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【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一综合检测试卷【讲义+习题】
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综合检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－ B．y＝－
C．x＝－ D．x＝－
答案 A
解析 ∵抛物线的方程为x2＝y，焦点在y轴上，∴2p＝1，即p＝，∴＝，
∴准线方程是y＝－＝－.
2．已知直线l1：x＋y＝2－m，l2：2mx＋4y＝－16，若l1∥l2，则m等于( )
A．－2或1 B．－2或4 C．4 D．1
答案 D
解析 因为l1∥l2，则解得m＝1.
3．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设S3＝a，S6＝3a，
根据S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a，
故＝＝.
4．已知2，m＋2n，－6成等差数列，则圆C：2＋2＝4上的点到点M距离的最大值为( )
A．1 B．2 C．5 D．3
答案 C
解析 因为2，m＋2n，－6成等差数列，
所以2＝2－6，可得m＋2n＋2＝0，
所以点M的轨迹方程为x＋2y＋2＝0，又圆C的圆心为，半径为2，
则圆C上的点到点M距离的最大值为dmax＝＋2＝3＋2＝5.
5．函数y＝的大致图象可能是( )
答案 D
解析 当x＝e时，y＝1，即函数过点(e,1)，排除A；
∵y＝，∴y′＝－，x>0且x≠1，
当x>1时，函数单调递减；当0
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．3x±8y＝0 D．8x±3y＝0
答案 A
解析 设F1(－c,0)，
A(－c，y1)，B(－c，y2)，
因为l垂直于x轴，
所以y1＝－y2，
又A，B在双曲线C上，
所以－＝1，
又c2＝a2＋b2＝a2＋9，所以＝＝，
所以AB＝＝，
所以△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝2a＋AF1＋2a＋BF1＋AB
＝4a＋2AB＝4a＋2×＝25，
所以a＝4或a＝(舍去)．
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得( )
A．78石 B．76石 C．75石 D．74石
答案 A
解析 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石．
8．已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)
答案 B
解析 令F(x)＝，则F′(x)＝，
由于f(x)0，
故函数F(x)在R上是增函数，所以F(2 023)>F(2 022)，故>，
即ef(2 022)
9．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.则下列选项正确的是( )
A.的最大值是
B.的最大值是
C．过点作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x－y＋1＝0
D．过点作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x＋y＋1＝0
答案 AD
解析 对于A，B，设＝k，即y＝k，由圆心到直线y＝k的距离等于半径时直线与圆相切，即＝，解得k2＝，即kmax＝，kmin＝－，即的最大值是，故A正确，B错误；
对于C，D，显然点在圆(x－2)2＋y2＝3上，过与圆心的直线斜率为k＝，由切线性质知，切线斜率k′＝－，所以切线方程为y＋＝－(x－1)，整理得x＋y＋1＝0，故C错误，D正确．
10.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行，且轨道 Ⅱ 的右顶点为轨道 Ⅰ 的中心．设椭圆 Ⅰ 与 Ⅱ 的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是( )
A．c1＝a2＋c2 B．a1＋c1>2
C．e2＝2e1－1 D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
答案 ABC
解析 由于轨道 Ⅱ 的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则a1＝2a2，且PF＝a1－c1＝a2－c2.
对于A选项，2a2－c1＝a2－c2，∴c1＝a2＋c2，A选项正确；
对于B选项，∵a1＝2a2，c1＝a2＋c2>2c2，∴a1＋c1>2a2＋2c2＝2，B选项正确；
对于C选项，∵c1＝a2＋c2，∴e1＝＝＝＝e2＋，即2e1＝e2＋1，∴e2＝2e1－1，C选项正确；
对于D选项，∵e2＝2e1－1＝＋e1
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则( )
A．a8>0
B．a9<0
C.，，…，中最大的项为
D.，，…，中最大的项为
答案 ABD
解析 由S15＝＝15a8>0，得a8>0，A正确；由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确；因为d<0，所以数列{an}为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，则，…，为正，，…，为负，C错误；当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以单调递增，所以，，…，中最大的项为，D正确．
12．若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案 BCD
解析 f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过点(0,0)，
如图，
当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，
当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，
则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0,0)，由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1，
综上所述，a的可能取值为0，－1或1.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆C1：x2＋y2－2y＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋4y＋m＝0相交于A，B两点，若直线AB的方程为2x－3y＋4＝0，则m＝______.
答案 －8
解析 因为圆C1：x2＋y2－2y＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋4y＋m＝0相交于A，B两点，将两圆相减得直线AB的方程为4x－6y－m＝0，则m＝－8.
14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－3,0)的直线与双曲线交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是______．
答案 －＝1
解析 设M，N，
则－＝1，－＝1，
两式相减可得＝，
所以＝，
因为点(3,6)是线段MN的中点，
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
所以kMN＝＝×＝×＝，
因为kMN＝＝1，所以＝1，即b2＝2a2，
因为c2＝a2＋b2＝3a2＝9，所以a2＝3，b2＝6，
所以双曲线方程是－＝1.
15．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 023，则n的值为________．
答案 2 022
解析 由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝.
数列{an}的前n项之积为
Tn＝×××…×＝n＋1.
∴当Tn＝2 023时，n的值为2 022.
16．若函数f(x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当a＝0时，f(x)＝－x2＋1有两个零点，不符合题意；
当a≠0时，f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①若a>0，则>0，令f′(x)>0，得x<0或x>；令f′(x)<0，得0
②若a<0，则<0，令f′(x)>0，得0，则f(x)在上是增函数，在，(0，＋∞)上是减函数．
要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f ＝1－>0，解得a<－，
综上，实数a的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求PA＋PB的最小值．
解 设A(4，－1)关于直线l：x－y－1＝0的对称点A′(m，n)，
则解得即A′(0,3)，
连接BA′交直线l于点P，则此时PA＋PB取得最小值为BA′＝＝.
18．(12分)已知直线l：kx－y－3k＝0与圆M：x2＋y2－8x－2y＋9＝0.
(1)求证：直线l必过定点，并求该定点；
(2)当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．
(1)证明 直线l方程可化为k－y＝0，
对上式中，当x＝3，y＝0时，不论k取何值，等式恒成立，∴直线l恒过点A.
(2)解 将圆M的方程化为2＋2＝8，圆心为M，半径r＝2，
由(1)知，直线l恒过点A，当圆M截直线l所得弦长最小时，则MA垂直于直线l，即kMA·k＝－1，
∵M，A，∴kMA＝＝1，∴k＝－1.
∴当圆M截直线l所得弦长最小时，k的值为－1.
19．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－n2＋2n＋2.
(1)证明：数列{an－n2＋1}为等比数列；
(2)求数列{an－n2}的前n项和Sn.
(1)证明 方法一 由an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
知an＋1－(n＋1)2＋1＝2(an－n2＋1)，
又a1－12＋1＝1，故{an－n2＋1}是首项为1，公比为2的等比数列，得证．
方法二 由a1＝1，可知a1－12＋1＝1，
又an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
∴
＝
＝＝2，
∴是首项为1，公比为2的等比数列，得证．
(2)解 由(1)知，an－n2＋1＝2n－1，则an－n2＝2n－1－1，∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1－n＝－n＝2n－n－1.
20．(12分)某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．
解 (1)∵当x＝5时，y＝11，
∴由函数式y＝＋10(x－6)2，得＋10＝11，
∴a＝2.
(2)由(1)知该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3
＝30(x－4)(x－6)，
令f′(x)＝0，得x＝4，
当30，函数f(x)在(3,4)上是增函数；当4
∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．
21．(12分)设椭圆E：＋＝1的左顶点为A，右顶点为B，离心率e＝，且椭圆E过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点A作两条斜率为k1，k2的直线分别交椭圆E于M，N(异于A，B)两点，设M，N在x轴的上方，过点B作直线AN的平行线交椭圆E于点N1，若直线MN1过椭圆的左焦点F，求的值．
解 (1)由题意得，解得
则椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)，则AM：y＝k1(x＋2)，BN1：y＝k2(x－2)，
设M(x1，y1)，由得(3＋4k)x2＋16kx＋16k－12＝0，有x1－2＝－，x1＝，即y1＝，
设N1(x2，y2)，由得(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0，有x2＋2＝，x2＝，即y2＝－，
∵直线MN1过椭圆的左焦点F(－1,0)，
∴由kMF＝kN1F 知，＝，整理得(3k2－k1)(3＋4k1k2)＝0，又k1，k2>0，
∴3＋4k1k2>0，即3k2－k1＝0，故＝3.
22．(12分)已知函数f(x)＝3(x－1)－2xln x.
(1)求f(x)的增区间；
(2)当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为函数f(x)＝3(x－1)－2xln x，所以f′(x)＝1－2ln x，令f′(x)>0，解得0
(2)因为当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，
所以当x≥1时，3(x－1)－2xln x－aln x≤0恒成立，
令g(x)＝3(x－1)－2xln x－aln x，则g(1)＝0，且g′(x)＝，令h(x)＝x－a－2xln x，
则h′(x)＝－1－2ln x，h(1)＝1－a，
因为当x≥1 时，h′(x)≤0恒成立，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．当a∈[1，＋∞)时，h(x)≤h(1)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，
故g(x)≤g(1)＝0, 符合要求；
当a∈(－e,1)时，h(1)>0，h(e)＝－e－a<0，h(x)是减函数，故存在x0∈(1，e)使得h(x0)＝0，
则当x∈(1，x0)时，h(x)>0，g(x)是增函数，
g(x)>g(1)＝0，不符合要求；
当a∈(－∞，－e]时， ＝a <0，h(x)是减函数，故存在 x0∈ 使得h(x0)＝0,
则当x∈(1，x0) 时，h(x)>0，g(x)是增函数，g(x)>g(1)＝0，不符合要求．
综上实数a的取值范围为[1，＋∞)．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－ B．y＝－
C．x＝－ D．x＝－
答案 A
解析 ∵抛物线的方程为x2＝y，焦点在y轴上，∴2p＝1，即p＝，∴＝，
∴准线方程是y＝－＝－.
2．已知直线l1：x＋y＝2－m，l2：2mx＋4y＝－16，若l1∥l2，则m等于( )
A．－2或1 B．－2或4 C．4 D．1
答案 D
解析 因为l1∥l2，则解得m＝1.
3．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设S3＝a，S6＝3a，
根据S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a，
故＝＝.
4．已知2，m＋2n，－6成等差数列，则圆C：2＋2＝4上的点到点M距离的最大值为( )
A．1 B．2 C．5 D．3
答案 C
解析 因为2，m＋2n，－6成等差数列，
所以2＝2－6，可得m＋2n＋2＝0，
所以点M的轨迹方程为x＋2y＋2＝0，又圆C的圆心为，半径为2，
则圆C上的点到点M距离的最大值为dmax＝＋2＝3＋2＝5.
5．函数y＝的大致图象可能是( )
答案 D
解析 当x＝e时，y＝1，即函数过点(e,1)，排除A；
∵y＝，∴y′＝－，x>0且x≠1，
当x>1时，函数单调递减；当0
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．3x±8y＝0 D．8x±3y＝0
答案 A
解析 设F1(－c,0)，
A(－c，y1)，B(－c，y2)，
因为l垂直于x轴，
所以y1＝－y2，
又A，B在双曲线C上，
所以－＝1，
又c2＝a2＋b2＝a2＋9，所以＝＝，
所以AB＝＝，
所以△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝2a＋AF1＋2a＋BF1＋AB
＝4a＋2AB＝4a＋2×＝25，
所以a＝4或a＝(舍去)．
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得( )
A．78石 B．76石 C．75石 D．74石
答案 A
解析 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石．
8．已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)
答案 B
解析 令F(x)＝，则F′(x)＝，
由于f(x)
故函数F(x)在R上是增函数，所以F(2 023)>F(2 022)，故>，
即ef(2 022)
9．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.则下列选项正确的是( )
A.的最大值是
B.的最大值是
C．过点作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x－y＋1＝0
D．过点作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x＋y＋1＝0
答案 AD
解析 对于A，B，设＝k，即y＝k，由圆心到直线y＝k的距离等于半径时直线与圆相切，即＝，解得k2＝，即kmax＝，kmin＝－，即的最大值是，故A正确，B错误；
对于C，D，显然点在圆(x－2)2＋y2＝3上，过与圆心的直线斜率为k＝，由切线性质知，切线斜率k′＝－，所以切线方程为y＋＝－(x－1)，整理得x＋y＋1＝0，故C错误，D正确．
10.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行，且轨道 Ⅱ 的右顶点为轨道 Ⅰ 的中心．设椭圆 Ⅰ 与 Ⅱ 的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是( )
A．c1＝a2＋c2 B．a1＋c1>2
C．e2＝2e1－1 D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
答案 ABC
解析 由于轨道 Ⅱ 的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则a1＝2a2，且PF＝a1－c1＝a2－c2.
对于A选项，2a2－c1＝a2－c2，∴c1＝a2＋c2，A选项正确；
对于B选项，∵a1＝2a2，c1＝a2＋c2>2c2，∴a1＋c1>2a2＋2c2＝2，B选项正确；
对于C选项，∵c1＝a2＋c2，∴e1＝＝＝＝e2＋，即2e1＝e2＋1，∴e2＝2e1－1，C选项正确；
对于D选项，∵e2＝2e1－1＝＋e1
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则( )
A．a8>0
B．a9<0
C.，，…，中最大的项为
D.，，…，中最大的项为
答案 ABD
解析 由S15＝＝15a8>0，得a8>0，A正确；由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确；因为d<0，所以数列{an}为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，则，…，为正，，…，为负，C错误；当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以单调递增，所以，，…，中最大的项为，D正确．
12．若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案 BCD
解析 f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过点(0,0)，
如图，
当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，
当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，
则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0,0)，由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1，
综上所述，a的可能取值为0，－1或1.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆C1：x2＋y2－2y＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋4y＋m＝0相交于A，B两点，若直线AB的方程为2x－3y＋4＝0，则m＝______.
答案 －8
解析 因为圆C1：x2＋y2－2y＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋4y＋m＝0相交于A，B两点，将两圆相减得直线AB的方程为4x－6y－m＝0，则m＝－8.
14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－3,0)的直线与双曲线交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是______．
答案 －＝1
解析 设M，N，
则－＝1，－＝1，
两式相减可得＝，
所以＝，
因为点(3,6)是线段MN的中点，
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
所以kMN＝＝×＝×＝，
因为kMN＝＝1，所以＝1，即b2＝2a2，
因为c2＝a2＋b2＝3a2＝9，所以a2＝3，b2＝6，
所以双曲线方程是－＝1.
15．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 023，则n的值为________．
答案 2 022
解析 由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝.
数列{an}的前n项之积为
Tn＝×××…×＝n＋1.
∴当Tn＝2 023时，n的值为2 022.
16．若函数f(x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当a＝0时，f(x)＝－x2＋1有两个零点，不符合题意；
当a≠0时，f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①若a>0，则>0，令f′(x)>0，得x<0或x>；令f′(x)<0，得0
②若a<0，则<0，令f′(x)>0，得
要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f ＝1－>0，解得a<－，
综上，实数a的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求PA＋PB的最小值．
解 设A(4，－1)关于直线l：x－y－1＝0的对称点A′(m，n)，
则解得即A′(0,3)，
连接BA′交直线l于点P，则此时PA＋PB取得最小值为BA′＝＝.
18．(12分)已知直线l：kx－y－3k＝0与圆M：x2＋y2－8x－2y＋9＝0.
(1)求证：直线l必过定点，并求该定点；
(2)当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．
(1)证明 直线l方程可化为k－y＝0，
对上式中，当x＝3，y＝0时，不论k取何值，等式恒成立，∴直线l恒过点A.
(2)解 将圆M的方程化为2＋2＝8，圆心为M，半径r＝2，
由(1)知，直线l恒过点A，当圆M截直线l所得弦长最小时，则MA垂直于直线l，即kMA·k＝－1，
∵M，A，∴kMA＝＝1，∴k＝－1.
∴当圆M截直线l所得弦长最小时，k的值为－1.
19．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－n2＋2n＋2.
(1)证明：数列{an－n2＋1}为等比数列；
(2)求数列{an－n2}的前n项和Sn.
(1)证明 方法一 由an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
知an＋1－(n＋1)2＋1＝2(an－n2＋1)，
又a1－12＋1＝1，故{an－n2＋1}是首项为1，公比为2的等比数列，得证．
方法二 由a1＝1，可知a1－12＋1＝1，
又an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
∴
＝
＝＝2，
∴是首项为1，公比为2的等比数列，得证．
(2)解 由(1)知，an－n2＋1＝2n－1，则an－n2＝2n－1－1，∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1－n＝－n＝2n－n－1.
20．(12分)某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．
解 (1)∵当x＝5时，y＝11，
∴由函数式y＝＋10(x－6)2，得＋10＝11，
∴a＝2.
(2)由(1)知该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3
＝30(x－4)(x－6)，
令f′(x)＝0，得x＝4，
当3
∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．
21．(12分)设椭圆E：＋＝1的左顶点为A，右顶点为B，离心率e＝，且椭圆E过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点A作两条斜率为k1，k2的直线分别交椭圆E于M，N(异于A，B)两点，设M，N在x轴的上方，过点B作直线AN的平行线交椭圆E于点N1，若直线MN1过椭圆的左焦点F，求的值．
解 (1)由题意得，解得
则椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)，则AM：y＝k1(x＋2)，BN1：y＝k2(x－2)，
设M(x1，y1)，由得(3＋4k)x2＋16kx＋16k－12＝0，有x1－2＝－，x1＝，即y1＝，
设N1(x2，y2)，由得(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0，有x2＋2＝，x2＝，即y2＝－，
∵直线MN1过椭圆的左焦点F(－1,0)，
∴由kMF＝kN1F 知，＝，整理得(3k2－k1)(3＋4k1k2)＝0，又k1，k2>0，
∴3＋4k1k2>0，即3k2－k1＝0，故＝3.
22．(12分)已知函数f(x)＝3(x－1)－2xln x.
(1)求f(x)的增区间；
(2)当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为函数f(x)＝3(x－1)－2xln x，所以f′(x)＝1－2ln x，令f′(x)>0，解得0
(2)因为当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，
所以当x≥1时，3(x－1)－2xln x－aln x≤0恒成立，
令g(x)＝3(x－1)－2xln x－aln x，则g(1)＝0，且g′(x)＝，令h(x)＝x－a－2xln x，
则h′(x)＝－1－2ln x，h(1)＝1－a，
因为当x≥1 时，h′(x)≤0恒成立，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．当a∈[1，＋∞)时，h(x)≤h(1)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，
故g(x)≤g(1)＝0, 符合要求；
当a∈(－e,1)时，h(1)>0，h(e)＝－e－a<0，h(x)是减函数，故存在x0∈(1，e)使得h(x0)＝0，
则当x∈(1，x0)时，h(x)>0，g(x)是增函数，
g(x)>g(1)＝0，不符合要求；
当a∈(－∞，－e]时， ＝a <0，h(x)是减函数，故存在 x0∈ 使得h(x0)＝0,
则当x∈(1，x0) 时，h(x)>0，g(x)是增函数，g(x)>g(1)＝0，不符合要求．
综上实数a的取值范围为[1，＋∞)．
