北师大版九年级上册1 成比例线段达标测试

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第20课 成比例线段（含黄金分割）课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（     ）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【解析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米【答案】B【解析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，根据题意得3.8：x=1：1000000，解得x=3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．3．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（     ）A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5【答案】B【解析】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k，计算求解．设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k，∴，故选B．【点睛】本题考查了比例线段，设出BC＝2k，用含k的代数式表示出AC与AB是解题的关键．4．如果，那么下列等式中不成立的是（　　）A． B． C． D．【答案】D解：A、由合比性质，可得，故本选项不符合要求；B、由等比性质，可得，故本选项不符合要求；C、由得，ad=bc，由得，ad=bc，故本选项不符合要求；D、由得，ab=cd，所以，不能由得，故本选项符合要求．故选：D．5．已知线段是线段、的比例中项，且，，则等于（       ）．A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】线段b是线段a，c的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．解：∵a=3，c=4，∴=，∴b2=ac=3×4=12，∴b=，b=- (舍去).故答案为【点睛】本题考查了比例中项，解题的关键是熟练的掌握利用比例中项的定义来列方程.6．下列说法正确的是（　　）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618【答案】D【解析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点睛】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键．7．如果a=2，b=4，c=8，那么（       ）A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】根据线段成比例进行判断即可．A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ，B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为，D选项b是ac的比例中项，因为故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC•BA【答案】A【解析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴，∴选项A符合题意，，∴选项D不符合题意；∵，∴选项B不符合题意；∵，∴选项C不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．9．已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】根据合分比定理：，可得，再根据合分比定理：．由合分比定理，得，故①错误，故②正确；由，合分比定理，得，故③正确；故选；．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了合分比定理，要熟练掌握．10．下列结论不一定成立的是（       ）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，（），那么D．如果，那么【答案】D【解析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可．解：A：设，则，，∴，，∴，故A不符合题意；B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意；C：设，则，， ，∴，又∵，∴，故C不符合题意；D：设，则，， ，∴，，，∴，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．二、填空题11．如果，那么________．【答案】．设，则．12．已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．【答案】【解析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到，把AB=2代入计算即可．解：∵点P在线段AB上，AP2=AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，，故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段是整个线段的倍．13．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是______．【答案】【解析】先根据黄金分割的定义求出AP，然后把AP的长度代入求出AB的长即可．解：为的黄金分割点（），，．故答案是：．【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，若把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中．14．已知，则_________．【答案】【解析】由，设 则 再代入代数式求值即可得到答案．解： ，设 则 故答案为：【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例的问题是解题的关键．15．如图，在中，点是线段的黄金分割点（），若的面积是，则的面积是_______．【答案】．【解析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出的面积．解：∵在中，点是线段的黄金分割点（），∴∵的面积是∴的面积故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．16．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________．【答案】2cm或cm或cm设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm.点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论.三、解答题17．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项是3．（2）设x＝4k，y＝3k，∴＝＝．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．18．如果，且，求的值．【答案】【解析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：设＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入得，6k−6k＋4k＝8，解得k＝2，所以，a＝4，b＝6，c＝8，所以，＝4-6+8＝6．【点睛】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．19．若且x＋y＋z＝18，分别求x、y、z的值．【答案】x＝4，y＝6，z＝8【解析】设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入x＋y＋z＝18即可求解；解：设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵x+y+z＝18，∴2k+3k+4k＝18，解得：k＝2，∴x＝2k＝4，y＝3k＝6，z＝4k=8．【点睛】本题主要考查比例的性质，正确计算是解本题的关键．20．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【答案】【解析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可．∵x：y：z＝3：5：7，∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，∴＝＝【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．21．如图，设线段AC＝1.（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析【解析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．解：（1）如图，点B为所作；（2）点B是线段AC的黄金分割点．理由如下：设AC＝1，则CD，∴DE＝DC，∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，∴AB， BC，即，∴点B是线段AC的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键22．若，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）由得，代入即可求解；（2）根据，可设，，，代入即可求解．（1）∵∴∴（2）∵，∴设，，，原式．【点睛】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键．23．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形．（1）若这个矩形的面积等于，求的长度；（2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）【答案】（1）11cm；（2）不能，理由见解析；（3）【解析】（1）设，则，根据矩形面积公式得到，再解方程得，，由于，则可得到的长为；（2）与（1）一样得到方程，整理得，计算判别式的值，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是可判断这个矩形的面积可能等于；（3）设，则，根据黄金分割的定义得，解得，再计算出，然后计算矩形的面积．解：（1）设，则，根据题意得，整理得，解得，，当时，；当时，，而，所以，即的长为；（2）不能．理由如下：设，则，根据题意得，整理得，因为△，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积不可能等于；（3）设，则，根据题意得，解得，则，所以矩形的面积．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．一组不为零的数a，b，c，d，满足，则以下等式不一定成立的是（       ）A．＝ B．＝C．＝ D．＝【答案】C【解析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．解：一组不为零的数，，，，满足，，，即，故A、B一定成立；设，∴，，∴，，∴，故D一定成立；若则，则需，∵、不一定相等，故不能得出，故D不一定成立．故选：．【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．2．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（       ）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】根据黄金分割的定义和黄金比值，分PB为较长线段和PB为较短线段求解即可．解：∵线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，∴PB= AB= ×2=，或PB=2－（）=，故选：B．【点睛】本题考查黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞BC），且AC为AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= AB，熟记黄金比值是解答的关键．3．已知a、b、c均不为0,且,若，则k=（）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】D【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.∵∴，，三式相加得，∵∴k=3.故选D.【点睛】本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8【答案】A【解析】过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，再根据点，是边的两个黄金分割点，可得，根据勾股定理可得，进而可得，然后根据三角形的面积计算公式进行求解．解：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：∵，，∴，∴在Rt△AFB中，，∵点，是边的两个黄金分割点，∴，∵，，∴DF=EF，∴，∴；故选：A【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．5．有以下命题：①如果线段是线段，，的第四比例项，则有；②如果点是线段的中点，那么是、的比例中项；③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项；④如果点是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（       ）A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得．①如果线段是线段，，的第四比例项，则有，正确；②如果点是线段的中点，则，所以，所以不是、的比例中项，错误；③如果点是线段的黄金分割点，且，则，所以，即，所以是与的比例中项，正确；④如果点是线段的黄金分割点，，且，则，即，所以，正确；综上，正确的判断有①③④，故选：C．【点睛】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．6．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cmC．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm【答案】D【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝804040，∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，故选：D．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．7．若，设，，，则、、的大小顺序为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a，∴=，==1，==2．∴A＜B＜C．故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．8．已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3，=则a-1+b-1+c-1+d-1的值为(       ).A．1 B．0 C．-1 D．±1【答案】D试题分析：设2005a3=2006b3=2007c3=2008d3=k，则，，，，，，，，所以= =±1故选D点睛：此题是一个阅读题，通过阅读分析题目，根据比例的性质，设出一个共性的k，由此根据降低幂指数，化简即可求解.二、填空题9．若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是________.（填写所有正确的序号）【答案】①②④【解析】根据等比性质判断即可.解：由比例的性质易知①正确；由已知得，再由等比性质可知②④正确；，故③是错误的.【点睛】本题考查了等比性质的灵活应用，其中由已知式变形得到是判断的关键.10．若==（x，y，z均不为0），=1，则m的值为______ ．【答案】4【解析】可以设===a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的方程中即可得出答案．解：设===a，∴x=2a，y=3a，z=am，∵= =1，∴m=4，故答案为4．【点睛】本题考查了比例的性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．11．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，点C叫做线段AB的黄金分割点．设AB=a，AC=x，则，，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为m，为增加视觉美感，若图中m为2米，则n为____米．【答案】【解析】根据黄金分割定义，人的上、下身长之比接近黄金比即可求解．解：根据题意得： 得解得经检验：是原方程的根故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．12．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．【答案】【解析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，∴AC=BD=AB=，BC=AB，∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．故答案为：10﹣20．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．13．，，，，，满足关系：，则代数式的值是______．【答案】【解析】根据等比性质求解求解即可．∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查等比性质，掌握并应用等比性质是解题的关键．14．已知满足，试求的最大值__________．【答案】25【解析】设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．解：设，∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4=-3k2-18k-2=-3(k2+6k+9-9)-2=-3(k+3) 2+25∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，∴a2+b2−c2的最大值为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．15．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为_____；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，APn的长度为_____．【答案】          （）n【解析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB．即可得结论．∵线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为：；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，则线段AP2的长度为：（）2；线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，则线段AP3的长度为：（）3；依次以此类推，APn的长度为：（）n．故答案为：；（）n．【点睛】本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．16．若，则的值为_____________．【答案】或﹣1【解析】设，根据比例的性质得出，，，将它们相加得出，再分与两种情况进行讨论即可．解：设，则，，，①如果，那么，此时，，，，②如果，那么，，此时，，，，故答案为：或﹣1．【点睛】本题考查了比例的性质，进行分类讨论是解题的关键．三、解答题17．已知线段，，满足，且．   求，，的值；若线段是线段，的比例中项，求．【答案】（1），，；（2）【解析】设比值为，然后用表示出，，，再代入等式求解得到，然后求解即可；根据比例中项的定义列式求解即可．解：设，则，，，所以，解得，所以，，．∵     线段是线段，的比例中项，∴     ，∴     线段．【点睛】此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键．18．已知，求:   (1) 的值；(2) 的值．【答案】(1)3;(2)【解析】（1）根据，设a=3x，b=5x，c=7x，进而代入所式求出即可；（2）设a=3x，b=5x，c=7x，进而代入所式求出即可．(1) ，∴，∴=；(2)设 ，则，，，∴ ．【点睛】此题考查比例的性质，掌握比例的和比性质和等比性质是解题的关键.19．（1）已知，求的值．                    （2）已知，求的值．【答案】（1）﹣；（2）【解析】（1）依据比例的性质可得到2b=1.5a，然后代入计算即可；（2）设=k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，然后代入计算即可．解：（1）∵，∴2b=1.5a，∴=﹣；（2）设=k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，∴=．【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．已知=k，求k2-3k-4的值．【答案】-或6．【解析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．∵=k，∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，k==；当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，∴k==-2；     当k=时，；当时，．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．21．阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．证明：∵，∴．∴．根据以上方法，解答下列问题：（1）若，求的值；（2）若，且a≠b，c≠d，证明．【答案】（1）；（2）证明过程见解析【解析】（1）根据计算即可；（2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可；（1）∵，∴；（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．22．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；（2）若请判断和的大小关系，并证明；（3）令若分式的值为3，求t的值.【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3）【解析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；（2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.（1）∵，，∴a=2b，c=2d，∴，.故答案为：==；（2）=.理由如下：设，则，∴a=bt，c=dt，∴，，∴=；（3）∵，∴a=ct，b=dt.∵2=3，∴.解得：t=.经检验：t=是原方程的解.【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.23．已知，且.求证：.【答案】见解析【解析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出设，从而，，，于是（+），又因为，所以；.【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键24．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是．(1)如图①，在中，∠A＝36°，，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：(2)如图②，在中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，，，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】（1）根据三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边确定BC=AD，∠BCD=∠A，根据相似三角形的判定定理和性质即可证明．（2）根据黄金分割的定义求出BD的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出BC2，进而即可求出BC的长度．(1)证明：∵在中，∠A＝36°，，∴．∵CD为∠ACB的平分线，∴，∴∠ACD=∠BCD=∠A．∴AD=DC．∴．∴∠BDC=∠B，∠BDC>∠BCD．∴DC=BC，BC>BD．∴BC=AD．∴AD>BD．∵，∴．∴，即．∴点D是腰AB的黄金分割点．(2)解：∵点D是AB的黄金分割点，，∴．∵，∴．∴．∵，CD是△ABC斜边上的高，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．25．（1）数学活动一宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．（2）数学活动二如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再求BN：BC的值即可判断；（2）如图，连接 设 则 再利用轴对称的性质与勾股定理求解 再利用勾股定理建立方程求解，从而可得答案．证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形， 由正方形边长为2， 根据第二步可知， 在△FCB中，根据勾股定理， 得根据第三步可知，∴∴ ∴矩形BNMC是黄金矩形．（2）如图，连接 正方形的边长 由对折可得： 设 所以由勾股定理可得： 解得： 所以G点是AD的黄金分割点．【点睛】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2011·内蒙古呼和浩特·中考真题）如果成立，那么下列各式一定成立的是（  ）A． B． C． D．【答案】D已知成立，根据比例的性质可得选项A、B、C都不成立；选项D ，由＝可得，即可得，选项D正确，故选D.点睛：本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解决问题的关键.2．（2019·四川雅安·中考真题）若，且，则的值是（　　）A．4 B．2 C．20 D．14【答案】A【解析】根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可．解：由a：b＝3：4知，所以．所以由得到：，解得．所以．所以．故选A．【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．3．（2005·江苏南京·中考真题）在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（        ）A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km【答案】C比例尺=，得实际长度=21.72km，故选C4．（2017·贵州六盘水·中考真题）矩形的两边长分别为、，下列数据能构成黄金矩形的是(       )A． B． C． D．【答案】D试题分析：黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即，只有选项D中a:b=，故选D．考点：黄金分割．5．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（       ）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【解析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．6．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对【答案】A【解析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．二、填空题7．（2020·湖南湘潭·中考真题）若，则________．【答案】【解析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；由可设，，k是非零整数，则．故答案为：．【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．8．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，则________【答案】【解析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．解：设，则，故，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．9．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．【答案】##【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．10．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．【答案】+##0.6875【解析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．解：设，则，，，．，，为非负实数，，解得：．当时，取最大值，当时，取最小值．，．．故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．