，作差可得：…J
又直线AB为：，和J类比，显然，直线AB过定点．

例　(2009辽宁文压轴、理)已知椭圆C过点，两个焦点为，．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解　(1) ；(2) ．
法一　常规韦达定理法＋替换的技巧
设直线AE为：，与椭圆联立：，设，则，即，．
又直线AF、AE的斜率互为相反数，设，以替换k，可得：，．
因此，直线EF的斜率，即直线EF的斜率为定值．

法二　对称点点差法
设，，由变形可得：．
又，故，展开可得：，两式相减，并整理可得：，显然．

例　在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，　 ．
解　设椭圆在点A处的切线斜率为，则，…，易得到，利用上述结论，显然．

例　在圆上有一点，点E、F是y轴上两点，且满足，直线PE、PF交圆于C、D两点，则直线CD的斜率是 ．
法一　知道背景的话，显然，直线和CD的斜率就是点P处切线斜率的相反数，由于圆在点P处的切线为，因此，．
法二　既然是圆，和圆有关的题目，一般都可以利用几何法，此题也不例外！
作点P关于y轴的对称点，由可知，故Q是的中点，进而可得CD⊥OQ，因此，．

例　设点A、B分别为椭圆的左、右顶点，设为过椭圆右焦点的直线，其与椭圆交于点P，过l上一点Q（位于点P上方）作直线AQ、BQ分别交椭圆于点M、N，直线MN交x轴于点C，过点P作斜率互为相反数的直线PR、PS分别交椭圆于点R、S，直线RS交x轴于点D，交y轴于点I，若，且（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为 ．

解　易知极线对应的极点为，故．
由于，故直线RS的斜率为椭圆在点P处切线斜率的相反数，易知椭圆在点P处的切线方程为：，故，易解得．
注　此题是利用结论拼凑的题；上述的背景结论都可以利用点差法进行证明．

例　(2015陕西理)如图，椭圆经过点，且离心率为.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P、Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．

解　(1) ．
(2) 法一　常规方法，设直线法＋韦达定理法
设直线PQ为，与椭圆联立：，设，，，则，，故直线AP与AQ的斜率之和为：
．
法二　设点法，即对称点点差法
设，，…①，同理可得：…②．
设，则由①②可得：，展开：，两个式子相减可得：…③，
又直线PQ过点，可得：，即，代入③中，，由于，故，得证．
注　也可以借助比例的性质如下书写：，即
，
又直线PQ的方程为，代入，则有，故．

例　在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，两个顶点分别为，，点，且，过点M斜率为的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．
(1) 求椭圆E的方程；(2) 若BC⊥CD，求k的值；
(3) 记直线BC，BD的斜率分别为，求证：为定值．

解　(1) ；
(2) 既然k可求，那么点C的坐标必定也可求，C的坐标含有两个未知数，因此，只要找到两个相关方程求解即可，显然，其中一个方程是椭圆方程，再利用斜率关系构造另一个方程即可求解．
设， ，（舍去），点C在x轴上方，故，．
(3) 法一　利用对称点点差法
设，，设定值为t，则
，
作差可得：，又，代入消去，易解得．
法二　利用定比点差法＋对称点点差法
设，，，利用定比点差法，…，易得：，故
．

变式　将上述第(3)问换成：记直线AD，BC的斜率分别为，求证：为定值．

法一　显然是利用点差法作的马甲，由上述第(3)问知，显然．
法二　无视第三定义，利用韦达定理，则是典型的非对称问题，利用和积公式套路之即可．
法三　无视第三定义，继续利用对称点点差法，具体过程同上面类似，故略．
法四　利用定比点差法，也很简单，具体过程同上面类似，故略．
法五　利用斜率比值模型，可速得答案：，更多参见后续极点极线专题．

例　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率，点A、B分别是椭圆C的左、右顶点，椭圆C上一点S到点的距离的最大值为4，过点作斜率为的直线l交椭圆C与M、N两点，点M在x轴上方．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线AM、BN、AN、BM的斜率分别是，求的最小值．
解　(1) 由于，即，故椭圆C的方程为：．
设，则，
当时，，故，解得；
当时，，故，此时无解；
故椭圆C的方程为；
(2)先利用套路证明出（或者证明），又，故
，
当且仅当取得等号．

练习　在平面直角坐标系xOy中，已知点在椭圆上，且离心率为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 不过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A、B两点（不与点P重合），且线段AB的中点为D，直线OD的斜率为1，记直线PA、PB的斜率分别为，求证：为定值．

略解　(1) ；
(2) 设，，由于，故，即…J．
由于，设，则，展开可得：，作差可得：
，
结合J式，可得，故，即．

例　如图，已知椭圆的离心率为，A、B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．
(1) 求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值；(2) 求三角形APQ的面积S的最大值．

解　(1)，易得．
(2) 设，，则，故，展开：…J，
又直线PQ为：，对比J式，易得直线PQ过定点．
因此，设直线PQ为：，与椭圆联立：，
故，令，
则，的开口向下，且对称轴，故在，即时取得最大值为．
注　对于此题，利用套路，定点是很容易得到的！但是，对于面积的求解，估计会有同学卡主，尤其是习惯于利用均值不等式的同学，估计会想方设法凑均值，但是，此题的面积不能用均值，显然，取等条件就是直线斜率不存在的情况！
此外，注意面积公式的选取，不能混淆的，利用面积切割的话，就用不到弦长公式，估计会有的同学，粗心将写出．

例　(2014辽宁理)圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为．
(1) 求的方程；
(2)椭圆过点P且与有相同的焦点，直线l过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．

解　(1) 设切点，切线上任一点为，则，代入数据，结合，解得切线方程为：，【这是圆上任意一点的切线的推导套路！】，
进而可得三角形的面积为，又，故，当且仅当时取等号，因此，点P的坐标为．
由题意知，解得，故方程为．
(2) 法一　此问比较简单，显然，先转化为，然后设直线，结合韦达定理计算即可．
易得为，显然，l斜率不为0，故设l的方程为，，，
直线l和联立：，则，由于直线l过的右焦点，故必有．
由，得：，
由题意可知，即，【注意式子的展开技巧，同时不建议使用点乘双根的算法！】
即，代入数据整理得：，解得或，因此直线方程为或.
法二　分析条件，易知，显然也可以利用对称点点差法处理，不过利用对称点点差法只能得到一条直线，结合法一可知，漏了一个解，即忽略了“点P可以在直线AB上，亦即点P可以和点A或点B重合”．
当点P和点A或点B重合时，满足题设条件，由，，可得直线l为：．
当点P不和点A或点B重合时，则PA⊥PB，易知直线PA、PB的斜率都存在且不为0，故．
设，，则，故，展开可得：，
两式相减可得：…①，【由此式，也可以得到直线AB过定点】，又直线AB过点，可得：…②，
把②代入①可得：，进而可得直线l为：．
综上所述，直线方程为或.
注　从此例可以看出，对称点点差法的使用还是有风险的，如果对题目的条件分析不彻底，就会造成漏解！

例　定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率e相同，称这两个椭圆相似．
(1) 判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；
(2) 若椭圆与椭圆相似，求a的值；
(3) 设动直线与(2)中的椭圆交于M、N两点，试探究：在椭圆上是否存在异于M、N的定点Q，使得直线QM、QN的斜率之积为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1) 由于，故相似；(2) 由，解得；
(3) 椭圆，设，，，．
由于，故，展开可得：
，
两个式子作差可得：…①
注意到直线l过定点，利用纵截距公式：…②
根据题意，①②类比，必有，又，因此，当时，解得；当时，解得.

两个曲线点差
例　已知椭圆，圆，椭圆的右端点为A，过A作斜率为的直线与椭圆的另一个交点为B，过A作斜率为的直线与圆的另一个交点为C，若．
试问：BC是否恒过某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
分析　此题如果按照常规思路求解，思路很简单，联立方程，利用韦达定理，解出B、C的坐标．但是，此法计算量会很大．

略解　设椭圆的左顶点为，则，又，故，因此，B、C、D三点共线，亦即BC恒过定点．
注　其实，我第一次做此题之时，还是尝试利用的点差法变形：
设，，，则，．
故，即为，即，如果继续作差是行不通的！但是，如果对横截距公式熟悉的话，会惊喜的发现：，即直线BC过定点，恰好是椭圆的另一个端点．


练习　(2015杭州二中高三仿真考)如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆都过点，且椭圆与的离心率均为．
(1) 求椭圆与椭圆的标准方程；
(2) 过点M引两条斜率分别为的直线分别交于点P、Q，当时，问直线PQ是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

略解　(1) 椭圆为：，椭圆为：；
(2) 设，则，又，故，因此，P、Q、N三点共线，亦即直线PQ恒过定点．

例　如图，椭圆的短轴长为2，点P为上顶点，圆，将椭圆C的长轴三等分，直线与椭圆C交于A、B两点，PA、PB与圆O交于M、N两点，
(1) 求椭圆C的方程；(2) 求证：△APB为直角三角形；
(3) 设直线MN的斜率为n，求证：为定值．

略解　(1) ；(2) 直译即可，具体过程略！
(3) ；对于此问，显然是韦达定理的常见模型，求坐标加替换即可解决，具体过程此处略；此题通过尝试，发现对称点点差法也可以行得通，不过，此法纯属娱乐，考试还是通法先行．
由(2)知△AMN为直角三角形，故MN为直径，即点M、N关于原点对称！故设，，，， 则
…①
利用点差法变形，再算一次：
…②
由①②消去，整理可得：，即．
注　对于第(3)问，利用上述方法，也可以推导得到一般情况：．

例　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，椭圆，A为椭圆的右顶点，过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆交于B、C两点，直线AB与圆O的另一个交点为P，直线AC与圆O的另一个交点为Q，设直线AB、AC的斜率分别为．
(1) 求的值；(2) 当点B恰为线段AP中点，求的值；(3) 求证：为定值．

分析　(1)显然是点差法的结论；(2)(3)两问是共点双直线模型的应用，求交点计算即可，因此，可以利用倒斜率直线方程＋韦达定理，按部就班计算即可，具体过程此处略；
此处给出另法，注意到，如果把椭圆移走，此时，会发现PQ也是过定点的！
解　(1) ；(2) ；
(3)连接PQ，设，，由于，又，故
，即，
作差可得：，利用横截距公式，显然，直线PQ过定点．
过点B、C分别作BE∥PQ，CF∥PQ，且交x轴于点E、F．利用对称性可知：，进而易得．因此，．

例　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，椭圆，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B、C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB、AC的斜率分别为．
(1) 求的值；
(2) 记直线PQ、BC的斜率分别为，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q．

解　(1) ；
(2) 设，，…①，
注意到，即，即…②，利用①凑出②的形式即可！
为了凑出②中的、，只能如下两两结合：，即，继续结合②式，只能采取相加：，故．
(3) 设直线AC和圆O的交点为，结合上题可知，易证得直线恒过定点，由于直线PQ也过定点D，故Q和重合，亦即直线AC必过点Q．
隐形的点差
例　(2006湖北文压轴、理)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设P为右准线上不同于点的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．

解　(1) ；(2) 设，，则“点B在以MN为直径的圆内”就等价于求证．
法一　最常规方法， 设直线MN
设出直线MN的方程为，然后利用直线AM和BN的交点为P，求出t、m之间的关系，然后把都整理成t或m的式子，再判断符号即可．
法二　设点P＋韦达定理解坐标
既然思路是要把整理成单变量的式子，显然，还有一个动点P，如果设点，利用直线PA和椭圆联立，A点坐标已知，利用韦达定理可以直接得到点M的坐标，同理，也可以得到点N的坐标．然后，将坐标代入整理成关于t的式子，再判断符号即可．
法三　对称点点差法
设，，利用直线AM和BN的交点为P，易得到关系式：，观察分析此式，显然可以利用点差法变形，当然不能盲目变形，结合所证：，因此，需要令，则有，即，
故．
法四　从补角入手，这是一个很常用的思路
在法二的基础上，设点，求出点M的坐标，然后等价于证明：，这样就不必计算点N的坐标，减少了计算量，具体过程略．
注　①法三实际上和2010江苏那题作法类似；②法四的补角思想，在2015湖南高考题（直线和双圆锥曲线专题）也用到了．

例　已知圆，过圆心M且垂直于y轴的直线与圆M交于点E、F，点P为直线上的动点，直线PE、PF与圆M的另一个交点分别为G、H（GH与EF不重合），求证：直线GH过定点．
分析　易知此题的背景是极点极线问题，不妨先借助背景求出定点．设点，则直线GH为点P关于圆M的极线方程，即为，即，易知此方程恒过定点．
此题比较特殊一点，圆心不在原点，但是，并不影响点差法的功效，按照套路，打一遍点差法即可．

解　易得，，设，，．
由E、G、P三点共线：，即…①
由F、H、P三点共线：，即…②
由①②可得：…③，又，故…④
③④展开，作差整理可得：

又直线GH的方程为，显然，直线GH恒过定点．
注　上述中的“”，即为，又回到了点差法的套路上．

例　已知椭圆的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．

略解　(1) ；
(2)法一　根据对称性，不妨设，利用韦达定理，易求得、，故
，
其中，又在上单调递增，故，进而，当且仅当，即时取得最大值．
法二　可以先利用点差法，证明直线PQ恒过右焦点，再设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立：，故
，
其中，又在上单调递增，故，进而，当且仅当，即时取得最大值．

例　已知椭圆的左、右焦点分别为，点为短轴的一个端点，．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 如图，过右焦点，且斜率为的直线l与椭圆C相交于D、E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AD分别交直线于点M、N，线段MN 的中点为P，记直线的斜率为．试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

解　(1) ；(2) ．注意到直线不是右焦点对应的准线！！
此题，利用“设线法＋韦达定理”即可求解！设直线l为，联立方程，后略．
法一　令，则直线l的方程为：，与椭圆方程联立：，设，，则，．
直线DA的方程为：，令可得点，同理可得．
故，即．
法二　对称点点差法
由法一可知：，观察此式，会发现含有点差法的变形元素，因此，可以尝试利用点差法求解，即，即，作差可得：
…J，
由D、E、三点共线得：，代入J整理得：，即．
法三　定比点差法＋对称点点差法　
利用定比点差法易得：，，故
．
注　①想到如此变形的原因也很简单，由于，如果仅仅通过计算“”，显然计算的结果是在上方的，必须要结合点差法变形，把变形到分母的位置，这样才能消去！
②利用定比点差法也可以推广到一般情况．

练习　已知为椭圆的左、右焦点，过椭圆右焦点斜率为的直线l与椭圆C相交于E、F两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线于点M，N，线段MN的中点为P，记直线的斜率为，求证为定值．
答案　(1) ；(2) 

对称点差法的使用技巧总结
估计在学完点差法的套路之后，部分同学会陷入一个误区，就是看到斜率的和差积商关系，就想去尝试利用点差法，此想法是不可取的，要从本质上去理解点差法的使用技巧！
通过前面的套路训练，不难发现点差法的一个常见使用规律：很多时候都可以归结于圆锥曲线上的三个点，即一个定点和两个动点，而且，在单圆锥曲线中，很多时候可以构成轮换，便于计算！

例　如图，椭圆长轴的端点为A、B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且，．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解　(1) ；
(2) 法一　常规韦达定理法
设，，由于，，则，又MF⊥PQ，故．
设直线PQ为：，与椭圆联立：，则，．
又MP⊥FQ，故，即，解得或（舍去），经检验符合条件，故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为．
法二　对称点点差法
设，，由于，，且MF⊥PQ，故，，即．
易知直线MP、MQ的斜率存在且不为0，故，欲使得点F恰为△PQM的垂心，则，即，作差可得：
，
代入，可得，即直线PQ的纵截距为，因此，存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为．

例　如图，在直角坐标系xOy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B，点M为线段AB的中点，且．
(1) 求椭圆的离心率；(2) 已知，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC，记直线AD、BC的斜率分别为，求证：为定值．

解　(1) ；
(2) 法一　 设线法＋韦达定理求交点模型
直线AD为，与椭圆联立：，则，即，，即点，同理可得点．
又，即，整理可得：，故．
法二　 设点法＋对称点点差法
若，则椭圆为，，，设，，由于AB∥DC，故，即…J
由于，设，则，即，作差可得：，代入J可得：，显然，，即为定值．
法三　 设点法＋中点点差法
若，则椭圆为，，，设，，由于AB∥DC，故，即…①
又，作差得：，即…②
由①②解得：，故．

中点点差法vs定点
结论　已知椭圆，过焦点且互相垂直的直线分别与椭圆相交于点A、B和点C、D，若AB、CD的中点分别为M、N，求证：直线MN过定点．
证明　当直线和中的有一条直线斜率不存在时，易知中点M、N都在x轴上，故直线MN所过的定点，必定在x轴上．
设，，由于直线MN为：，故只须求证：当直线和的斜率都存在时，横截距为定值即可．
利用中点点差法易得：，故，①②展开：，
由③－④，可得：，显然横截距，故直线MN过定点．

例　已知椭圆右焦点，离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD中点分别为M、N．
(1) 求椭圆的方程；(2) 证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3) 若弦AB、CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．

解　(1) ；
(2) 当直线AB或CD的斜率为0时，易知M、N都在x轴上，故定点必在x轴上；当直线AB、CD的斜率均不为0时，设直线AB、CD的方程分别为：、．
直线AB和椭圆方程联立：，设，，则，，即点，利用替换t，可得点N的坐标为．
①当直线MN的斜率不存在时，令，解得，此时直线MN过点．
②当直线MN的斜率存在时，由于，，故M、N、Q三点共线，亦即直线MN恒过定点；
综上所述，直线MN恒过定点．
(3) ，其中，利用对勾函数的性质（须借助导数），易知当，即时，△FMN面积取得最大值为．

练习　已知椭圆，过点分别作斜率为、的椭圆动弦AB、CD，设M、N分别为线段AB、CD的中点，若，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
分析　这题如果用常规方法，计算量是比较大的，但是，利用中点点差法，就可以轻松破解，同时，注意解题的严密性，利用中点点差法时，一定不要忘记讨论斜率为0和不存在两种情况！！
解　设，，当时，利用中点点差法：，故
，即，
作差可得：，利用纵截距公式，显然直线MN过定点．
当或时，直线MN为y轴，亦过定点．
综上所述，直线MN恒过定点．

例　已知抛物线，过点作两条直线交抛物线于点A、B、C、D，M、N分别为弦AB、CD的中点．
(1) 若，求证：直线MN过定点；(2) 若AB⊥CD，求△PMN面积的最小值．

解　(1) 设，，易知直线AB、CD的斜率存在且不为0，故，，又，即，故
，即，
作差可得：，显然，直线MN过定点，
(2) 由于，故，又，，因此，
，
即△PMN面积的最小值为4，当且仅当或时取得等号．

练习　动圆P过定点且与直线相切，圆心p的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
(1) 求曲线C的方程；(2) 求证：直线MN必过定点；
(3) 分别以AB、CD为直径作圆，求两圆公共弦中点H的轨迹方程．
解　(1) ；(2) 设，，，，则直线AB、CD的方程分别为：、，代入点F可得：．
设，则，又，因此，
，即，
作差可得：，即直线MN必过定点．
(3) 以AB为直径的圆为：，即为：
…①
同理，以CD为直径的圆为：…②
结合，由①－②可得两圆公共弦的方程为：
，
显然，此公共弦方程过原点O，因此，两圆公共弦中点H的轨迹方程是以OT为直径的圆，即为．

例　如图，椭圆E：＝1的右焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．
（Ⅰ）求证：直线MN恒过定点T，并求出T的坐标；
（Ⅱ）求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并判断定点T与轨迹的位置关系．

【解答】解：（Ⅰ）∵F(1，0)，不妨设AB的斜率存在且不为零，
设AB：y＝k(x－1)
∴⇒(1＋2kx^(2))x^(2)－4k^(2)x＋2k^(2)－2＝0
∴同理
MN直线的方程为：＝
变形分析可得：MN过定点当AB的斜率不存在或为零时
同样MN过定点∴． （7分）
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为：＝0①（9分）
同理以CD为直径的圆N的方程为：＝0②（11分）
①－②得公共弦直线方程为＝0③又MN直线方程＝④
由③、④消去k得两圆公共弦中点的轨迹方程为：（15分）＝0∴点T在圆上．