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2021滁州定远县重点中学高二上学期期末考试数学（文）试题含答案
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2020-2021学年第一学期期末质量检测高二数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）已知命题p：∃x0∈R,mx02+1≤0，命题q：∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）A. -2≤m≤2 B. m≤-2或m≥2 C. m≤-2 D. m≥2已知，q:2a≤x≤a2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）A. a≤ -1 B. C. D. 已知命题p:关于m的不等式log2m<1的解集为{m|m>2}，命题q:函数f(x)=x3+x2-1在区间(0,1)内有零点，下列命题为真命题的是（ ）A. p∧q B. p∧¬q C. ¬p∧q D. ¬p∧¬q已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|=3|BF2|，|BF1|=5|BF2|，则椭圆C的方程为（ ）A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=1已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 4+23 B. 3-1 C. 3+12 D. 3+1已知直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|(其中B位于A，C之间)，且|AF|=4，则抛物线方程为( )A. y2=8x B. y2=6x C. y2=4x D. y2=2x函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )A. k1>k2 B. k143 C. m≤43 D. m<43已知函数y=f(x)的定义域为(a,b)，导函数y=f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个若对任意的x>0，恒有lnx≤px-1(p>0)，则p的取值范围是( )A. (0,1] B. (1,+∞) C. (0,1) D. [1,+∞)如图，已知正方形ABCD的边长为1，点P从顶点A沿着A→B的方向向顶点B运动，速度为2，同时，点Q从顶点B沿着B→C的方向向顶点C运动，速度为1，则|PQ|的最小值为（ ）A. 0 B. 55 C. 22 D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知命题方程有两个不等的实根；命题q:方程无实根，若“”为真，“”为假，则实数a的取值范围为___________.(写成区间的形式)椭圆x2+4y2=16被直线y=12x+1截得的弦长为________．点A在抛物线C:y2=4x上，F为抛物线C的焦点，以AF为直径的圆与y轴只有一个公共点M，且点M的坐标为(0,2)，则|AF|= ．已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2，则f(1)+f'(1)= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知p：存在x∈[0,4]，使不等式2x+log2(x+1)-a<0成立；q：方程sin2x+sin x-a=0有解。（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若(﹁p)∧q为真命题，求a的取值范围。 （12分）如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. （1）求椭圆的标准方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积． （12分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(5,3)在双曲线上． （1）求双曲线的方程;（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且OP⋅OQ=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值． （12分）已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△AOB的面积等于10时，求k的值． （12分）已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R)．（1）函数f(x)的单调区间；（2）当a=-1时，证明：当x∈(1,+∞)时，f(x)+2>0． （12分）某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值．已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60-x)x2万元，并且技改投入比率为x60-x∈(0,5]． （1）求技改投入x的取值范围； （2）当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少万元？ 答 案1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.B 13.(-∞,-2)∪[6，+∞) 14.35 15.5 16.4 17.解：(1)p为真命题等价于不等式2x+log2(x+1)-a<0在x∈[0,4]上有解， 设f(x)=2x+log2(x+1)-a，则f(x)在[0,4]上单调递增， 因为不等式2x+log2(x+1)-a<0在x∈[0,4]上有解， 所以f(x)min=f(0)=1-a<0，解得a>1， 故若p为真命题，a的取值范围为(1,+∞)； (2)记y=sin2x+sin x，令t=sin x，t∈[-1,1]， 则y=t2+t∈[-14,2]， 当q为真命题时，即方程sin2x+sin x-a=0有解，故a∈[-14,2]， 因为(﹁p)∧q为真命题，所以a≤1 -14≤a≤2， 即a∈[-14,1].18.解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c， 则由已知得c=1，|F1F2|=2，所以4=|PF1|+|PF2|=2a，所以a=2，所以b2=a2-c2=4-1=3，所以椭圆的标准方程为x24+y23=1．(2)在△PF1F2中，|PF2|=2a-|PF1|=4-|PF1|.由余弦定理，得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即(4-|PF1|)2=|PF1|2+4+2|PF1|，所以|PF1|=65，所以S△PF1F2=12|F1F2|·|PF1|·sin 120°=12×2×65×32=335． 19.解：(1)因为e=ca=2，所以c=2a，b2=c2-a2=3a2．所以双曲线的方程为x2a2-y23a2=1，即3x2-y2=3a2．因为点M(5,3)在双曲线上，所以15-3=3a2，所以a2=4．所以所求双曲线的方程为3x2-y2=12．(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0)，则直线OQ的方程为y=-1kx，由3x2-y2=12y=kx，得x2=123-k2y2=12k23-k2，所以|OP|2=x2+y2=12(k2+1)3-k2．同理可得，|OQ|2=12(1+1k2)3-1k2=12(k2+1)3k2-1，所以1|OP|2+1|OQ|2=3-k2+(3k2-1)12(k2+1)=2+2k212(k2+1)=16．设|OP|2+|OQ|2=t，则t⋅(1|OP|2+1|OQ|2)=2+(|OQ||OP|)2+(|OP||OQ|)2≥2+2=4， 所以t≥416=24，即|OP|2+|OQ|2≥24(当且仅当|OP|=|OQ|=23时取等号)．所以当|OP|=|OQ|=23时，|OP|2+|OQ|2取得最小值24． 20.解：(1)证明：如图，由方程组y2=-x,y=k(x+1), 消去x并整理，得ky2+y-k=0．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1+y2=-1k，y1·y2=-1．因为kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1-y12·y2-y22=1y1y2=-1，所以OA⊥OB．(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．令y=0，则x=-1，即点N(-1,0)．所以S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON||y1|+12|ON||y2|=12|ON||y1-y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4=10，所以k=±16． 21.解：(1)根据题意知，f'(x)=a(1-x)x(x>0)， 当a>0时，则当x∈(0,1)时，f'(x)>0， 当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a=0时，f(x)=-3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a=-1时，f(x)=-ln x+x-3，所以f(1)=-2，由(1)知f(x)=-ln x+x-3在(1,+∞)上单调递增，所以当x∈(1,+∞)时，f(x)>f(1)．即f(x)>-2，所以f(x)+2>0． 22.解：(1)由题意，x60-x∈(0,5]，x>0，所以00；40
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