2022通辽开鲁县一中高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年第二学期期中检测试卷

高一数学

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1. 已知集合，，则集合B中元素的个数是（    ）

A. 6 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的定义写出集合中的元素可得．

【详解】集合中的元素有，，，共4个，

故选：C.

2. 已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（    ）

A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 24cm

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形的周长求出扇形的半径，然后可求得扇形的弧长.

【详解】解：由题意得：

扇形的半径为，圆心角为3rad

扇形的周长为：，解得

所以扇形的弧长为：

故选：C

3. 已知，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数的诱导公式化简可得答案.

【详解】由题意，．

故选：C

4. 若角的终边经过点，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数的定义可得答案.

【详解】由三角函数的定义可得，

解得，因此．

故选：D.

5. 过点且与原点距离最大的直线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据题意得到过点且与垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.

【详解】由题知：过点且与原点距离最大的直线为过点且与垂直的直线.

因为，故所求直线为，即.

故选：A

【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.

6. 下列说法正确的是（ ）

A. 某厂一批产品的次品率为，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品

B. 气象部门预报明天下雨概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨

C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈

D. 掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0．5

【答案】D

【解析】

【详解】某厂一批产品的次品率为，说明次品出现的可能性的大小为，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品说法是错误的，故A错误；

气象部门预报明天下雨的概率，是说明有多大的把握有雨，而不是具体的什么地方有雨，故B错误；

某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈说法是错误的，治愈率为10%是说明来的所有病人中有10%的被治愈，故C不正确；掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0．5，概率是一个固定的值，不随第几次试验有关，故D正确．

7. 某社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生.有以下3种说法：

①该抽样可能是简单随机抽样；

②该抽样不可能是分层随机抽样；

③该抽样中，某男生被抽到的概率大于某女生被抽到的概率.

其中说法正确的为（    ）

A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抽样方法的概念、概率的计算，再结合题意逐一判断即可.

【详解】①因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，所以该抽样可能是简单随机抽样，故①正确；

②若总体由差异明显的几部分组成，则采用分层随机抽样的方法进行抽样，且分层随机抽样的比例相同.但现在该社团有男生30名，女生20名，抽到2名男生和3名女生，比例不同，故②正确；

③该抽样中，某男生被抽到的概率为，某女生被抽到的概率为，故前者小于后者，因此③不正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了不同抽样方法的特征和简单的概率计算，属于基础题.

8. 2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”.由中国互联网络信息中心()第45次《中国互联网络发展状况统计报告》数据得到如图所示的统计图.2020年12月我国网络直播用户规模达5.60亿，占整体手机网民的62.0%.

根据以上信息，下列说法不正确的是（    ）

A. 2018-2020年我国网络直播用户一直保持增长态势

B. 2020年我国手机网民未超过9亿

C. 2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿

D. 2016-2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致

【答案】B

【解析】

【分析】

根据统计图提供的数据进行判断．

【详解】从统计图知2018，2019，2020三年网络直播用户规模依次为亿，保持增长态势，A正确；

2020年我国手机网民约为亿，B错；

，C正确；

从图可得2016-2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致，D正确．

故选：B．

9. 在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出曲线表示圆参数的范围，再由几何概率可得答案.

【详解】由可得

曲线表示圆，则解得或

又

所以曲线表示圆的概率为

故选：D

10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的．设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件，根据偶函数的性质得到在上单调递减，,

利用指数对数函数的性质比较，，的大小关系，注意先和0，1比较大小，，的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较.

【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，∴在上单调递减，

,

,

,

∴,

∴,

即,即,

故选B.

【点睛】利用幂指对函数的性质比较实数或式子的大小，先要考虑分析数或式子的大致范围（常常与0，1比较），来进行比较大小，要借助0，1等常见数的“桥梁”作用．有时候还要考虑化为同底数的幂或者对数进行比较大小.

11. 某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，……，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（    ）

A. ，86 B. ，87 C. ，87 D. ，86

【答案】C

【解析】

【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.

【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以i>5，

由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为故选：C

12. 已知函数，，若，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作出函数的图象，根据函数的单调性，对进行四种情况的讨论，从而解不等式，即可得答案；

【详解】函数在区间是递增函数，

当时，即，成立，

当时，，得，即.

当时，，，解得，

当时，函数在区间是递增函数，所以成立.

综上所述：，

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数图象的单调性解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.

二、填空题

13. 半径为2米，中心角为120°的扇形的面积为________米2.

【答案】

【解析】

【分析】化度为弧度，再利用扇形面积公式计算作答.

【详解】依题意，，因扇形的半径为2米，

所以扇形的面积(米2).

故答案为：

14. 已知是第四象限角，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，在利用诱导公式可求得结果.

【详解】因为是第四象限角，，则，

所以，.

故答案为：.

15. 国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第12行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第4个号码为______.（注:如下为随机数表的第12行和第13行）

16  00  11  66  14  90  84  45  11  65  73  88  05  90  52  27  41  14  86  22

12  22  08  07  52  74  95  80  35  69  68  32  50  61  28  47  39  75  34  58

【答案】05

【解析】

【分析】根据随机数表法可求出结果.

【详解】根据题意可得其中不在编号范围内，舍去，第二个重复，舍去，剩下的号码为，故选取的第4个号码为.

故答案为：.

16. 已知点在直线上，若在圆上存在点，使得，点的横坐标的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据圆的切线的性质,可知当过M点作圆的切线，切线与OM所成角是圆上的点与OM所成角的最大值，所以只需此角大于等于即可，转化为即可，建立不等式求解即可得出结论.

【详解】设，过M作切线交圆于P，如图，

根据圆的切线性质，有∠OMN≦∠OMP.

如果∠OMP≥30°

则上存在一点N使得∠OMN=30°

若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°

,

,

又

，

解得：，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质,以及一元二次不等式的解法,综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题.

三、解答题

17. 已知，

（1）求，的值

（2）求的值.

【答案】（1）或（2）

【解析】

【分析】（1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，求得sinα、cosα的值；

（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，即可求出式子的值．

【详解】（1）tanα，sin2α+cos2α＝1，

∴或

（2）

.

∵，

∴原式.

【点睛】本题考查了同角的三角函数关系与诱导公式的应用问题，考查了转化思想，考查了学生的运算能力，属于基础题．

18. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位:m/s）的数据如下:

（1）画出数据的茎叶图；

（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）的平均数和方差，并判断选谁参加比赛比较合适？

【答案】（1）作图见解析   

（2）甲的平均数为33，乙的平均数为33；甲的方差约为；乙的方差为；选乙参加比赛比较合.

【解析】

【分析】（1）利用表格中的数据，根据茎叶图的概念可作出茎叶图；

（2）利用平均数和方差的公式分别求出甲、乙的平均数和方差，可知平均数相等，乙的方差比甲的方差小，所以选乙比较合适.

【小问1详解】

画出茎叶图如下：

【小问2详解】

甲的平均数，

乙的平均数，

甲的方差为：，

乙方差为：

∵甲和乙的平均分相等，但甲的方差大于乙的方差，

∴乙更稳定，乙参加比赛比较合.

19. 某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）估计这组数据的平均数；

（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.

【答案】（1）   

（2）77    （3）

【解析】

【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.

(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.

(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.

【小问1详解】

由频率分布直方图得，解得，

所以图中的值是0.020.

【小问2详解】

由频率分布直方图得这组数据的平均数：

，

所以这组数据的平均数为77.

【小问3详解】

数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，

记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：

，共个不同结果，它们等可能，

其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，

所以人中恰有名女生的概率为为.

20. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：

（1）求回归直线方程；

（2）试预测广告费支出为万元时，销售额多大？

（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过的概率.

(参考数据： .)

【答案】（1）；（2）万元；（3）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）先求均值，再代公式求得，最后根据= 求（2）在回归直线方程中求自变量为10时所对应函数值，（3）根据枚举法可得在已有的五组数据中任意抽取两组，共有10个基本事件数，其中预测值与实际值之差的绝对值超过的事件数共有1个，所以根据古典概型概率公式得概率为.

试题解析：(1) ,又已知

 ，于是可得： ， = ，因此，所求回归直线方程为： .

(2) 根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为万元时， （万元），即这种产品的销售收入大约为万元.

（3）

基本事件： 共个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过，所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过的概率为.

点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

21. 已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O､B，其中O为坐标原点.

（1）试写出圆C的标准方程；

（2）求证：的面积为定值；

（3）设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）已知圆心，求出半径，就可圆的标准方程；

（2）求出两截距的长度，即可求出面积；

（3）由及弦的垂直平分线必过圆心可知直线斜率，则可求得值，也就得到圆的方程.

【小问1详解】

圆心，圆过原点，所以，则圆的标准方程为；

【小问2详解】

证明：由（1）知，圆的标准方程为，令，得，令，得，则，所以的面积为定值；

【小问3详解】

由可知垂直平分线过原点，又弦的垂直平分线必过圆心，可得直线与直线垂直，则有，即，解得，所以圆心或，圆的方程为或，由于当圆的方程为时，圆心到直线的距离，直线与圆不相交，故舍去，所以圆C的标准方程为.

22. 如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求平面EGF与平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得,进而推出，再结合的边长，利用勾股定理即可推出，最后结合线面垂直的判定定理即可完成证明；

（2）根据是的中位线，即可证明，再利用，即可证明，再根据题意条件，证明，最后利用面面平行的判定定理即可完成证明；

（3）由（2）可知，平面平面，而，因此平面EGF与平面的距离就是两条平行线之间的距离，再结合四边形的边角关系，可得是的公垂线，即为两个平面之间的距离，求出即可完成距离的求解.

【小问1详解】

在直三棱柱中, ，交线为，而，，，，

根据已知条件可得，为的中点，，，结合勾股定理可得，，所以平面.

【小问2详解】

如图所示，取的中点，连接，，，为的中点，而为的中点，为的中位线，，又，且，，，，，

F、G分别是、的中点，是的中位线，，

在直三棱柱中，，，，，又，平面平面.

【小问3详解】

由平面平面，EF与相交于H，又 平面，平面，两平面之间的距离即为H到平面的距离，即， ，

∽，，，

故平面EGF与平面的距离为.