2021-2022学年江西省赣州市赣县第三中学高二下学期周练（十二）数学（理）试题（Word版）

赣州市赣县第三中学2021-2022学年高二下学期周练（十二）

数学（理）试卷

一、单选题

1．在复平面内，复数是纯虚数，则（       ）

A．或 B．

C．且 D．或

2．已知 ，则a+b＝

A．-6 B．6 C．2 D．4

3．在区间上随机取一个数，其中，则事件“”发生的概率为（       ）

A． B． C． D．

4．观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图中有（       ）个小正方形．

A． B． C． D．

5．如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则的值分别为（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

6．某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（       ）

A．18 B．48 C．50 D．54

7．的展开式中的常数项为（       ）

A． B． C． D．

8．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

9．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（       ）

A．100 B．120 C．300 D．600

10．已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

12．已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________.

14．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为______．

15．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.

16．设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____

三、解答题

17．已知函数，若曲线在处的切线方程为．

(1)求，的值；

(2)求函数在上的最小值．

18．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(2)若PA平面BDE，求三棱锥E-BCD的体积.

19．名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者

(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？

(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？

(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？

20．已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.

21．如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．

(1)求证：；

(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，证明：存在两个零点，且．

高二数学（理）周练十二答案

1．B 2．A 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．B11．A12．B

13．14．15．12616．

17．(1)；(2)

(1)由已知可得．

又，

所以．

(2)由（1）可知，，

令，解得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减．

又，，

所以函数在上的最小值为．

18．(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，且，所以PA⊥平面ABC.

又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.

因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

又因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC.

又因为BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.

(2)因为PA平面BDE，平面PAC∩平面BDE=DE，所以PADE.

因为D为AC中点，所以，.

由（1）知PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.

所以三棱锥E-BCD的体积.

19(1)126种；(2)60种；(3)114种.

(1)个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，

所以不同的发放方法种.

(2)求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，

所以不同的安排方法有 种.

(3)把视为一人，相当于把个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：

第一类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，

第二类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，

所以不同的安排方法有种方法.

20．(1)因为过焦点且与轴垂直，故，

故，

解得：，从而抛物线C的方程为.

(2)设线段中点为，，，

由题知，直线的垂直平分线斜率存在，设为k，则：，

，.

若直线不与x轴垂直，由得，，

即，

则直线l斜率为，

从而直线l的方程为，

整理得：恒过点.

若直线与x轴垂直，则l为直线，显然也满足恒过点.

综上所述，直线l恒过点.

21．(1)因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故．

又因为四边形ABCD为矩形，故，则．

(2)∵四边形ABCD为矩形，∴．

又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

∴平面SAD．∵平面SAD，∴．

同理．

又，平面ABCD，平面ABCD，

∴平面ABCD．

设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，．

,，,

设为平面ABE的法向量，

∵，∴，令，则．∴．

设为平面CBE的法向量，

∵，∴，令，则．∴．

∴，解得．

故

22．(1解：的定义域为，

若，当时，，所以，递减；

当时，，所以，递增．

若，当时，，所以，递减：

当时，，所以，递增．

综上，时，的减区间为，增区间为．

(2)由（1）知，时在上递减，在上递增，

因为，所以，因为，

所以在上存在唯一零点．因为，

设，则，

所以在上递增，，即，

所以在上存在唯一零点．

综上，时，存在两个零点．

因为设，则，

即，即．

要证，只要证，只要证，

设，只要证．

设，因为，

所以在上递减，所以，故原不等式得证．