2021滁州定远县重点中学高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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2020-2021学年第一学期期末质量检测高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.复数=（ ）A. B. C. D. 2.已知命题p：∃x∈R，x2+x＜0，则￢p是（ ）A.∃x∈R，x2+x＞0 B.∀x∈R，x2+x≥0C.∀x∈R，x2+x＞0 D.∃x∈R，x2+x≥03.在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是动点，且直线与的斜之积等于，则动点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 4.P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）A.1 B.3 C.5 D.95.已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）A. B.C.2 D.6.若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知函数，则在的切线方程为（ ）.A. B. C. D.8.如图所示，过抛物线的焦点F的直线l，交抛物线于点A,B．交其准线l于点C，若,且，则此抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 9.已知函数在上为增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.10.已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（ ）A.1 B.2 C.e D.2e11.计算（ ）A. B. C. D. 12.如图，在四面体中，是底面的重心，则等于（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知命题“任意”；命题“存在”.若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为___________.14.斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为________．15.已知奇函数是定义在R上的可导函数，当时，有，则不等式的解集为________.16.如图阴影部分是由曲线与直线围成，则其面积为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.18.（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB的中点．（ⅰ）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；（ⅱ）求△OAB面积的最大值及此时l的斜率．19. （12分）已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.（1）求的取值范围，并求的最小值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.20. （12分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3，（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 21. （12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）= x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x= 处的切线与直线y=﹣ x﹣1平行． （Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3， ]上有三个零点，求实数m的取值范围．22. （12分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中单位：百米，，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为，拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．设P点的横坐标为t，写出面积的函数表达式；当t为何值时，面积最小？并求出最小面积．参考答案1.B 2.B 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.A13.14.15.16.17.（1）（2）或解：（1）对于命题p：对任意，不等式恒成立，而，有，，，所以p为真时，实数m的取值范围是；（2）命题q：存在，使得不等式成立，只需，而，，，，即命题q为真时，实数m的取值范围是，依题意命题一真一假，若p为假命题， q为真命题，则，得；若q为假命题， p为真命题，则，得，综上，或.18.（1）；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±.解：（1）由题意得，解得，∴a2=2，b2=a2-c2=1，∴椭圆C的方程为；（2）（ⅰ）设直线l为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），由题意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0，∴△=8（2k2-3）＞0，即，由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=，∴，，∴，∴，∴直线OM与l的斜率乘积为定值．（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，原点到直线AB的距离为令=t，则t＞0，∴S△AOB==≤=，当且仅当t=2时等号成立，此时k=±，且满足△＞0，∴△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±．19.解：（1）与圆相切，，，由，得，，，故的取值范围为.由于，，当时，即时，取最小值.（2）由已知可得的坐标分别为，，，又因为，所以，为定值.20. 解：解法一：（1）由抛物线定义可得：|AF|＝23，解得p＝2．∴抛物线E的方程为y2＝4x；（2）∵点A（2，m）在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2＝0，解得x＝2或，B．又G（﹣1，0），∴kGA．kGB，∴kGA+kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF，∴x轴平分∠AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（1）同解法一．（2）点A（2，m）在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2＝0，解得x＝2或，B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+20，0，点F（1，0）到直线GA的距离d，同理可得点F（1，0）到直线GB的距离．因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．21.解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a， 因为曲线f（x）在x= 处的切线与直线y=﹣ x﹣1平行，所以f′（ ）= +a=﹣ ，解得a=﹣1，所以f（x）= x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）= x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）= x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）= ，f（1）=﹣ ，f（ ）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3， ]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3， ]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3， ]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣ ，0）．22.（1）； （2）.解：由已知可知，故直线MN的斜率为，直线MN的方程为，令可得，．又，，直线EF的方程为，联立方程组，解得，，，．．当时，，单调递减，当时，，单调递增.当时，取得最小值．当时，面积最小，最小面积为