高考物理一轮复习第3章牛顿运动定律微专题4动力学中的“木板_滑块”和“传送带”模型学案

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1．模型分析
2.常见临界判断
(1)滑块恰好不滑离木板的条件：滑块运动到木板的一端时，滑块与木板的速度相等。
(2)木板最短的条件：当滑块与木板的速度相等时滑块滑到木板的一端。
(3)滑块与木板恰好不发生相对滑动的条件：滑块与木板间的摩擦力为最大静摩擦力，且二者加速度相同。
eq \([典例1]) 一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m，如图(a)所示。t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s时间内小物块的v­t图线如图(b)所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求：
图(a) 图(b)
(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2；
(2)木板的最小长度；
(3)木板右端离墙壁的最终距离。
[大题拆分] 第一步：分析研究对象模型。设小物块和木板的质量分别为m和M。小物块可以看作质点(初始条件v0未知，如图甲所示)。
第二步：分析过程模型。
(1)认为地面各点的粗糙程度相同，小物块和木板一起向右做匀变速运动，到速度大小为v1，如图乙所示。
(2)木板与墙壁碰撞过程：小物块受到滑动摩擦力(设置的初始条件)，由于碰撞时间极短(Δt→0)，故碰后小物块速度不变，木板的速度方向突变(设置的初始条件)，如图丙所示。
(3)然后小物块向右减速，木板向左减速，经1 s小物块速度减小为零(如图丁所示)。 由于木板的加速度较小，故小物块速度为零时，木板仍有速度。然后小物块向左加速，木板向左减速，到二者达到共同速度v3(如图戊所示)。
(4)分析临界条件，包括时间关系和空间关系，如图戊所示。
(5)在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速直线运动直至停止(如图己所示)。
[解析] (1)根据图象可以判定碰撞前小物块与木板共同速度为v＝4 m/s
碰撞后木板速度水平向左，大小也是v＝4 m/s
小物块受到滑动摩擦力而向右做匀减速直线运动，加速度大小a2＝eq \f(v－0,t)＝eq \f(4－0,1) m/s2＝4 m/s2
根据牛顿第二定律有μ2mg＝ma2，解得μ2＝0.4
木板与墙壁碰撞前，匀减速运动时间t＝1 s，位移x＝4.5 m，末速度v＝4 m/s
其逆运动则为匀加速直线运动，可得x＝vt＋eq \f(1,2)a1t2
解得a1＝1 m/s2
设小物块的质量为m，则木板的质量为15m，对小物块和木板整体受力分析，地面对木板的滑动摩擦力提供合外力，由牛顿第二定律得：μ1(m＋15m)g＝(m＋15m)a1，即μ1g＝a1
解得μ1＝0.1。
(2)碰撞后，木板向左做匀减速运动，依据牛顿第二定律有μ1(15m＋m)g＋μ2mg＝15ma3
可得a3＝eq \f(4,3) m/s2
对滑块，加速度大小为a2＝4 m/s2
由于a2>a3，所以滑块速度先减小到0，所用时间为t1＝1 s的过程中，木板向左运动的位移为
x1＝vt1－eq \f(1,2)a3teq \\al(2,1)＝eq \f(10,3) m，末速度v1＝v－a3t1＝eq \f(8,3) m/s
滑块向右运动的位移x2＝eq \f(v＋0,2)t1＝2 m
此后，小物块开始向左加速，加速度大小仍为a2＝4 m/s2
木板继续减速，加速度大小仍为a3＝eq \f(4,3) m/s2
假设又经历t2二者速度相等，则有a2t2＝v1－a3t2
解得t2＝0.5 s
此过程中，木板向左运动的位移
x3＝v1t2－eq \f(1,2)a3teq \\al(2,2)＝eq \f(7,6) m，末速度v3＝v1－a3t2＝2 m/s
滑块向左运动的位移x4＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)＝0.5 m
此后小物块和木板一起匀减速运动，二者的相对位移最大为Δx＝x1＋x2＋x3－x4＝6 m
小物块始终没有离开木板，所以木板最小的长度为6 m。
(3)最后阶段滑块和木板一起匀减速直到停止，整体加速度大小为a1＝1 m/s2
向左运动的位移为x5＝eq \f(v\\al(2,3),2a1)＝2 m
所以木板右端离墙壁最远的距离为
x＝x1＋x3＋x5＝6.5 m。
[答案] (1)0.1 0.4 (2)6 m (3)6.5 m
求解“木板——滑块”模型的思维流程
eq \([跟进训练])
1.如图所示，在倾角θ＝37°的固定斜面上放置一质量M＝1 kg、长度L＝0.75 m的薄平板AB。平板的上表面光滑，其下端B与斜面底端C的距离为4 m。在平板的上端A处放一质量m＝0.6 kg的滑块，开始时使平板和滑块都静止，之后将它们无初速释放。设平板与斜面间、滑块与斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，通过计算判断无初速释放后薄平板是否立即开始运动，并求出滑块与平板下端B到达斜面底端C的时间差Δt。(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
[解析] 对薄平板，由于Mgsin 37°<μ(M＋m)gcs 37°，故滑块在薄平板上滑动时，薄平板静止不动
滑块在薄平板上滑行时加速度a1＝gsin 37°＝6 m/s2
到达B点时的速度v＝eq \r(2a1L)＝3 m/s
滑块由B至C时的加速度
a2＝gsin 37°－μgcs 37°＝2 m/s2
设滑块由B至C所用时间为t，则有
LBC＝vt＋eq \f(1,2)a2t2
代入数据解得t＝1 s
对薄平板，滑块滑离后才开始运动，加速度a3＝gsin 37°－μgcs 37°＝2 m/s2
设滑至C端所用时间为t′，则有LBC＝eq \f(1,2)a3t′2
代入数据解得t′＝2 s
滑块与平板下端B到达斜面底端C的时间差
Δt＝t′－t＝1 s。
[答案] 无初速释后薄平板不立即运动 1 s
2．(2020·江苏百校联考)如图甲所示，一足够长的木板静止在光滑的水平地面上，可视为质点的小滑块质量为m＝1 kg，置于木板中央A处。从t＝0时刻开始，木板在一定时间内受到水平方向的恒定拉力F，其运动的速度—时间图象如图乙所示。已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.2，木板与滑块间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。求：
甲 乙
(1)t＝0时刻滑块加速度的大小；
(2)拉力F的大小；
(3)为使滑块不从木板上滑落，木板的长度至少为多少？
[解析] (1)假设t＝0时刻滑块与木板发生相对滑动，由木板运动的v­t图象可得
a木板＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(12,3) m/s2＝4 m/s2，
对滑块，由牛顿第二定律有
μmg＝ma滑块，
得a滑块＝μg＝2 m/s2，
由于a滑块(2)由v­t图象可知，经过t1＝3 s后撤去了拉力，此时，木板的速度为v1＝12 m/s，
滑块的速度为v2＝a滑块t1＝6 m/s，
滑块与木板间仍有相对滑动，3 s后内，对木板由v­t图象得加速度大小为a2＝eq \f(12,3) m/s2＝4 m/s2，
由牛顿第二定律有μmg＝Ma2，
解得M＝0.5 kg，
木板前3 s的运动根据牛顿第二定律有F－μmg＝Ma木板，
解得F＝4 N。
(3)3 s时刻木板速度为v1＝12 m/s，滑块速度为v2＝6 m/s，设再经过t2时间滑块与木板的速度大小相等，有v1－a2t2＝v2＋a滑块t2，
解得t2＝1 s，之后两者一起做匀速直线运动，
木板和滑块速度相等时，木板的总位移为
x1＝eq \f(1,2)a木板teq \\al(2,1)＋v1t2－eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)＝28 m，
滑块的总位移为x2＝eq \f(1,2)a滑块(t1＋t2)2＝16 m，
两者相对位移为Δx＝x1－x2＝12 m，
所以木板的总长度至少为2Δx＝24 m。
[答案] (1)2 m/s2 (2)4 N (3)24 m
“传送带”模型
eq \([典例2]) 如图所示为车站使用的水平传送带模型，其A、B两端的距离L＝8 m，它与水平台面平滑连接。现有一物块以v0＝10 m/s的初速度从A端水平地滑上传送带。已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.6。求：
(1)若传送带保持静止，物块滑到B端时的速度大小；
(2)若传送带顺时针匀速转动的速率恒为12 m/s，物块到达B端时的速度大小；
(3)若传送带逆时针匀速转动的速率恒为4 m/s，且物块初速度变为v′0＝6 m/s，仍从A端滑上传送带，物块从滑上传送带到离开传送带的总时间。
[解析] (1)设物块的加速度大小为a，由受力分析可知
FN＝mg，Ff＝ma，Ff＝μFN，
得a＝6 m/s2。
传送带静止，物块从A到B做匀减速直线运动，
又x＝eq \f(v\\al(2,0),2a)＝eq \f(25,3) m>L＝8 m，
则由veq \\al(2,B)－veq \\al(2,0)＝－2aL，
得vB＝2 m/s。
(2)由题意知，传送带顺时针匀速转动的速率12 m/s>v0，物块所受的摩擦力沿传送带运动方向，即物块先加速到v1＝12 m/s，
由veq \\al(2,1)－veq \\al(2,0)＝2ax1，得x1＝eq \f(11,3) m故物块先加速运动后匀速运动
即物块到达B时的速度为v′B＝v1＝12 m/s。
(3)当物块初速度v′0＝6 m/s时，物块速度减为零时的位移x2＝eq \f(v′\\al(2,0),2a)＝3 m由0＝v′0－at1，得t1＝1 s。
当物块向左加速到v2＝4 m/s时
由veq \\al(2,2)＝2ax3得x3＝eq \f(4,3) m故物块向左先加速运动后匀速运动。
由v2＝at2，得t2＝eq \f(2,3) s。
物块匀速运动的位移
x4＝x2－x3＝eq \f(5,3) m。
由x4＝v2t3，
得t3＝eq \f(5,12) s。
故总时间t＝t1＋t2＋t3＝eq \f(25,12) s。
[答案] (1)2 m/s (2)12 m/s (3)eq \f(25,12) s
(1)求解水平传送带问题的关键
①正确分析物体所受摩擦力的方向。
②注意转折点：物体的速度与传送带速度相等的时刻是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
(2)处理此类问题的一般流程
弄清初始条件⇒判断相对运动⇒判断滑动摩擦力的大小和方向⇒分析物体受到的合外力及加速度的大小和方向⇒由物体的速度变化分析相对运动⇒进一步确定以后的受力及运动情况。
eq \([典例3]) (2020·四川成都模拟)如图所示，传送带与地面倾角θ＝37°，从A到B长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度地放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)煤块从A到B的时间；
(2)煤块从A到B的过程中传送带上形成痕迹的长度。
思路点拨：解此题注意以下几点：
(1)煤块刚放上时，判断摩擦力的方向，计算加速度。
(2)判断煤块能否达到与传送带相等的速度，若不能，煤块从A→B加速度不变，若能，则要进一步判断煤块能否相对传送带静止。
(3)达到相同速度后，若煤块不再滑动，则匀速运动到B点，形成的痕迹长度等于传送带和煤块对地的位移之差。煤块若相对传送带滑动，之后将以另一加速度运动到B点，形成的痕迹与上段留下的痕迹重合，最后结果取两次痕迹长者。
[解析] (1)煤块刚放上时，受到向下的摩擦力，受力如图甲，其加速度为a1＝g(sin θ＋μcs θ)＝10 m/s2，
t1＝eq \f(v0,a1)＝1 s，x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝5 m即下滑5 m与传送带速度相等。
达到v0后，受到向上的摩擦力，由于μx2＝L－x1＝5.25 m，
x2＝v0t2＋eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)，得t2＝0.5 s，
则煤块从A到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s。
甲 乙
(2)第一过程痕迹长度为Δx1＝v0t1－eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝5 m，
第二过程痕迹长度为Δx2＝x2－v0t2＝0.25 m，
Δx1与Δx2部分重合，
故痕迹总长为5 m。
[答案] (1)1.5 s (2)5 m
滑块在传送带上运动时应注意的“六点”
(1)注意滑块相对传送带的运动方向，正确判定摩擦力的方向。
(2)在水平传送带上，滑块与传送带共速时，滑块与传送带相对静止且做匀速运动。
(3)在倾斜传送带上，滑块与传送带共速时，需比较mgsin θ与μmgcs θ的大小才能确定运动情况。
(4)注意滑块与传送带运动方向相反时，滑块速度减为零后反向加速返回。
(5)注意传送带的长度是足够长还是有限长，判定滑块与传送带共速前是否滑出。
(6)滑块在传送带上运动形成的划痕长度是滑块与传送带的相对位移。
eq \([跟进训练])
1.(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝4 m，以v0＝4 m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转，今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A端，由于煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕。已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取重力加速度g＝10 m/s2，则煤块从A运动到B的过程中( )
A．煤块从A运动到B的时间是2.25 s
B．煤块从A运动到B的时间是1.5 s
C．划痕长度是2 m
D．划痕长度是0.5 m
BC [煤块在传送带上匀加速运动时，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，得a＝μg＝4 m/s2，当煤块速度和传送带速度相同时，位移x1＝eq \f(v\\al(2,0),2a)＝2 m<4 m，因此煤块先加速后匀速，匀加速运动的时间t1＝eq \f(v0,a)＝1 s，匀速运动的时间t2＝eq \f(x－x1,v0)＝0.5 s，煤块从A运动到B的总时间t＝t1＋t2＝1.5 s，A错误，B正确；在加速阶段产生相对位移即产生划痕，则有Δx＝v0t1－x1＝2 m，C正确，D错误。]
2.如图所示，倾角为37°、长为l＝16 m的传送带，转动速度恒为v＝10 m/s，在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m＝0.5 kg的物体(可视为质点)，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2。求：(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间。
[解析] (1)传送带顺时针转动时，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，相对传送带向下匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mgsin 37°－μmgcs 37°＝ma
则a＝gsin 37°－μgcs 37°＝2 m/s2
根据l＝eq \f(1,2)at2得t＝4 s。
(2)传送带逆时针转动，当物体下滑速度小于传送带转动速度时，物体相对传送带向上运动，则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下，设物体的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得
mgsin 37°＋μmgcs 37°＝ma1
则有a1＝gsin 37°＋μgcs 37°＝10 m/s2
设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t1，位移为x1，则有t1＝eq \f(v,a1)＝eq \f(10,10) s＝1 s
x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝5 m当物体运动速度等于传送带速度瞬间，有mgsin 37°>μmgcs 37°，则下一时刻物体相对传送带向下运动，受到传送带向上的滑动摩擦力——摩擦力发生突变。设当物体下滑速度达到传送带转动速度时物体的加速度变为a2，则mgsin 37°－μmgcs 37°＝ma2
a2＝gsin 37°－μgcs 37°＝2 m/s2
x2＝l－x1＝11 m
又因为x2＝vt2＋eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)
则有10t2＋teq \\al(2,2)＝11
解得t2＝1 s(t2＝－11 s舍去)
所以t总＝t1＋t2＝2 s。
[答案] (1)4 s (2)2 s
3.一传送带装置如图所示，其中AB段是水平的，长度LAB＝4 m，BC段是倾斜的，长度LBC＝5 m，倾角为θ＝37°，AB和BC由B点通过一段短的圆弧连接(图中未画出圆弧)，传送带以v＝4 m/s的恒定速率顺时针运转，已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2。现将一个工件(可看作质点)无初速度地放在A点，求：
(1)工件第一次到达B点所用的时间；
(2)工件沿传送带上升的最大高度；
(3)工件运动了23 s后所在的位置。
[解析] (1)工件刚放在水平传送带上的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得μmg＝ma1
解得a1＝μg＝5 m/s2
经t1时间工件与传送带的速度相同，解得
t1＝eq \f(v,a1)＝0.8 s
工件前进的位移为x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝1.6 m
此后工件将与传送带一起匀速运动至B点，用时
t2＝eq \f(LAB－x1,v)＝0.6 s
所以工件第一次到达B点所用的时间
t＝t1＋t2＝1.4 s。
(2)在倾斜传送带上工件的加速度为a2，由牛顿第二定律得μmgcs θ－mgsin θ＝ma2
解得a2＝－2 m/s2
由速度位移公式得0－v2＝2a2eq \f(hm,sin θ)
解得hm＝2.4 m。
(3)工件沿传送带向上运动的时间为t3＝eq \f(2hm,vsin θ)＝2 s
此后由于工件在传送带的倾斜段运动时的加速度相同，在传送带的水平段运动时的加速度也相同，故工件将在传送带上做往复运动，其周期为T，则
T＝2t1＋2t3＝5.6 s
工件从开始运动到第一次返回传送带的水平部分，且速度变为零所需时间t0＝2t1＋t2＋2t3＝6.2 s，而23 s＝t0＋3T，这说明经过23 s后工件恰好运动到传送带的水平部分，且速度为零，故工件在A点右侧，到A点的距离x＝LAB－x1＝2.4 m。
[答案] (1)1.4 s (2)2.4 m (3)在A点右侧2.4 m处
模型
概述
(1)滑块、滑板是上下叠放的，分别在各自所受力的作用下运动，且在相互的摩擦力作用下相对滑动。
(2)滑块相对滑板从一端运动到另一端，若两者同向运动，位移之差等于板长；若反向运动，位移之和等于板长。
(3)一般两者速度相等为“临界点”，要判定临界速度之后两者的运动形式。
常见
情形
滑板获得一初速度v0，则板块同向运动，两者加速度不同，x板>x块，Δx＝x板－x块，最后分离或相对静止
滑块获得一初速度v0，则板块同向运动，两者加速度不同，x板开始时板块运动方向相反，两者加速度不同，最后分离或相对静止，Δx＝x块＋x板
滑板或滑块受到拉力作用，要判断两者是否有相对运动，以及滑板与地面是否有相对运动
水平传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景1
轻放在匀速传送带上
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情景2
以v0冲上匀速传送带
(1)v0>v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速
(2)v0情景3
以v0冲上匀速传送带
(1)传送带较短时，滑块一直减速到达左端
(2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端。其中v0>v返回时速度为v，当v0情景4
轻放在匀加速
启动的传送带上
假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力
(1)若μg≥a，物块和传送带一起以加速度a加速运动，物块受到沿传送带前进方向的静摩擦力Ff＝ma
(2)若μg倾斜传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情境1
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情境2
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
(3)可能先以a1加速后再以a2加速
情境3
(1)可能一直加速
(2)可能一直匀速
(3)可能先加速后匀速
(4)可能先减速后匀速
(5)可能先以a1加速后再以a2加速
(6)可能一直减速
情境4
(1)可能一直加速
(2)可能一直匀速
(3)可能先减速后反向加速
(4)可能先减速，再反向加速，最后匀速
(5)可能一直减速