2020商丘一中高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试

数学（理科）试卷 

 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

１． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上．

２． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，则(     )

A.   B.   C.    D.

2.已知△ABC中，“”是“”的（）
A.充分不必要条件               B. 必要不充分条件

C.充要条件                     D. 既不充分也不必要条件

3.在复平面内,复数对应的点位于（     ）

A.第一象限    B. 第二象限       C. 第三象限      D. 第四象限

4.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为(     )

A.          B.          C.           D.

5.已知是等差数列的前项和,若,,则( )

A.          B.        C.          D.

6.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为()

1.          B.      C.        D.以上都不对

7.己知抛物线的焦点为,准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且(为原点),则双曲线的离心率为(     )

A.               B.            C.                   D.

8.设随机变量，且，则实数的值为（   ）

A.          B.            C.             D.

9.已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则(    )

A．       B.      C.        D.

10.在等比数列中，若，，则 (    )

A.1         B.        C.         D.

11.已知为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是(    )

A． B．C．D．

12.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上,则实数的取值范围是（    ）

A.          B.            C.            D.

                      第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；

2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数,则不等式的解集为_______.

14.已知，则函数的最小值为________.

15.已知，命题，.命题，若命题 为真命题，则实数的取值范围是________________.

16.设函数分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,若对,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

17.已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．

(1)求角A的大小；

 (2)设的面积为，求的取值范围．

18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,.

(1)求点到平面的距离；

(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.

19.已知椭圆的左.右焦点分别为，直线与椭圆交于两点,且

(1)求椭圆的方程；

(2)若两点关于原点的对称点分别为,且,判断四边形是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.

20.某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望；

②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.

参考数据：

，其中

21.已知函数.

(1)若函数在时取得极值,求实数的值；

(2)当时,求零点的个数.

选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程

22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数).以坐标原点为极点,

轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆的极坐标方程为.

(1)求曲线的方程普通方程和的直角坐标方程;

(2)过圆的圆心,倾斜角为的直线与曲线交于两点,则的值.

23.已知.

(1)求不等式的解集；

(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.

高二数学（理科）试卷参考答案 

一.选择题

二．填空题

13.      14.       15.      16.

三.解答题：

17.解：（1）．由正弦定理可得：，

又，可得：，又，所以．........6分

（2）因为，的面积为，解得......8分

由余弦定理可得：，

当且仅当时等号成立．

综上，边的取值范围为．...........12分

18.取中点,连,则,

又平面平面,则平面,........1分

以为原点,直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图,

,则各点坐标分别为,,,,,2分

(1)设是平面的法向量,则,

由得;由得,..........4分

取,则距离..............6分

(2),,

设平面的法向量为,

由得;由得,......9分

取,又平面的法向量为,

则,.....11分

设所求二面角为,则......12分

19. (1)因为,所以,.因为直线与椭圆交于,两点,且,所以,所以,解得,所以,

所以椭圆的方程为......4分

(2)①当直线的斜率存在时,设由

得,,.....6分

所以,,因为,所以,,即

,.....8分

所以,所以原点到直线的距离..........9分

根据椭圆的对称性,同理可证,原点到达的距离都为,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为......10分

②当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,不妨设分别为直线与椭圆的上.下交点,则

,由,得,,解得,

所以此时原点到直线的距离为.根据椭圆的对称性,同理可证,原点到达的距离都为,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为.

.综上可知,四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为......12分

20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：

所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分

①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，

所以抽取的3株中的可能取值是2,3. 其中， ………………8分

的分布列为：

所以.………10分

②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为

 ………………12分

21.(1)定义域为,,

由已知,得,解得,.....2分

当时,,

所以,,所以减区间为,增区间为,.....4分

所以函数在时取得极小值,其极小值为,符合题意,所以......5分

(2)令,由,得.....6分

所以,,

所以减区间为,增区间为,

所以函数在时取得极小值,其极小值为,.....8分

因为,所以,,

所以,所以,

因为,

根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点,.....10分

因为,,

令,得,又因为,所以,

所以当时,,根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点,

所以,当时,有两个零点......12分

22.(1)曲线的参数方程为(其中为参数),消去参数可得......2分

曲线的极坐标方程变为直角坐标的方程为:......5分

(2)    可知的圆心坐标为,直线的参数方程为(其中为参数),.....7分

代入可知,.....8分

因为,可知......10分

23. (1)......2分

当时,由得,即解集为,

当时,由得,解集为,

当时,由得,解集为,

综上所述,的解集为......5分

(2)不等式恒成立等价于恒成立,则,.....6分

令,.....7分

则,即.....9分

所以实数的取值范围是......10分