二轮复习教案：圆锥曲线

这是一份二轮复习教案：圆锥曲线，共12页。教案主要包含了高考大纲要求，复习目标，基础知识再现，二轮复习建议，2015年高考预测，典型例题精讲等内容，欢迎下载使用。
考试内容回顾
2014年高考，各地试题中圆锥曲线内容在全卷的平均分值为16.9分，占11．3％；近几年以来，圆锥曲线内容在全卷的平均分值为19.3分，占12.9％．因此，占全卷近1/7的分值的圆锥曲线内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对圆锥曲线内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考圆锥曲线试题一般共有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计18分左右，考查的知识点约为12个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到圆锥曲线知识和向量的方法，这一点值得强化w
二、高考大纲要求
(一)圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
5. 理解数形结合的思想
三、复习目标
1.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
2．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
3．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
四、基础知识再现
(一)圆的有关问题
1.圆的标准方程
（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.
2.圆的一般方程
（＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（，），半径为.
当=0时，方程表示一个点（，）；
当＜0时，方程不表示任何图形.
(二)椭圆及其标准方程
椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.
2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(三)椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.
(六)椭圆的参数方程
椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(四)双曲线及其标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.
若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(五)双曲线的简单几何性质
1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.[来源:学*科*网]
在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
(六)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：[来源:学+科+网]
、、、.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：[来源:学.科.网]

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
(七)轨迹方程
⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.
五、二轮复习建议
1．根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性.由于圆锥曲线通常有1－2小题和1大题，约占18分左右，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况有针对性地进行复习，提高复习的有效性．
2．重视通性通法，加强解题指导，提高解题能力.在二轮复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题（可以选用2014年的各地高考试题和近两年的各地高考模拟试题）为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式．数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握．所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习．
3．注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分．
六、2015年高考预测
1．难度：圆锥曲线内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度，预计这一形式仍将在2015年的试题中得到体现．此外，从最近5年安徽高考命题的情况来看，只有2011用圆锥曲线大题作为最后一道压轴题，大都在18，19题出现，并且抛物线这几年是个热门，预计这一现状很有可能在2015年试卷中继续重现．
2．命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考椭圆或抛物线的解答题．此外，从命题所追求的目标来看，小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求．
3．命题的热点：
（1）与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等）；
（2）直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现圆锥曲线的基本思想方法——用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点，相信，在2015年的考试中将继续体现；
（3）求轨迹方程．
（4）应用题．
七、典型例题精讲
1.．[2014·安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
1．x2＋eq \f(3,2)y2＝1 [解析]
设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq \r(1－b2)，
则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，
可得eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2c＝3x0＋3c，,－b2＝3y0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2，))代入椭圆方程可得eq \f(25（1－b2）,9)＋eq \f(1,9)b2＝1，解得b2＝eq \f(2,3)，故椭圆方程为x2＋eq \f(3y2,2)＝1.
2. （2010安徽）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.
2.【解】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.
解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为
3.（2010全国卷）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B 是09年高考题第（11）题改编而来，用代数计算的方法解，计算量较大；
【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，
由，得，
∴
∴
即， 故选B.
另解：，………..(1)
，……….(2)
，……(3)
将（1）、（3）代入（2）化简得：，即.
4.[2013·重庆卷] 过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
4..eq \f(5,6) [解析] 由抛物线方程可知p＝1，焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝eq \f(25,12)，所以x1＋x2＝eq \f(13,12).设直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，代入抛物线y2＝2x，得k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－x＋\f(1,4)))＝2x，即k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(k2,4)＝0，x1＋x2＝eq \f(k2＋2,k2)＝eq \f(13,12)，所以k2＝24，将k2＝24代入k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(k2,4)＝0，因为|AF|＜|BF|，所以解方程得x1＝eq \f(1,3)，所以|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,6).
5．[2014·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为－eq \f(1,2)的直线与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
4.eq \f(\r(2),2) [解析] 设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，))两式作差可得eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),a2)＝
eq \f(－（yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)）,b2)，即eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＝eq \f(－（y1＋y2）（y1－y2）,b2)，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)，
即kAB＝－eq \f(b2,a2).由题意可知，直线AB的斜率为－eq \f(1,2)，所以－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，即a＝eq \r(2)b.又a2＝b2＋c2，
所以c＝b，e＝eq \f(\r(2),2).
6、[2014·安徽卷] 如图1­4，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
图1­4
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求eq \f(S1,S2)的值．
6、解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k1x，,y2＝2p1x，)) 得A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p1,keq \\al(2,1))，\f(2p1,k1)))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k1x，,y2＝2p2x，))得A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p2,keq \\al(2,1))，\f(2p2,k1))).
同理可得B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p1,keq \\al(2,2))，\f(2p1,k2)))，B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p2,keq \\al(2,2))，\f(2p2,k2))).
所以eq \(A1B1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p1,keq \\al(2,2))－\f(2p1,keq \\al(2,1))，\f(2p1,k2)－\f(2p1,k1)))＝2p1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,keq \\al(2,2))－\f(1,keq \\al(2,1))，\f(1,k2)－\f(1,k1)))，
eq \(A2B2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p2,keq \\al(2,2))－\f(2p2,keq \\al(2,1))，\f(2p2,k2)－\f(2p2,k1)))＝2p2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,keq \\al(2,2))－\f(1,keq \\al(2,1))，\f(1,k2)－\f(1,k1))).
故eq \(A1B1,\s\up6(→))＝eq \f(p1,p2)eq \(A2B2,\s\up6(→))，所以A1B1∥A2B2
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此eq \f(S1,S2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|\(A1B1,\s\up6(→))|,|\(A2B2,\s\up6(→))|)))eq \s\up12(2).
课堂练习：如图O为坐标原点，椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝eq \f(\r(3),2)，且|F2F4|＝eq \r(3)－1.
则求C1，C2的方程分别为_______________；
图1­7
解析： 因为e1e2＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(a2－b2),a)·eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \f(\r(3),2)，即a4－b4＝eq \f(3,4)a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，
F4(eq \r(3)b，0)，于是eq \r(3)b－b＝|F2F4|＝eq \r(3)－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为eq \f(x2,2)＋y2＝1，eq \f(x2,2)－y2＝1.
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学校名录参见：