2020桂林十八中高二下学期开学考试数学（理）试题含答案

www.ks5u.com桂林十八中2019-2020学年度18级高二下学期开学考试卷

数  学（理科）

命题：吕定和                  审题： 易斌

注意事项：

①     试卷共4页，答题卡2页。考试时间120分钟,满分150分；

      ②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；

②     请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题包括12小题。每小题只有一个选项符合题意。每小题5分，共60分）

1．若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则AB=（    ）

A{x|–2<x<–1}        B  {x|–2<x<3}         C {x|–1<x<1}        D  {x|1<x<3}

2．已知命题，，则是 （    ）                          

A．，   B．，   C．，   D．，

3．下列复数中虚部最大的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为(　　)

A．－3             B．0               C．1                 D．3

5．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

6．的展开式中的系数为（    ）

A． B．84 C． D．280

7．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

8．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为(　　)

A．②①①　　        B．②①②          C．②④①      D．③①①

9．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A．4097 B．9217 C．9729 D．20481

10．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若

x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（    ）．

A． (1，)    B． (1，2)      C．( ，2)        D．(1，3)

11．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B．       C． D．

12．已知在三棱锥中，，，，，侧面

底面，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（本卷共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13．若向量与向量共线，则__________．

14.若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为__________．

15．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．

16．记表示实数，，的平均数，表示实数，，的最大值，设，，若，则的取值范围是__________．

三、解答题：（本题包括6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.

18．（本小题满分12分）已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

19．（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．

(1)已知[30，40)，[40，50)，[50，60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；

(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X(单位：元)的分布列与数学期望．

20．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面．

（1）求证：平面平面；

（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）若是函数的一个极值点，求实数的值．

（2）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．

桂林市第十八中学18级高二下学期开学考理科数学答案

一．选择题(本题满分60分)

ADCCB    CDABA    BD

二．填空题(本题满分20分)

13.      14.      15. 2        16. ．

17. （本小题满分10分）

解：(1)由题意得

解得a1＝6，d＝4，      ∴an＝6＋(n－1)×4＝4n＋2.

(2)∵a1＝6，d＝4，

∴Sn＝6n＋×4＝2n2＋4n，  即＝＝，

∴Tn＝＝

＝－＜，    ∵Tn＋1－Tn＝＞0，

∴数列{Tn}是递增数列，

即(Tn)min＝T1＝－＝.      故≤Tn＜.

18. （本小题满分12分）解析：(1)由题易知，＝(，1)， ＝(－cosx,1－sinx)，

所以f(x)＝(－cosx)＋1－sinx＝4－2sin，    所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为f(A)＝4，所以sin＝0，则x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z，因为0<A<π，所以A＝，   因为△ABC的面积S＝bcsinA＝，所以bc＝3.

由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12，即b＋c＝2.

所以△ABC的周长为3＋2.

19. 【解析】(1)由题意可知 解得a＝0.035，b＝0.025.

(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．

从该10人中抽取3人，此3人所获得代金券的总和为X(单位：元)，

则X的所有可能取值为150，200，250，300.

P(X＝150)＝＝，

P(X＝200)＝＝，

P(X＝250)＝＝，

P(X＝300)＝＝.

所以X的分布列为

E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210.

20. 【解析】（1）由，，可得，

易得四边形是矩形，∴，·······1分

又平面，平面，∴，·······2分

又，，平面，∴平面，·······4分

又平面，∴平面平面·······5分

（2）四棱锥的体积为，

要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值．

由条件可得，∴，即，

当且仅当时，取得最大值36．·······7分

分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则，，，，

，，，·······8分

设平面的一个法向量为，由，可得

，令，可得，·······9分

同理可得平面的一个法向量为，·······10分

设平面与平面所成二面角为，．

由于平面与平面所成角为锐二面角，所以余弦值为．·······12分

21.【解析】设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.

(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.  因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0.  解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.

(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)．

将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.

由x1·(－)＝，得x1＝，

故|AM|＝|x1＋|＝.

由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|，得＝，

即(k3－2)t＝3k(2k－1)．

当k＝时上式不成立，因此t＝.

t>3等价于＝<0，即<0.

因此得或解得<k<2.

故k的取值范围是(，2)．

22.【解析】（1）由可得：

，

∵是函数的一个极值点，∴，

∴，计算得出．

代入，

当时，；当时，，

∴是的极值点．∴．

（2）当时，函数的图象恒不在直线上方，

等价于，恒成立，  即，恒成立，

由（）知，，令，得，，

①当时，，∴在单调减，

，与矛盾，舍去．

②当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

∴在或处取到，

，，∴只要，

计算得出．

③当时，，

在上单调增，，符合题意，

∴实数的取值范围是．