2021三亚华侨学校（南新校区）高二下学期开学考试数学试题含答案

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2020-2021高二下开学数学测试（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）在空间四边形OABC中，OA+AB−CB等于(    )A. OA B. AB C. OC D. AC已知向量a=(1,−2,1)，a−b=(−1,2,−1)，则向量b=(    )A. (2,−4,2) B. (−2,4,−2) C. (−2,0,−2) D. (2,1,−3)直线过点，倾斜角为，则直线的方程为 A． B． C． D．圆x+12+y2=4的圆心坐标和半径分别是(    )A. (1,0)，2 B. (−1,0)，2 C. (1,0)，4 D. (−1,0)，4 设是椭圆 上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A． B． C． D．已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的离心率是5，则a=(    )A. 6 B. 4 C. 2 D. 12数列{an}中，an+1=an1+3an，a1=2，则a4为(    )A. 87 B. 85 C. 165 D. 219已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20.则该数列的前9项和为(    )A. 50 B. 70 C. 80 D. 90二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）下列命题是真命题的有(    )．A. 直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=2,1,−12，则l与m垂直B. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l⊥αC. 平面α，β的法向量分别为n1→=(0,1,3)，n2→=(1,0,2)，则D. 平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1直线l过点P(1,2)且与直线x+ay−3=0平行，若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，则实数a的值可以是(    )A. 0 B. 34 C. 43 D. −43关于圆锥曲线的四个命题正确的是(    )A. 设A，B为两个定点，k为与非零常数，若PA−PB=k，则动点P的轨迹是双曲线B. 方程2x2−5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C. 双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点D. 以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切已知数列an的首项为4，且满足2n+1an−nan+1=0n∈N*，则(    )A. ann为等差数列 B. an为递增数列C. an的前n项和Sn=n−12n+1+4 D. an2n+1的前n项和Tn=n2+n2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知直线l，m的方向向量分别是a=(1,1，0)，b=(−1,t，2)，若l⊥m，则实数t的值是______ ．已知直线l：x+y+2=0交圆C：x2+y2+2x+4y+4=0于A，B两点，则|AB|=________．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则__________．已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn=______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）已知等差数列{an}中，公差d=2，a2=3，求：(1)a3、a5的值；   (2)该数列的前5项和S5．如图所示四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC//AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．(1)求证：BF//平面ACE；(2)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y−10=0相切，直线l过点M1,2．(1)求圆C1的标准方程；(2)若直线l被圆C1所截得的弦长为23，求直线l的方程．(1)求焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 54的双曲线的标准方程；(2)求经过点P(−2,−4)的抛物线的标准方程．已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为22，且与抛物线y2=4x有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)若点H的坐标为(2,0)，点A，B是椭圆E上的两点(点A，B，H不共线)，且∠OHA=∠OHB，证明直线AB过定点，并求△ABH面积的取值范围．在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn=2n+1−2．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设cn=2an+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．2020-2021高二下开学数学测试一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）在空间四边形OABC中，OA+AB−CB等于(    )A. OA B. AB C. OC D. AC【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，本题是向量的基础题．由题意，根据向量的加法、减法法则，把OA+AB−CB进行化简即可得到答案，即可选出正确选项．【解答】解：根据向量的加法、减法法则，得OA+AB−CB=OB−CB=OB+BC=OC．故选C．已知向量a=(1,−2,1)，a−b=(−1,2,−1)，则向量b=(    )A. (2,−4,2) B. (−2,4,−2) C. (−2,0,−2) D. (2,1,−3)【答案】A【解析】【分析】本题主要考查空间向量的加减运算以及坐标表示，属于基础题．根据b=a−a−b，即可求解．【解答】解：b=a−a−b=(1,−2,1)−(−1,2,−1)=(2,−4,2)．故选A．【答案】D圆x+12+y2=4的圆心坐标和半径分别是(    )A. (1,0)，2 B. (−1,0)，2 C. (1,0)，4 D. (−1,0)，4【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．根据圆的标准方程x−a2+y−b2=r2(r>0)中圆心为(a,b)，半径为r，直接写出结果即可．【解答】解：根据圆的标准方程x+12+y2=4，得圆心坐标为(−1,0)，半径为2．故选B．椭圆x216+y225=1的焦点坐标为(    )A. (±3,0) B. (0,±3) C. (±9,0) D. (0,±9)【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，注意要先由标准方程分析出焦点的位置．根据题意，由椭圆的标准方程可得C的焦点在y轴上，且a=5，b=4，进而计算可得c的值，由焦点坐标公式以及长轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，x216+y225=1的焦点在y轴上，且a=5，b=4，故可得c=a2−b2=3，故选B．【答案】C数列{an}中，an+1=an1+3an，a1=2，则a4为(    )A. 87 B. 85 C. 165 D. 219【答案】D【解析】【分析】本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题的关键是根据已知构造出新的等差数列．由题意得数列{1an}是等差数列，即可得解．【解答】解：由题意可得，1an+1= 1+3anan=1an+3．即1an+1−1an=3，∵1a1=12，∴数列{1an}是以12为首项，以3为公差的等差数列．∴1an=12+3(n−1)，∴a4=219，故选D．已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20.则该数列的前9项和为(    )A. 50 B. 70 C. 80 D. 90【答案】B【解析】由等比数列的性质得S3，S6−S3，S9−S6也成等比数列，由S3=40，S6−S3=20，知公比为12，故S9−S6=10，S9=70．二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）下列命题是真命题的有(    )．A. 直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=2,1,−12，则l与m垂直B. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l⊥αC. 平面α，β的法向量分别为n1→=(0,1,3)，n2→=(1,0,2)，则D. 平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1【答案】AD【解析】【分析】本题考查利用平面的法向量判断线面关系、面面关系，属于基础题．①根据直线l、m的方向向量a与b垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量a与平面α的法向量n垂直，不能得出l⊥α；③根据平面α、β的法向量n1与n2不共线，不能得出α//β；④求出向量AB与BC的坐标表示，再利用平面α的法向量n，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：∵a=1,−1,2，b=2,1,−12，∴a·b=1×2−1×1+2×−12=0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，A正确；a=0,1,−1，n=1,−1,−1，∴a·n=0×1+1×−1+−1×−1=0，∴a⊥n，∴l//α或l⊂α，B错误；∵n1=(0,1,3)，n2=(1,0,2)，∴n1,n2不共线，所以α与β不平行，故C错误；∵点A(1,0，−1)，B(0,1，0)，C(−1,2，0)，∴AB=−1,1,1,BC=−1,1,0，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，∴n·AB=0n·BC=0，即−1+u+t=0−1+u=0，则u+t=1，D正确．故选AD．直线l过点P(1,2)且与直线x+ay−3=0平行，若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，则实数a的值可以是(    )A. 0 B. 34 C. 43 D. −43【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与圆得位置关系，先由两直线平行求出直线l得方程，再求出弦心距为1，用点到直线得距离公式可求解a．【解答】解：由已知可得直线l的斜率为−1a，所以直线l的方程为x+ay−2a−1=0，圆x2+y2=4的圆心(0,0)，半径为2，直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，半弦长为3，则弦心距为1，圆心到直线的距离d=−2a−1a2+1=1，解得a=0或a=−43，故选AD．关于圆锥曲线的四个命题正确的是(    )A. 设A，B为两个定点，k为与非零常数，若PA−PB=k，则动点P的轨迹是双曲线B. 方程2x2−5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C. 双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点D. 以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切【答案】BCD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的几何性质，解决本题的关键是掌握好圆锥曲线的几何性质即可，属于中档题．根据椭圆，双曲线，抛物线的性质求解即可．【解答】解：A不正确，若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线，B正确，方程2x2−5x+2=0的两根分别为12和2，12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±34,0)，D正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px(p>0)，即抛物线位于y轴的右侧，以x轴为对称轴，设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d.而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|，又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=|PF|+|QF|2，由抛物线的定义可得：|PF|+|QF|2=|PQ|2=半径，所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切，故答案为BCD．已知数列an的首项为4，且满足2n+1an−nan+1=0n∈N*，则(    )A. ann为等差数列 B. an为递增数列C. an的前n项和Sn=n−12n+1+4 D. an2n+1的前n项和Tn=n2+n2【答案】BD【解析】【分析】本题考查数列的递推关系和函数特征，等比数列的判定、通项公式以及求和公式，等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．由题意可得2ann−an+1n+1=0，即ann为等比数列，可得an=n·2n+1，利用an=n·2n+1逐项求解判断即可．【解答】解：由2(n+1)an−nan+1=0，两边都除以n(n+1)，可得2ann−an+1n+1=0，即an+1n+1=2×ann，所以ann为等比数列，首项为4，公比为2，故A错误；所以ann=4×2n−1=2n+1，解得an=n·2n+1，所以{an}为递增数列，故B正确；{an}的前n项和Sn=1×22+2×23+3×24+⋯+n−1×2n+n×2n+1,①2Sn=1×23+2×24+3×25+⋯+n−1×2n+1+n×2,②  n+2①−②得−Sn=1×22+23+24+⋯+2n+1−n×2n+2=4×1−2n1−2−n×2n+2=1−n·2n+2−4  ,所以Sn=n−1·2n+2+4,故C错误；由an=n·2n+1可得an2n+1=n，所以an2n+1的前n项和Tn=1+nn2=n2+n2，故D正确；故选BD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知直线l，m的方向向量分别是a=(1,1，0)，b=(−1,t，2)，若l⊥m，则实数t的值是______ ．【答案】1【解析】解：∵直线l，m的方向向量分别是a=(1,1，0)，b=(−1,t，2)，且l⊥m，∴a⋅b=−1+t=0，解得t=1．故答案为：1．由直线l与直线m垂直，得直线l，m的方向向量数量积为0，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．已知直线l：x+y+2=0交圆C：x2+y2+2x+4y+4=0于A，B两点，则|AB|=________．【答案】2【解析】【试题解析】【分析】本题考查圆的一般方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，题目基础．求出点C(−1,−2)到直线l：x+y+2=0的距离d=22，故可得|AB|=2r2−d2=2．【解答】解：圆C：x2+y2+2x+4y+4=0的圆心坐标为C(−1,−2)，半径r=1，点C(−1,−2)到直线l：x+y+2=0的距离d=|1×(−1)+1×(−2)+2|12+12=22，所以直线l被圆C截得线段AB的长|AB|=2r2−d2=212−222=2．故答案为2． 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn=______．【答案】14(3n+1−2n−3) (n∈N*)【解析】【试题解析】【分析】本题考查数列的递推关系，数列的求和方法：分组求和，同时考查构造等比数列求数列通项公式的方法，考查分析和运算能力，属于中档题．可设an+1+t=3(an+t)，求得t=12，运用等比数列的通项公式，可得数列{an}的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．【解答】解：由a1=1，an+1=3an+1，可设an+1+t=3(an+t)，即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=12，则an+1+12=3(an+12)，可得数列{an+12}是首项为32，公比为3的等比数列，即有an+12=32·3n−1，即an=32·3n−1−12，可得数列{an}的前n项和Sn=32(1+3+32+…+3n−1)−12n=32×1−3n1−3−12n=14(3n+1−2n−3)(n∈N*).故答案为14(3n+1−2n−3) (n∈N*).四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）已知等差数列{an}中，公差d=2，a2=3，求：(1)a3、a5的值；   (2)该数列的前5项和S5．【答案】解：(1)∵等差数列{an}中，公差d=2，a2=3，∴a3=a2+d=3+2=5，∴a5=a2+3d=3+3×2=9；(2)∵a2=a1+d，即3=a1+2，∴a1=1，∵{an}是等差数列，∴S5=(a1+a5)×52=(1+9)×52=25．【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题．熟练掌握等差数列的通项公式及求和公式是解决此题的关键．(1)根据等差数列定义和通项公式即可求解；(2)求出a1=1，根据等差数列的求和公式Sn=(a1+an)n2可得．如图所示四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC//AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．(1)求证：BF//平面ACE；(2)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．【答案】(1)解：连接DF，BD，设DF∩CE=G，AC∩BD=Q，连接QG．因为E,F是中点，所以G是△PCD的重心，所以DG=2GF，因为AD//BC，且AD=2BC，所以DQ=2QB，所以BF//QG，又因为平面QG⊆ACE，BF⊄ACE，所以BF//平面ACE；(2)由已知条件得AC=DC=22，AD=4，所以AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD，因为PA⊥底面ABCD，所以，又∵PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，所以∠DPC是直线PD与平面PAC所成的角，因为PD=25，所以sin∠DPC=DCPD=105，直线PD与平面PAC所成的角的正弦值105．解法2：如图，建立直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2)，所以E(0,2,1),F(1,1,1)，(1)因为AC=(2,2,0),AE=(0,2,1)，由2x+2y=02y+z=0，解得平面ACE的一个法向量是m=(1,−1,2)，因为BF=−1,1,1，所以BF⋅m=−1−1+2=0，又因为BF⊄平面ACE，所以BF//平面ACE；(2)因为AP=(0,0,2),AC=(2,2,0)，   由z=0x+y=0得平面PAC的一个法向量是m=(1,−1,0)，而PD=(0,4,−2)，由sin θ=|PD⋅n|PD|⋅|n||=105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值是105．【解析】此题主要考查线面平行的证明，线面角的求法，涉及线面垂直的判定定理，和空间向量方法，属中档题．解法一：(1)利用对应线段成比例，证明BF//OH，从而证明线面平行平行；(2)由线面垂直的判断，得出线面角，在直角三角形中求出线面角的正弦值．解法二：建立空间直角坐标系，(1)求得平面ACE的一个法向量坐标，证明此法向量与直线BF的方向向量垂直，从而证得；(2)求得平面PAC的一个法向量坐标，利用与直线PD的方向向量的夹角的余弦值求得．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y−10=0相切，直线l过点M1,2．(1)求圆C1的标准方程；(2)若直线l被圆C1所截得的弦长为23，求直线l的方程．【答案】解：(1)圆心(0,0)到直线3x+4y−10=0的距离d=|−10|32+42=2，所以圆C1的半径为2，所以x2+y2=4； (2)当直线斜率不存在时，x=1，直线l被圆C1所截得的弦长为23，符合题意；当直线斜率存在时，设直线l:y−2=k(x−1)，由(|k−2|k2+1)2+(3)2=4，解得：k=34，故l的方程是y−2=34x−1，即3x−4y+5=0，综上所述，直线l的方程为3x−4y+5=0或x=1．【解析】本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，是基础题．(1)先得出圆心(0,0)到直线3x+4y−10=0的距离，即为半径，即可得出圆C1的标准方程；(2)分直线斜率不存在和存在时，当斜率存在时由勾股定理求出斜率即可得到答案．(1)求焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 54的双曲线的标准方程；(2)求经过点P(−2,−4)的抛物线的标准方程．【答案】(1)解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为x2a2−y2b2=1．由题意，得2b=12ca=54c2=a2+b2解得a=8，c=10.∴b=6．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为x264−y236=1；.(2)解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：y2=−2px或x2=−2py在第一种情形下，求得抛物线方程为：y2=−8x；在第二种情形下，求得抛物线方程为：x2=−y【解析】(1)利用已知条件列出方程组求解a，b然后求解双曲线方程即可．(2)设出抛物线方程，利用点在曲线上，化简求解即可．本题考查双曲线方程以及抛物线方程的求法，双曲线以及抛物线的简单性质的应用．考查计算能力． 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为y=或．（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为．①将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn=2n+1−2．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设cn=2an+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，则a2=a1+d，a5=a1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22=a1·a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，整理得d2=2a1d，解得d=0(舍去)或d=2a1=2，∴an=a1+(n−1)d=2n−1；当n=1时，b1=2，当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=2n+1−2−(2n−2)=2n+1−2n=2×2n−2n=2n，∴数列{bn}的通项公式为bn=2n(n∈N*);(2)由(1)得，cn=22n−1+n，Tn=(2+1)+(23+2)+(25+3)+⋯+(22n−1+n)=(2+23+25+⋯+22n−1)+(1+2+3+⋯+n)=2(1−4n)1−4+n(1+n)2=22n+1−23+n2+n2．【解析】【试题解析】本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式的运用，数列的递推式的运用，以及数列的求和，属于中档题．(1)由已知条件利用a1，a2，a5成等比数列，即可求得数列{an}的公差，进而得到数列{an}的通项公式；由等比数列数列{bn}的前n项和Sn=2n+1−2，得到b1=2，bn=Sn−Sn−1，进而得到数列{bn}的通项公式；(2)由(1)得到cn=22n−1+n，分组转化求和，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求出{cn}的前n项和．